专题21角、余角、补角之九大考点(解析版)_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 21 角、余角、补角之九大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 角的概念及表示方法】....................................................................................................................1 【考点二 角的单位与角度制】........................................................................................................................3 【考点三 钟面角】............................................................................................................................................4 【考点四 与方向角有关的计算题】................................................................................................................6 【考点五 三角板中角度计算问题】................................................................................................................8 【考点六 角平分线的有关计算】..................................................................................................................11 【考点七 角n等分线的有关计算】..............................................................................................................14 【考点八 求一个角的余角、补角】..............................................................................................................18 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】..........................................................................19 【过关检测】...........................................................................................................................................23 【典型例题】 【考点一 角的概念及表示方法】 例题：（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D． 也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、 也可以表示为 ，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 【变式训练】 1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有： ， ． 故答案为： ， ． （2）以 为顶点的角有： ， ， ． 故答案为： ， ， ． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键． 2.（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：(1) 表示成 ，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以 为顶点的角有几个？请表示出来． (4) 与 是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答 即可． 【详解】（1）不正确，因为以 为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为 ； （2）图中 可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是 、 、 ； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 【考点二 角的单位与角度制】 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【答案】【分析】（1）把 转化成 即可得到答案； （2） 转化成 即可得到答案； （3）按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案． 【详解】解：（1） ， 故答案为： ， （2） ， 故答案为： （3） ， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【答案】 2 4 60 3600 75 1.5 【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可． 【详解】解：（1）1周角 平角 直角； （2） ； （3） ， ． 故答案为：2；4；60；3600；75；1.5． 【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握 ． 2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ；（3） ； （4） ． 故答案为： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 【考点三 钟面角】 例题：（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【答案】 【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是 ，钟面上8点30分时，时针和分 针之间相差 个大格，用 ，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是 ， ∴8点30分时，时针和分针所夹的角是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为 ． 【变式训练】 1.（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师 从家出发去单位上班，到单位的时间是 ，那 么这段时间，分针走了 °，时针走了 °． 【答案】 210 17.5 【分析】先求出分针1分钟走 ，时针1分钟走 ，然后再根据时间求出分针和时 针走的角度即可． 【详解】解：∵分针1小时走 ，时针1小时走 ， ∴分针1分钟走 ，时针1分钟走 ，∴李老师 从家出发去单位上班，到单位的时间是 ，那么这段时间，分针走了 ， 时针走了 ． 故答案为：210；17.5． 【点睛】本题主要考查了钟表上的角度问题，解题的关键是求出分针1分钟走 ，时针1分钟走 ． 2.（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分 针的夹角为 度． 