文档内容
专题 12 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题之五大题
型
反比例函数与平行四边形的综合问题
例题：（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图所示，直线 的图像与x轴交于
点A，与y轴交于点B，与反比例函数 交于的C，且B为线段 的中点，向上平移直
线 与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形 为平行四边形．
(1)若 ，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；
(2)在（1）的条件下，求平移后的直线 的函数表达式；
(3)当平行四边形 的面积等于30时，求 的值．【变式训练】
1．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）如图，一次函数 的图像 与 轴交于点 ，点
在 上， 是反比例函数 图像上的一点，四边形 是平行四边形．
(1)求 、 的值；
(2)点 在 上．
判断点 是否在反比例函数的图像上，并说明理由；
的面积是______．
反比例函数与矩形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形 的顶点B的坐标为 ，双曲线
与矩形的对角线 交于点D，与 、 分别交于点E、F，且 ．(1)求反比例函数解析式及点E的坐标；
(2)连接 ，求 的面积．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级期末）如图，矩形 的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
在第一象限内的图像经过点D，交 于点E，连接 ， ， ．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若矩形的面积是12，求点E的坐标．
(3)直接写出当 时，y的取值范围______．反比例函数与菱形的综合问题
例题：（2023上·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在菱形 中点A在x轴的正半轴上，点B
坐标为 ，双曲线y＝ （k＞0）经过点C，交 于点D．
(1)求双曲线解析式；
(2)求点D坐标．
【变式训练】
1．（2023上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴
正半轴上，点C的坐标为 ，反比例函数 的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得 的面积等于菱形 的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
反比例函数与正方形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，正方形 的顶
点B、C在x负半轴上，反比例函数 的图象经过点 ，交 于点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的面积．
【变式训练】
1．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的
负半轴上， ， ，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数
的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．(1)当 时，求k的值及点E的坐标；
(2)连接OC，CE，OE．
①若 的面积为 ，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得 ．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
反比例函数与实际应用的综合
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，
加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温 （℃）与通电时间 成反比例关系．
当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温 与通电时间 之间的
关系如图所示．
(1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟；
(2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式；
(3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其
销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为 ．当广告停止后，销售量y（万
件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当 时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数 （天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于 万件，并且持续天数不少于 天时，广告设计师就可以拿到
“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
一、单选题
1．（2023下·河南周口·八年级统考期末）正方形 的顶点A，B分别在 轴和 轴上，点 在反比例函数 的图象上，点 在第二象限内，若 ，则正方形 的边长为
（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴正半轴上，
反比例函数 的图像经过点 和线段 的中点 ，且点 的横坐标为 ，则 与 满足
的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023下·海南海口·八年级统考期末）如图，矩形 的顶点A、B、C的坐标分别为 、
、 ，则点D的坐标为 ，若反比例函数 的图象与矩形 有交点，则
k的取值范围为 ．4．（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系 中， 的直角
顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限， ，反比例函数 的图象分别交
， 于点C，D，连接 并延长交x轴于点E．若 的面积和 的面积相等，则：
（1） 的面积为 ．
（2）点C的坐标是 ．
三、解答题
5．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教
室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位： ）与时间x（单位：
）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为 ，药物喷洒完成后y
与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 ．(1)n的值为__________；
(2)当 时，y与x的反比例函数关系式为__________；
(3)当教室空气中的药物浓度不高于 时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成 后，
学生能否进入教室？请通过计算说明．
6．（2023上·河南郑州·九年级校联考期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个
动点，过点A作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边
作菱形 ，过点D作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求
该反比例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．7．（2023上·山西太原·九年级期末）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，
是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮
饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 是面条横截面面积 的反
比例函数，其图象经过 两点（如图）．
(1)求y与S之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 ，求这根面条的总长度至少有多长．
8．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图1，菱形 的边 在平面直角坐标系中的x轴
上 ，菱形对角线交于点 ，过点C的反比例函数 与菱形的边 交于点
E．(1)求点C的坐标和反比例函数 的表达式；
(2)如图2，连接 ， 求出 的面积．
9．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）如图，直线 与双曲线 相交于点 ，
轴于点 ，以 为边在右侧作正方形 ， 与双曲线相交于点 ，连结 、 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)当 时，求 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图 ，正方形 的顶点 ，点 ，反比例函数 的图象经过点 ．
(1)试说明反比例函数 的图象也经过点 ；
(2)如图 ，正方形 向下平移得到正方形 ，边 在 轴上，反比例函数 的图象
分别交正方形 的边 、 于点 、 ．
①求 的面积；
②在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
11．（2022下·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数
的图象于点 ，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，
射线 交y轴于点E，连结 ， ， ．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形 是平行四边形．(2)当四边形 是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求 的值．
12．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数
的图象与矩形 相交于 两点，点 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 的
纵坐标为3，点 的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接 ， ， 与 相交于点 ．
ⅰ）求证： ；
ⅱ）连接 ，当 是直角三角形时，求此时 的长．
13．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像与
一次函数 的图像在第一象限交于A、B两点．探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩
形面积记为 、 、 ，矩形周长记为 、 、 ，
（1）如图1，P是线段 上不与点A、B重合的一点， ．
______， ______ （填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时， 的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线 段上不与点A、B重合的一点， ， ．
______， ______ （填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时， 的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线 右上方的点Q， 与
反比例函数的图像交于点G．若G是 的中点，且 的面积为9，求k的值．
