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第 04 讲 整式的除法
课程标准 学习目标
1. 掌握同底数幂的运算法则及其逆运算，并能够在题目中对其
①同底数幂的除法
熟练应用。
②零指数幂
2. 掌握零指数幂的计算，并能够熟练应用。
③单项式除以单项式
3. 掌握整式的除法的运算法则，并能够在题目中对其进行熟练
④多项式除以单项式
的应用。
知识点01 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法运算法则：
同底数幂相除，底数 ，指数 。
即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）
推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p）
2. 逆运算：
。（a≠0，m、n为正整数）。
【即学即练1】1．计算
（1）a7÷a4 （2）（﹣m）8÷（﹣m）3 （3）（xy）7÷（xy）4
（4）x2m+2÷xm+2 （5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3 （6）x6÷x2•x
【即学即练2】
2．已知ax＝4，ay＝9，求a3x﹣2y的值．
知识点02 零指数幂
1. 零指数幂的计算：
任何不等于0的数的0次幂都等于 。即： 。（a≠0）
证明：
= 。
∵相等的两数（都不为0）的商等于1
∴ 1
∴ =1
【即学即练1】
3．（ ﹣3）0＝ ．
【即学即练2】
π
4．若（x﹣2）0＝1，则x应满足条件 ．
【即学即练3】
5．如果等式（x﹣2）2x＝1，则x＝ ．
知识点03 单项式除以单项式
1. 单项式除以单项式的运算法则：单项式除以单项式，系数 作为商的系数，同底数幂 。对于只在被除式里面
出现的字母，连同它的 作为商的一个因式。
说明：
【即学即练1】
6．计算下列各题：
（1）9a4b3c÷2a2b3 （2）﹣24x2y3÷（﹣8y3）
4 多项式除以单项式
知识点0
1.
多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，用多项式的 去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
【即学即练1】
7．计算：
（1）（ n3﹣7mn2+ n5）÷ n2 （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3．
题型01 同底数幂的除法的计算
【典例1】计算m3÷m的结果是（ ）
A．m2 B．m3 C．m4 D．m
【变式1】计算：（﹣a2）3÷a3＝ ．
【变式2】计算下列各题．（1）﹣a8÷（﹣a）5 （2）x10÷（x2）3
（3）（m﹣1）7÷（m﹣1）3 （4）（am）n×（﹣a3m）2n÷（amn）5．
【变式3】计算：
（1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5．
（4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2．
题型02 利用同底数幂除法的运算求值
【典例1】已知xm＝2，xn＝3，则x3m﹣2n的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式1】若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为 ．（用含a、b的代数式表示）
【变式2】若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝ ．
【变式3】若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为 ．
【变式4】已知am＝2，an＝3，求：
（1）a4m+3n的值； （2）a5m﹣2n的值．
题型03 零指数幂的计算与成立的条件
【典例1】计算（﹣3）0的结果为（ ）A．3 B．﹣3 C．1 D．0
【变式1】（ ﹣3.14）0＝ ．
【变式2】计
π
算：（ ﹣3）0+（﹣1）3＝ ．
【典例2】等式（x+π4）0＝1成立的条件是（ ）
A．x为有理数 B．x≠0 C．x≠4 D．x≠﹣4
【变式1】要使（a﹣3）0有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＝3 D．a≠3
【变式2】若（x﹣3）x＝1，则x的值为 ．
【变式3】已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ ．
题型04 整式的除法的计算
【典例1】计算：10a2b3÷（﹣5ab3）＝ ．
【变式1】（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）的结果是（ ）
A．﹣3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2 D．﹣3x﹣2
【变式2】计算下面各题：
（1）a9÷a2； （2）（﹣a）10÷（﹣a）2； （3）（a3）3÷（﹣a）4；
（4）（a﹣b）8÷（b﹣a）6； （5）（﹣5x2y2z3）2÷（﹣xy2z）2；
（6）（﹣36m3+48m2﹣12m）÷（﹣12m）．
【变式3】计算：
（1）（6ab+5a）÷a； （2）（6x2y3﹣4x3y）÷2x2y；（3）（6x2y4﹣3x3y2+9x）÷（﹣3x）； （4）（16x4y+4x3y﹣8x3）÷（2x）3．
1．下列计算正确的是（ ）
A．x3⋅x4＝x12 B．x8÷x4＝x2
C．（x3）3＝x6 D．（﹣2xy）2＝4x2y22．（p﹣q）4÷（q﹣p）3＝（ ）
A．p﹣q B．﹣p﹣q C．q﹣p D．p+q
3．若3y﹣2x+2＝0，则9x÷27y的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．
4．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（ ）
A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y
5．若 ，则6m﹣4n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．9
6．如果（m﹣3）m＝1，那么m应取（ ）
A．m≤3 B．m＝0 C．m＝0或4 D．m＝0或4或2
7．若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（ ）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．8a﹣2b D．a﹣b+3
8．2x2+5x﹣7除以x+3的商式为ax+b，余式为c，求a+b+c＝（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．﹣3 D．7
9．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c＝（ ）
A．12 B．13 C．14 D．19
10．小亮在计算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积
是（ ）
A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2 D．无法计算
11．已知多项式A除以x2+2x﹣3得商式3x，余式x+2，则多项式A为 ．
12．计算：（ ﹣3.14）0+（﹣3）2＝ ．
13．已知a2m＝π3，a3n＝5，则2a6m﹣4＝ ，a4m﹣6n＝ ．
14．若xa＝3，xb＝8，xc＝72，则xa﹣b+c的值为 ，a，b，c之间的数量关系为 ．
15．一个长方体的长为a cm，宽为（a﹣b）cm，若这个长方体的体积为（a3﹣2a2b+ab2）cm3，那么它的
高为 cm（用含a，b的代数式表示）．
16．已知A＝x3÷x2+x•x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2．
（1）若4A÷B﹣2y＝0，请用含x的代数式表示y．
（2）若A＝B+1，求9﹣2x3+6x的值．17．认真阅读下面材料，回答问题：
例如：已知3n＝59049，求3n﹣2的值．
解：∵3n＝59049，∴3n﹣2＝3n÷32＝59049÷9＝6561．
回答问题：
（1）若9n＝729，求32n﹣2的值；
（2）如果3x＝27，求32x+3的值
18．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，
这样他计算的正确结果为﹣x2y2．
（1）将整式A化为最简形式．
（2）求整式B．
19．【课内回顾】
（1）若ac＝bc，当c满足 时，则a＝b；
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如30＝1；
②底数为1的整数幂，例如1﹣2＝1；
③底数为﹣1的偶数次幂，例如（﹣1）2＝1．
【知识运用】（2）若（x+2）x+4＝1，求x的值；
（3）若（x+2）x+4＝x+2，求x的值．
20．【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的
推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图1：∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式
整除．
例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除．
根据阅读材料，请解答下列问题：
（1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝ ；
（2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式；
（3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝ ；
（4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相
等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