【答案】 【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是 ，每一小格所对的圆心角是 ，根据这个关系，求解即可． 【详解】解： 时钟指示14时10分时，分针指到2，时针指到2与3之间， 时针从2到这个位置经过了10分钟，时针每分钟转 ，因而转过 ， 时针和分针所成的锐角是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查钟面角，解决本题的关键是根据表面上每一格 ，每一小格所对的圆心角是 的规律， 计算出分针与时针的夹角的度数． 【考点四 与方向角有关的计算题】 例题：（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔 处观测到轮船 位于北偏西 的方向， 同时轮船 在南偏东 的方向，那么 的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方向角的定义，求出 即可求解． 【详解】解：如图， ，． 又 ， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义，得出角的度数． 【变式训练】 1.（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点A出发 走到点 ，若 ，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点 A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南 【答案】C 【分析】先求得 与正东方向的夹角的度数，即可求解． 【详解】解：由题意得： 与正东方向的夹角为 ， ∵ ， ∴ 与正南方向的夹角为 ， 即乙从点A出发沿南偏西 方向走到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键． 2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店 碰面，小丽家 在早餐店南偏西 方向上，小影家在点 处，小华家 在早餐店东南方向上， ，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等． (1)在图中画出小华家的位置 ； (2)求 的度数； (3)若 ，请说出小影家 相对于早餐店的位置． 【答案】(1)见解析图； (2) ； (3)小影家 在早餐店的位置北偏西 的位置上． 【分析】（ ）根据要求画出图形即可； （ ）得 与正东方向的夹角，从而求得 的度数； （ ）求出 与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可． 【详解】（1）如图，点 即为所求； （2）∵ ， ∴ 与正东方向的夹角为 ， ； （3）由（ ）得 与正东方向的夹角为 ， ∵ ， ∴ 与正东方向的夹角为： ， ∵正东和正北的夹角为 ， ∴ 与正北方向的夹角为： ， ∴小影家 在早餐店的位置北偏西 的位置上．【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题． 【考点五 三角板中角度计算问题】 例题：（2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若 ，则 等于 ． 【答案】 /20度 【分析】根据 求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板 的直角顶点O在直线 上，线段 ， 是三角板的两条直角边，射线 是 的平分线． (1)当 时，求 的度数； (2)当 时， _________（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求得 ，利用角平分线的性质得到 ，再利用平角的定 义， 可求；（2）利用（1）中方法可求． 【详解】（1）解： ， ， ． ∵ 平分 ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ∵ 平分 ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性 质是解题的关键． 2.（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线 上的一点O为端点，在直线 的上方作射 线 ，使 ．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（ ）在直 线 的上方．设 ． (1)当 时，求 的大小； (2)若 时，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差运算求解即可； （2）首先根据题意表示出 ， ，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：当 时， ， ∵ ，∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：当 时， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键． 【考点六 角平分线的有关计算】 例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线 上一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，则 __________；若 ，则 __________； 与 的数量关系为__________； (2)当射线 绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成立？请 说明理由． 【答案】(1)（1） ； ； (2) 仍然成立，理由见解析 【分析】（1）先求得 ，再根据角平分线的定义求得 ，再根据平角定义求解即可； （2）设 ，仿照（1）中方法，先求得 ，再根据角平分线的定义求得 ， 再根据平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是直角， ， ∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∴ ， 则 ， 若 ，则 ， 故答案为： ； ； ． （2）解： 仍然成立，理由为： 如图2，设 ， ∵ 是直角， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 则 ． 【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键． 【变式训练】 1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示， 是平角， 分别是 的平分线． (1)当 时，求 的度数； (2)当 时，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据由（1）的方法得， ，把 代入即可求解． 【详解】（1）解：因为 分别是 的平分线，所以 ， ． 因为 ， 所以 ． 所以 ． （2）解：由（1）的方法得， ． ∴当 度时，则 ． 【点睛】考查角平分线的意义、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题 的关键，等量代换是常用的方法． 2.