文档内容
第 04 讲 提公因式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的概念，并能够判断运算属于因式分
①分解因式的概念
解。
②公因式的概念与求法
2. 能求出一个式子的公因式与剩余部分。
③提公因式分解因式
3. 能够熟练的运用提公因式的方法分解因式。
知识点01 分解因式的概念
1. 分解因式的概念：
把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也
叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。
左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相
等。
题型考点：①判断式子的运算属于因式分解。
【即学即练1】
1．下列等式从左到右的变形不是因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．ma+mb﹣mc＝m（a+b﹣c）【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），是因式分解，故此选项不符合题意；
B、aa2+4ab+4b2＝（a+2b）2，是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、ma+mb﹣mc＝m（a+b﹣c），是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
2．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1
B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确．
故选：D．
知识点02 公因式
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式 ，各项都有一
个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 公因式的求法：
公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。若多项式首项为负号，则公因
式为 负 。
3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法：
多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 公因式 。
题型考点：①判断多项式的公因式。②求多项式提取公因式的另一个因式。
【即学即练1】
3．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（ ）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
【解答】解：由题意可得，
多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是：3a2b2，
故选：A．
【即学即练2】
4．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（ ）A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
【解答】解：多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，
故选：C．
【即学即练3】
5．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（ ）
A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x
【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝（x﹣3）（2﹣x），
故选：C．
【即学即练3】
6．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2
【解答】解：∵（x+y）3﹣xy（x+y），
＝（x+y）[（x+y）2﹣xy]，
＝（x+y）（x2+xy+y2），
又∵（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，
∴A＝x2+xy+y2．
故选：D．
知识点03 提公因式分解因式
1. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式
与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
题型考点：①提公因式分解因式。
【即学即练1】
7．分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（ ）
A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1）
C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1）
【解答】解：b2（x﹣2）+b（2﹣x）
＝b2（x﹣2）﹣b（x﹣2）
＝b（x﹣2）（b﹣1）．
故选：D．
【即学即练2】
8．分解因式：
（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）【解答】解：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2＝3mn（2m﹣5n+10mn）；
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣xy﹣y）．
【即学即练3】
9．因式分解：
（1）3x2﹣6xy+x；
（2）﹣4m3+16m2﹣28m；
（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3．
【解答】解：（1）3x2﹣6xy+x＝x（3x﹣6y+1）；
（2）﹣4m3+16m2﹣28m＝﹣4m（m2﹣4m+7）；
（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3＝6（a﹣b）2（3+2a﹣2b）．
题型01 判断因式分解
【典例1】
下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．﹣a2+3a＝﹣a（a+3） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【解答】解：a（m+n）＝am+an是整式乘法运算，它不是因式分解，则A不符合题意；
x2﹣1＝（x﹣1）2左右两边不相等，它不是因式分解，则B不符合题意；
﹣a2+3a＝﹣a（a+3）左右两边不相等，它不是因式分解，则C不符合题意；
x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）符合因式分解的定义，它是因式分解，则D符合题意；
故选：D．
【典例2】
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）＝x2+4x+1
B．3a（b+c）＝3ab+3ac
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1
【解答】解：A．（x+2）＝x2+4x+1，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选
项不符合题意；
B．3a（b+c）＝3ab+3ac，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题
意；
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．（x﹣1）（y﹣1）＝xy﹣x﹣y+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选
项不符合题意；
故选：C．
【典例3】
下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2变形后是多项式与单项式的和的形式，
故A不符合题意；
15x2y＝3x•5y变形后是单项式乘单项式的形式，
故B不符合题意；
2（x+y）＝2x+2y是单项式乘多项式的运算，
故C不符合题意；
x2+6x+9＝（x+3）2是利用完全平方公式进行的因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
【典例4】
下列各式从左到右不属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
【解答】解：A、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项符合题意；
C、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
题型02 利用因式分解的概念求值
【典例1】
已知在 x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的 m值的个数有
（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．10个
【解答】解：∵﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b，
∴m＝a+b＝﹣1+16或﹣2+8或﹣4+4或4+（﹣4）或2+（﹣8）或1+（﹣16），
即m＝±15或±6或0．
则m的可能值的个数为5，
故选：B．
【典例2】
若多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），则a＝ 1 ，b＝ ﹣ 5 ，c＝ 6 ．
【解答】解：∵多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），
∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝6，
故答案为：1，﹣5，6．
【典例3】
当k＝ 7 时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．
【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，
∴﹣k＝﹣7，k＝7．
故应填7．
【典例4】
如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为 6 ．
【解答】解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2），
B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3，
∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k，
解得k＝6．
故答案为：6．【典例5】
若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣ 3 ．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）
