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第 04 讲 整式的除法
课程标准 学习目标
1. 掌握同底数幂的运算法则及其逆运算，并能够在题目中对其
①同底数幂的除法
熟练应用。
②零指数幂
2. 掌握零指数幂的计算，并能够熟练应用。
③单项式除以单项式
3. 掌握整式的除法的运算法则，并能够在题目中对其进行熟练
④多项式除以单项式
的应用。
知识点01 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法运算法则：
同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。
即： 。（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）
推广： 。（a≠0，m、n、p为正整数且m＞n+p）
2. 逆运算：
。（a≠0，m、n为正整数）。
【即学即练1】1．计算
（1）a7÷a4 （2）（﹣m）8÷（﹣m）3 （3）（xy）7÷（xy）4
（4）x2m+2÷xm+2 （5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3 （6）x6÷x2•x
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减来计算．
【解答】解：（1）a7÷a4＝a3；
（2）（﹣m）8÷（﹣m）3＝（﹣m）5＝﹣m5；
（3）（xy）7÷（xy）4＝（xy）3＝x3y3；
（4）x2m+2÷xm+2＝xm；
（5）（x﹣y）5÷（y﹣x）3＝﹣（y﹣x）5÷（y﹣x）3＝﹣（y﹣x）2；
（6）x6÷x2•x＝x4•x＝x5．
【即学即练2】
2．已知ax＝4，ay＝9，求a3x﹣2y的值．
【分析】先将a3x﹣2y的运用逆运算，写成（ax）3÷（ay）2，再代入计算即可．
【解答】解：a3x﹣2y＝（ax）3÷（ay）2＝43÷92＝ ．
知识点02 零指数幂
1. 零指数幂的计算：
任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。即： 1 。（a≠0）
证明：
= 。
∵相等的两数（都不为0）的商等于1
∴ 1
∴ =1
【即学即练1】
3．（ ﹣3）0＝ 1 ．
【分析】根据非0的0次幂等于1，可得答案．
π
【解答】解：原式＝1．
故答案为：1．
【即学即练2】
4．若（x﹣2）0＝1，则x应满足条件 x ≠ 2 ．
【分析】根据零指数幂的概念解答．
【解答】解：若（x﹣2）0＝1，则x应满足x﹣2≠0，即x≠2，
故本题答案为：x≠2．
【即学即练3】
5．如果等式（x﹣2）2x＝1，则x＝ 3 或 1 或 0 ．
【分析】非0数的零指数幂为1和1的任何次幂都为1，﹣1的偶次幂为1，分析求解．
【解答】解：由题意得：
当x＝0时，原等式成立；
或x﹣2＝1，即x＝3时，等式（x﹣2）2x＝1成立．
x﹣2＝﹣1，解得x＝1．
故答案为：3或1或0．
知识点03 单项式除以单项式
1. 单项式除以单项式的运算法则：
单项式除以单项式，系数 相除 作为商的系数，同底数幂 相除 。对于只在被除式里面出现
的字母，连同它的 指数 作为商的一个因式。
说明：
【即学即练1】
6．计算下列各题：
（1）9a4b3c÷2a2b3 （2）﹣24x2y3÷（﹣8y3）
【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）9a4b3c÷2a2b3＝ a2c；
（2）﹣24x2y3÷（﹣8y3）＝3x2．
4 多项式除以单项式
知识点0
1.
多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，用多项式的 每一项 去除以单项式，再把得到的商相加。
说明：
【即学即练1】7．计算：
（1）（ n3﹣7mn2+ n5）÷ n2＝ n ﹣ m + n 3 ；
（2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ 3 x 2 y 3 ﹣ 2 y ﹣ 4 x y 2 ．
【分析】此题的两个小题都是利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然
后再把所得的商相加计算．
【解答】解：（1）（ n3﹣7mn2+ n5）÷ n2，
＝ n3÷ n2﹣7mn2÷ n2+ n5÷ n2，
＝n﹣ m+n3；
（2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3，
＝12x4y6÷4x2y3﹣8x2y4÷4x2y3﹣16x3y5÷4x2y3，
＝3x2y3﹣2y﹣4xy2．
故填空答案：（1）n﹣ m+n3；（2）3x2y3﹣2y﹣4xy2．
题型01 同底数幂的除法的计算
【典例1】计算m3÷m的结果是（ ）
A．m2 B．m3 C．m4 D．m
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算．
【解答】解：m3÷m＝m3﹣1＝m2．
故选：A．
【变式1】计算：（﹣a2）3÷a3＝ ﹣ a 3 ．
【分析】首先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的除法即可．
【解答】解：原式＝﹣a6÷a3＝﹣a6﹣3＝﹣a3．
故答案为：﹣a3．
【变式2】计算下列各题．
（1）﹣a8÷（﹣a）5 （2）x10÷（x2）3
（3）（m﹣1）7÷（m﹣1）3 （4）（am）n×（﹣a3m）2n÷（amn）5．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，即 am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整
数，m＞n）计算即可；（2）先根据底数不变，指数相乘计算出（x2）3，然后按照同底数幂的除法法则进行计算；
（3）根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，即am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞
n）计算即可；
（4）先根据底数不变，指数相乘计算出各项，然后按照同底数幂的除法法则进行计算；
【解答】解：（1）﹣a8÷（﹣a）5＝﹣a8﹣5＝a3，
（2）x10÷（x2）3＝x10÷x6＝x10﹣6＝x4，
（3）（m﹣1）7÷（m﹣1）3＝（m﹣1）7﹣3＝（m﹣1）4，
（4）（am）n×（﹣a3m）2n÷（amn）5＝amn+6mn﹣5mn＝a2mn．
【变式3】计算：
（1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5．
（4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2．