（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知 ， 平分 ， 、 分别平分 、 ，求 的度数； （2）如图2，在（1）中把“ 平分 ”改为“ 是 内任意一条射线”，其他任何条件都 不变，试求 的度数； （3）如图3，在（1）中把“ 平分 ”改为“ 是 外的一条射线且点C与点B在直线 的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出 的度数 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义求出 和 度数，即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出 ， ，求出 ，代入求出即可； （3）根据角平分线定义得出 ， ，求出，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵ ， 平分 ， ∴ ， ∵OD、OE分别平分AOC、COB， 1 1 ∴COD ∠AOC 30，COE  BOC 30， 2 2 ∴DOECODCOE303060； （2）∵OD、OE分别平分AOC、COB， 1 1 ∴COD AOC ，COE BOC ， 2 2 ∴DOECODCOB 1  AOCBOC 2 1 1  AOB 12060； 2 2 （3）∵OD、OE分别平分AOC、COB， 1 1 ∴ COD AOC ，COE BOC ， 2 2 ∴DOECODCOB 1  AOCBOC 2 1 1  AOB 12060． 2 2 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫 做这个角的平分线是解答此题的关键． 【考点七 角n等分线的有关计算】 例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ）A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，综合 即可得出答案． 【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线． ∴ 或 ， ∴ ， ∴ 的度数为 或 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式训练】 1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是 的三等分 线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表示为（ ） A． 或 或 B． 或 或 C． 或 或 D． 或 或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线， 则 ， ， ；如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线， 则 ， ， ； 如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线， 则 ， ， ； 如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的三等分线， 则 ， ， ； 综上， 为 或 或 ， 故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知AOB120，以射线OA为起始边，按顺时针方向依次作射线 OC、OD，使得COD60，设AOC ，0180. (1)如图1，当0≤60时，若AOD83，求BOC的度数； (2)备用图①，当60120时，试探索AOD与BOC的数量关系，并说明理由； 2 AOE AOC (3)备用图②，当120180时，分别在AOC内部和BOD内部作射线OE， OF ，使 3 ， 1 DOF  BOD 3 ，求EOF的度数. 【答案】(1)BOC 97； (2)AODBOC180；理由见解析； (3)EOF 80 【分析】（1）根据图形可知BODAOBAOD，继而根据BOCCODBOD，即可求解； （2）根据图形得出BOC CODBOD60BOD，计算AODBOC，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当=120�时，射线OC与OB重合，射线OD与OA互为反向延长线，②当 120180时，如图4，射线OC、OD在AOB的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1， 060， COD在AOB内部， QAOB120，AOD83， BODAOBAOD1208337，  COD60， BOCCODBOD603797； （2）AODBOC180；理由如下：如图2， 60120， 射线OC、OD分别在AOB内、外部，  AODAOBBOD120BOD， BOC CODBOD60BOD， AODBOC120BOD60BOD180， AODBOC180； （3）①当=120�时，射线OC与OB重合，射线OD与OA互为反向延长线， 则AOC AOB120，BODCOD60，如图3， 2 1  AOE AOC ，DOF  BOD， 3 3 1 1 COE AOC  AOB40， 3 3 2 2 COF  BOD COD40， 3 3 EOF COECOF 404080； ②当120180时，如图4，射线OC、OD在AOB的外部，如图4， 则BOC AOCAOB120， BODBOCCOD60， 2 1  AOE AOC ，DOF  BOD， 3 3 1 1 COE AOC   ， 3 3 2 2 2 BOF  BOD 60 40， 3 3 32 1 COF BOFBOC  40120 80， 3 3 1 1 EOF COECOF   8080 . 3 3 综合①②得EOF 80． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 【考点八 求一个角的余角、补角】 例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若 ，则 的余角等于 ， 的补角等于 ． 【答案】 【分析】两个角的和为 ，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互余与互 补的定义求解即可. 【详解】解： ， ∠α的余角= ∠α的补角= 故答案为： ， . 【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含义”是解 本题的关键. 【变式训练】 1．（22·23上·内江·期末）如果 ，那么 的余角等于 ； 的补角为 ． 【答案】 /65度 /155度 【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解： ， 的余角为： ， 的补角为： ， 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两角之和 是 或 ，并能熟练运用． 2．（22·23上·南京·期末）若 ，则 的余角为 °， 的补角为 °． 【答案】 【分析】根据两个角的和等于 （直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于 （平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】 的余角： ， 的补角： ， 故答案为： 、 ． 【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算． 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图， 平分 平分 ． (1)求出 及其补角的度数； (2)请求出 和 的度数，并判断 与 是否互补，并说明理由． 【答案】(1) ， (2) ， 与 互补，理由见解析 【分析】（1）利用角的和差关系即可得到 的度数，利用补角的定义即可得到 的补角； （2）利用角平分线定义可求出 和 的度数，再求出 的度数，即可得到 与 互补． 【详解】（1）解： ， 的补角为 ． （2）∵ 平分 平分 ． ∴ ． 与 互补．理由如下： ∴ ．故 与 互补． 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算、补角的定义、几何图形中的角度计算，数形结合和准确计算是 解题的关键． 【变式训练】 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ，使 ．