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第 02 讲 垂直于弦的直径
课程标准 学习目标
①垂径定理 1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题
②垂径定理的推论 目对其熟练的进行选择应用。
知识点01 垂径定理
1. 垂径定理的内容：⌒
垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。
即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧
CAD于A，则：
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
CE DE，BC BD，AC AD。
注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。
即： （ ）
【即学即练1】1．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
⊙
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【即学即练2】
2．如图，在 O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则 O的半径长为 ．
⊙ ⊙
【即学即练3】
3．如图， O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为 ．
⊙
【即学即练4】
4．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（ ）
⊙
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
知识点02 垂径定理的推论
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的 。
推论2：弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的 。
推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的 。
【即学即练1】
5．如图，AB是 O的直径，点B是 的中点．下列结论错误的是（ ）
⊙A．点A是 的中点 B．AB⊥CD
C．AB平分CD D．CD平分AB
题型01 垂径定理求圆的半径（直径）
【典例1】如图，CD是 O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则 O的半径是（
）
⊙ ⊙
A． cm B． cm C． cm D． cm
【变式1】如图，AB、AC是 O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则 O的半径等于 ．
⊙ ⊙
变式1 变式2
【变式2】如图，AB是 O的直径，点C在 O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3， O的
直径长是 ．
⊙ ⊙ ⊙
【变式3】如图，已知AD是 O的直径，BC是 O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝10，求 O
的直径．
⊙ ⊙ ⊙
【变式4】如图，在 O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、
E．
⊙
（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求 O的半径．
⊙
题型02 垂径定理求弦长
【典例1】如图AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长．
⊙
【变式1】如图所示， O的直径CD＝10cm，AB是 O的弦，AM＝BM，OM：OC＝3：5，则AB的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．8cm B． cm C．6cm D．2cm
【变式2】已知：如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的
长为（ ）
⊙
A．4 B．4 C．3 D．5
【变式3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．【变式4】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
题型03 垂径定理求弦心距离
【典例1】如图， O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
⊙A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD＝8，OA＝5，则AH的长为 ．
⊙
【变式2】已知 O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离
为（ ）cm．
⊙
A．14或2 B．14 C．2 D．6
【变式3】如图， O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 ．
⊙
【变式4】如图，D是 O弦BC的中点，A是 O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝
12．
⊙ ⊙
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝ BE时，求DE的长．
题型04 垂径定理的应用
【典例1】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【变式1】《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为 O的直径，弦
AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
⊙
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【变式2】往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 AB
＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【变式3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？
【变式4】一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽 AB为16m（如图），桥
拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？
【变式5】如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
1．如图， O的半径为2，弦AB＝2 ，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．1 ⊙ B． C． D．2第1题 第2题 第3题
2．如图， O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交 O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则
EB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长
是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
4．如图，在 O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交 O于点D，则线段 CD的最大值是
（ ）
⊙ ⊙
A． B．1 C． D．2
第4题 第5题
5．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB宽为8cm，水的最大深度为
2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．如图，点E在y轴上， E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则
线段AB的长度为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．6 D．8
7．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点 C放在 O上
的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在 O上截
⊙
得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙A．3厘米 B． 厘米 C． 厘米 D． 厘米
8．如图，已知在 O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加
一个条件，这个条件可以是（ ）
⊙
A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB
9．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A． cm B．9 cm C． cm D． cm
11．如图，AB是 O的弦，OC⊥AB于点D，交 O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么 O的半径为
．
⊙ ⊙ ⊙
第11题 第12题
12．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，
高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．
13．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点
A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即
可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为 cm．14．如图，AB是 O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 ．
⊙
15．如图， M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是 M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB
与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 ．
⊙ ⊙
16．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
⊙
（2）求OC的长度．
17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆半径为7cm，求小圆的半径．18．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
⊙
（2）若CE＝ ，求 O的半径．
⊙
19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000
多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截
得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为 1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距
离）．（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
20．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．（1）如图1，一辆货车宽5.8m，高4m，它能通过该隧道吗？
（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.7m的货车能驶入这个隧道吗？
（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有 0.6m的隔离带，则一辆宽为
2.8m，高为4m的货车 通过隧道（填“能”或“不能”）．