＝x2﹣2x+x﹣2
＝x2﹣x﹣2
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
则a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
题型03 确定公因式
【典例1】
多项式12ab3c﹣8a2b各项的公因式是（ ）
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
【解答】解：∵12ab3c﹣8a2b＝4ab•3b2c﹣4ab•2a，
∴12ab3c﹣8a2b各项的公因式是4ab，
故选：D．
【典例2】
多项式﹣4a2b2+12a2b2﹣8a3b2c的公因式是（ ）
A．﹣4a2b2c B．﹣a2b2 C．﹣4a2b2 D．﹣4a3b2c
【解答】解：多项式﹣4a2b2+12a2b2﹣8a3b2c的公因式是﹣4a2b2．
故选：C．
【典例3】
多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 2 （ m ﹣ n ） ．
【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
【典例4】
多项式﹣6ab2c+18a2b2c3﹣12a3b3c2的公因式是（ ）
A．﹣ab2 B．﹣6a3b2c C．﹣6ab2 D．﹣6ab2c
【解答】解：﹣6ab2+18a2b2﹣12a3b2c的公因式是﹣6ab2，
故选：C．
题型04 提公因式法分解因式
【典例1】
把多项式m（a﹣2）+（a﹣2）分解因式等于（ ）
A．m（a﹣2） B．（a﹣2）（m+1）C．m（a+2） D．（m﹣1）（a﹣2）
【解答】解：原式＝（a﹣2）（m+1）．
故选：B．
【典例2】
因式分解：
（1）12x2y3﹣3x2y5；
（2）（x﹣2）2﹣x+2．
【解答】解：（1）12x2y3﹣3x2y5
＝3x2y3×4﹣3x2y3×y2
＝3x2y3×（4﹣y2）
＝3x2y3（2+y）（2﹣y）；
（2）（x﹣2）2﹣x+2
＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）[（x﹣2）﹣1]
＝（x﹣2）（x﹣3）．
【典例3】
因式分解：
（1）3x2﹣6x+12xy；
（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+12xy
＝3x（x﹣2+4y）；
（2）（x﹣y）3+4x（x﹣y）2
＝（x﹣y）2（x﹣y+4x）
＝（x﹣y）2（5x﹣y）．
【典例4】
分解因式：（1）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2；
（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【解答】解：（1）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2＝3x2y2（3xy﹣7x+4）；
（2）y（2a﹣b）+x（b﹣2a）
＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）
＝（2a﹣b）（y﹣x）．
【典例5】
因式分解：（1）﹣24x3+12x2﹣28x
（2）6（m﹣n）3﹣12（m﹣n）2
【解答】解：（1）原式＝﹣4x（6x2﹣3x+7）；（2）原式＝6（m﹣n）2（m﹣n﹣2）．
【典例6】
把下列各式进行因式分解：
（1）x2+xy；
（2）﹣4b2+2ab；
（3）3ax﹣12bx+3x；
（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．
【解答】解：（1）x2+xy＝x（x+y）；
（2）﹣4b2+2ab＝﹣2b（2b﹣a）；
（3）3ax﹣12bx+3x
＝3x（a﹣4b+1）；
（4）6ab3﹣2a2b2+4a3b
＝2ab（3b2﹣ab+2a2）．
1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab•2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2
【解答】解：A．6a2b2＝3ab•2ab，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题
意；
B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项
不符合题意；
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选
项不符合题意．
故选：C．
2．下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．x2﹣x＝x（x﹣1） D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【解答】解：A．它是整式乘法运算，不是因式分解，
则A不符合题意；
B．它是整式乘法运算，不是因式分解，
则B不符合题意；
C．它符合因式分解的定义，
则C符合题意；
D．等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则D不符合题意；
故选：C．
3．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得
2x2+bx+c＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6．
b＝﹣4，c＝﹣6，
故选：D．
4．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1，
∴b＝0.5，a＝1.5，
∴a+b＝2．
故选：A．
5．下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by﹣ax B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
【解答】解：A、by﹣ax＝﹣（ax﹣by），故两多项式的公因式为：ax﹣by，故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合
题意；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；
D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：D．
6．多项式﹣6ab2+24a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．﹣6ab2c B．﹣ab2 C．﹣6ab2 D．﹣6a3b2c【解答】解：系数的最大公约数是﹣6，相同字母的最低指数次幂是ab2，
∴公因式为﹣6ab2．
故选：C．
7．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（ ）
A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1）
【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a），
＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2），
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
8．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
9．如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则3a2b+3ab2＝ 22 5 ．
【解答】解：∵长方形的周长为15，面积为10，
∴ ，ab＝10，
∴ ．
故答案为：225．
10．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 4 ．
【解答】解：∵多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，
∴x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，
则m＝4，
故答案为：4．
11．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ﹣ 3 x 2 y z ．
【解答】解：∵多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2有三项，∴﹣3x2y3z，9x3y3z，﹣6x4yz2中系数的公因数是﹣3，
字母部分公因式为x2yz，
故答案为﹣3x2yz．
12．若20232023﹣20232021＝2024×2023n×2022，则n的值是 202 1 ．
【解答】解：∵20232023﹣20232021＝20232021（20232﹣1）＝2024×20232021×2022＝2024×2023n×2022，
∴n＝2021，
故答案为：2021．
13．分解因式
①21xy﹣14xz+35x2
②15xy+10x2﹣5x
③（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b）
④（x﹣2）2﹣x+2
⑤a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）2
⑥15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）3．
【解答】解：①21xy﹣14xz+35x2＝7x（3y﹣2z+5x）；
②15xy+10x2﹣5x＝5x（3y+2x﹣1）；
③（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b）＝﹣（2a+b）（a+2b）；
④（x﹣2）2﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣3）；
⑤a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）2＝a（x﹣2a）2（a﹣1）；
⑥15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）3＝10（2a﹣b）2（4b﹣5a）．
14．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．
【解答】解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
15．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴ ．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得：
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴ ．
解得：a＝4，k＝20．
故另一个因式为（x+4），k的值为20．