将 一直角三角尺的直角顶点放在O处． (1)当三角尺一边 在 的内部（图①），且恰好平分 ，此时直线 是否平分 ？请 说明理由； (2)当三角尺一边 在 的内部（图②），求 的值． 【答案】(1)直线 平分 ，理由见详解； (2) 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件 ， ，即可得到 、 ， 然后作差即可． 【详解】（1）直线 平分 ，理由如下： 设 的反向延长线为 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ， （2）∵ ， ， ∴ 、 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的 关键． 2．（22·23下·十堰·开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由． 【答案】(1) 、 、 ； (2) 是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出 、 、 、 等度数，进而求得结果； （2）根据 ，从而表示出分子，根据 ，进而得出结果．【详解】（1）解：∵ 和 互补， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 分别平分 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 故答案为： 、 、 ； （2） 是定值， 理由如下： ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数 量关系．【过关检测】 一、单选题 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ） A． 与 是同一个角 B． 也可以用 表示 C． D．图中有三个角 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解： 与 是同一个角，说法正确，故不符合题意． 也可以用 表示，说法错误，故符合题意． ，说法正确，故不符合题意． 图中有三个角 ，说法正确，故不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 2．（23·24上·全国·课时练习）（角的换算）把 用度、分、秒表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒， 由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： ； 故选：A 【点睛】考查了度分秒的换算，分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法． 3．（22·23下·宿州·期中）一艘轮船在大海上航行，观测到灯塔在南偏西 方向，则灯塔观测轮船在 （ ）A．南偏西 方向B．南偏东 方向 C．北偏西 方向 D．北偏东 方向 【答案】D 【分析】根据方向角的定义画出相应的图形即可． 【详解】解：如图，灯塔在船的南偏西 方向，则船在灯塔的北偏东 ， 故选：D． 【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义，画出相应的图形是正确解答的前提． 4．（22·23下·菏泽·期末）如图， 平分 ， 平分 ， ， ， （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可． 【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关 键． 5．（23·24上·昆明·阶段练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起， ， ． 固定不动， 绕着O点顺时针旋转 ，若 绕着O点旋转图2的位置，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得 ，再由 ，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． 二、填空题 6．（22·23下·西安·开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【答案】 【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是 ，钟面上8点30分时，时针和分 针之间相差 个大格，用 ，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是 ， ∴8点30分时，时针和分针所夹的角是 ．故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为 ． 7．（23·24上·大庆·阶段练习）如图， ， ， 平分 ，则 ． 【答案】 /25度 【分析】先求解 ，再利用角平分线的定义可得 ，最后结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关 键． 8．（22·23下·焦作·期中）如图，已知直线 与 相交于点 ，若 ，则 的补角的度数为 .【答案】 /122度 【分析】根据平角的定义求出 ，根据互余求出 ，即可求 的补角答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 的补角为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了角互补、互余等知识，解题关键是熟练掌握互补和互余定理． 9．（23·24上·宁波·开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中． 【答案】 南偏西 【分析】根据方向角即可求解． 【详解】解：运动员需要把台球A向南偏西 撞击B球，使B被击进袋中， 故答案为：南偏西； ． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 10．（22·23下·南阳·期中）如图，已知 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度 顺时针旋转； 同时，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，并且当 与 成 角时， 与 同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒， 与 的夹角是 ．【答案】 或 【分析】设转动 秒， 与 的夹角是 ，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论． 【详解】设 秒后， 与 的夹角是 ， 如图 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即有 ， 解得： ， 如图 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即有 ， 解得： ， 综上可知： 或 ， 与 的夹角是 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们 之间的等量关系． 三、解答题11．（22·23下·济南·期中）一个角的余角比它的补角的 多 ，求这个角的余角． 【答案】这个角的余角是 【分析】设这个角的度数为x，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意可得： 解得： ∴ ． 答：这个角的余角是 ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，余角与补角的定义，熟记互为余角的和等于 ，互为补角 的和等于 是解题的关键． 12．（22·23上·吴忠·期末）如图，O是直线 上一点， 为任一条射线， 平分 ， 平分 ． (1)写出图中 的补角， 的补角； (2) 与 互余吗？为什么？ 【答案】(1) 的补角为 ， 的补角为 (2)互余，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得 ， ，再根据和 为180度的两个角互为补角进行求解即可； （2）由角平分线的定义可得 ， ，在根据和为90度的两个角互为余角进 行证明即可． 【详解】（1）∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ，∵ ， ， ∴ ， ， ∴ 的补角为 ， 的补角为 ； （2）互余，理由如下： ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和余角、补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（22·23下·榆林·期中）如图，点 是直线 上一点，以 为顶点作 ， 平分 ． (1)当 时，求 的度数； (2)若 与 互补，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 ，得出 ，根据角平分线的性质得出 ， 最后根据 ，即可求出 ； （2）根据 ， 得出 ．根据 ，得出 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ，∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查了角度的和差计算，互补的定义，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系， 掌握相加等于 的两个角互补． 14．（23·24上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题： (1)如图①， 内部有一条射线 ，则图中有 个角； (2)如图②， 内部有两条射线 ， ，则图中有___________个角； (3)如果 内部有10条射线，那么图中有________________个角． 【答案】(1)3 (2)6 (3)66 【分析】（1）根据图①直接数出即可； （2）根据图②直接数出即可； （3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条 射线时角的个数． 【详解】（1）解：图①中有 ， ， 共3个， 故答案为：3． （2）解：在 内部画2条射线 ， ，则图中有 、 、 、 、 、 ，共 个不同的角； 故答案为：6． （3）解：按逆时针方向，以射线 为角的始边，则题图①中分别以射线 为角的终边共有两个角： ， ；以射线 为始边，射线 为终边有一个角： ，所以题图①中角的个数是 ； 同理，题图②中角的个数是 ； 经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1， ∴当 内部有10条射线时，角的个数是： ． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是 解答的关键． 15．（22·23上·福州·期末）已知 ．在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 ．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线 为 二倍角线． (1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若 为 的二倍角线，求 的度数； (3)如图②，将一块三角板 的直角顶点O放在直线 上，且三角板 绕着点O转动，若 是 的二倍角线， 是 的二倍角线，请直接写出 的度数． 【答案】(1)是 (2) (3) 或 或 或 或 或 或 【分析】（1）根据“二倍角线”的定义，即可求解； （2）根据“二倍角线”的定义，可得 ，即可求解；（3）分9种情况结合“二倍角线”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“二倍角线”； 故答案为：是 （2）解：依题意得： ， ∵ ， ∴ ； （3）解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 终上所述， 的度数为 或 或 或 或 或 或 ．【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，理解新定义是解题的关键． 16．（22·23下·哈尔滨·期末）已知 为 ， 为 ，若 ，称 为 的“二倍补角”． (1)求 为 ， 为 的“二倍补角”，求 的度数； (2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等，求这个角的度数． (3) 与 互余， 为 的“二倍补角”， 与 互补， 是否是 的“二倍补角”？请 说明理由． 【答案】(1) (2)这个角的度数为 (3) 是 的“二倍补角”，理由见解析 【分析】（1）根据“二倍补角”的定义，进行求解即可； （2）设一个角为 ，根据“二倍补角”的定义，得到另一个角为 ，根据两个角相等，列出方 程求解即可； （3）根据互余的两角和为 ，互补两角之和为 ，以及“二倍补角”的定义，进行角的转化，进行判 断即可． 【详解】（1） 为 的“二倍补角” ； （2）设一个角为 ，则它的“二倍补角”度数为 ，由题意得 ，解得 这个角的度数为 ； （3） 是 的“二倍补角”理由： 由题意得 ， 整理得 ， 与 互补是 的“二倍补角”． 【点睛】本题考查与余角和补角有关的计算．解题的关键是理解并掌握“二倍补角”的定义． 17．（23·24上·全国·课堂例题）如图， 是直线 上的一点， 平分 ． 【观察计算】 （1）当 时，求 的度数； 【类比猜想】 （2）当 时，试猜想 的度数（用含 的式子表示），并说明你的猜想的正 确性． 【答案】（1） ；（2）猜想： ，证明见解析 【分析】（1）先由平角的定义求得 的度数，再由 平分 可求得 的度数，最后再由 可求得∠DOE的度数． （2）仿照（1）的推理步骤即可求得 的度数． 【详解】解：（1）因为 ， 所以 ． 因为 平分 ， 所以 ． 所以 ． （2）猜想： ． 因为 ， 所以 ． 因为 平分 ， 所以 ， 所以 ．【点睛】本题考查了平角、角平分线的定义，解题的关键是熟练运用这些定义来计算角的度数． 18．（22·23上·常州·期末）已知： ． (1)如图1，若 ． ①写出图中一组相等的角（除直角外）__________， 理由是________________． ②那么 _________ ． (2)如图2， 与 重合，若 ，将 绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时 间为t（ ）秒． ①当t=______秒时， 平分 ； ②试说明：当t为何值时， ？ 【答案】(1)① ，同角的余角相等；②180 (2)①6；② 或20 【分析】（1）①根据同角的余角相等解答； ②利用角的和差关系即可求解； （2）①由 平分 知，旋转角等于 的一半，即可列方程求解； ②分 在 的内部和外部讨论即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴ ， ， ∴ （同角的余角相等）． 故答案为： ，同角的余角相等； ②∵ ， ∴． 故答案为：180； （2）解：①根据题意，得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为：6； ②当 在 的内部时， ∵ ， ∴ ， 解得 ； 当 在 的内部时， ∵ ， ∴ ， 解得 ， 综上，t为 或20时， 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，余角的性质，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的 度数是解题的关键．