【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（3）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（4）先变形，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（5）先算乘法、除法、乘方，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a5÷3＝﹣a2；
（2）原式＝xm﹣1﹣1＝xm﹣2；
（3）原式＝﹣x11÷x6•（﹣x5）
＝x11﹣6+5
＝x10；
（4）原式＝（x﹣2y）4÷（x﹣2y）2÷（x﹣2y）
＝（x﹣2y）1
＝x﹣2y；
（5）原式＝a2+a2﹣9a2
＝﹣7a2．
题型02 利用同底数幂除法的运算求值
【典例1】已知xm＝2，xn＝3，则x3m﹣2n的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则结合幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x3m﹣2n＝（xm）3÷（xn）2＝23÷32
＝ ．
故选：B．
【变式1】若4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为 ．（用含a、b的代数式表示）
【分析】逆向运算同底数幂的除法法则，结合幂的乘方运算法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，
指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，
∴22x﹣3y＝22x÷23y＝ ．
故答案为： ．
【变式2】若3n＝2，3m＝5，则32m+3n﹣1＝ ．
【分析】所求式子利用同底数幂的乘除法则变形，再利用幂的乘方法则变形，将已知等式代入计算即可
求出值．
【解答】解：∵3n＝2，3m＝5，
∴32m+3n﹣1＝（3m）2×（3n）3÷3＝25×8÷3＝ ．
故答案为：
【变式3】若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为 2 ．
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，
从而可求解．
【解答】解：9a•27b÷81c＝9，
32a•33b÷34c＝32，
32a+3b﹣4c＝32，
∴2a+3b﹣4c＝2，
故答案为：2．
【变式4】已知am＝2，an＝3，求：
（1）a4m+3n的值；
（2）a5m﹣2n的值．
【分析】（1）同底数幂乘法运算法则的逆用，幂的乘方的运算法则的逆用即可得到正确解答；
（2）同底数幂除法运算法则的逆用，幂的乘方的运算法则的逆用即可得到正确解答．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，∴a4m+3n
＝a4m⋅a3n
＝（am）4•（an）3
＝24×33
＝16×27
＝432；
（2）∵am＝2，an＝3，
∴a5m﹣2n
＝a5m÷a2n
＝（am）5÷（an）2
＝（2）5÷（3）2
＝ ．
题型03 零指数幂的计算与成立的条件
【典例1】计算（﹣3）0的结果为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．0
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）进而得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故选：C．
【变式1】（ ﹣3.14）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂的意义计算．
π
【解答】解：（ ﹣3.14）0＝1．
故本题答案为：1．
π
【变式2】计算：（ ﹣3）0+（﹣1）3＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
π
【解答】解：原式＝1﹣1
＝0．
故答案为：0．
【典例2】等式（x+4）0＝1成立的条件是（ ）
A．x为有理数 B．x≠0 C．x≠4 D．x≠﹣4
【分析】根据零指数幂的意义进行计算．
【解答】解：∵（x+4）0＝1成立，
∴x+4≠0，
∴x≠﹣4．故选：D．
【变式1】要使（a﹣3）0有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＝3 D．a≠3
【分析】根据零指数幂的定义（任何一个不为0的数的零次幂等于1）解决此题．
【解答】解：由题意得，a﹣3≠0．
∴a≠3．
故选：D．
【变式2】若（x﹣3）x＝1，则x的值为 0 或 4 或 2 ．
【分析】直接利用x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x＝0分别分析得出答案．
【解答】解：当x﹣3＝1，解得：x＝4，
此时（x﹣3）x＝1，
当x﹣3＝﹣1，解得：x＝2，
此时（x﹣3）x＝1，
当x＝0，此时（x﹣3）x＝1，
综上所述：x的值为：0或4或2．
故答案为：0或4或2．
【变式3】已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ ﹣ 5 或﹣ 1 或﹣ 3 ．
【分析】根据：a0＝1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．
【解答】解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．
当x+2＝1时，x＝﹣1，
当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
题型04 整式的除法的计算
【典例1】计算：10a2b3÷（﹣5ab3）＝ ﹣ 2 a ．
【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2a，
故答案为：﹣2a．
【变式1】（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）的结果是（ ）
A．﹣3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2 D．﹣3x﹣2
【分析】多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，单项式除以单项式把系数，同底数幂分
别相除后，作为商的因式．
【解答】解：原式＝15x2y÷（﹣5xy）﹣10xy2÷（﹣5xy）
＝﹣3x+2y．故选：A．
【变式2】计算下面各题：
（1）a9÷a2； （2）（﹣a）10÷（﹣a）2； （3）（a3）3÷（﹣a）4；
（4）（a﹣b）8÷（b﹣a）6； （5）（﹣5x2y2z3）2÷（﹣xy2z）2；
（6）（﹣36m3+48m2﹣12m）÷（﹣12m）．
【分析】（1）（2）（4）根据单项式除以单项式可以解答本题；
（3）（5）先计算幂的乘方，然后根据单项式除以单项式可以解答本题；
（6）根据多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（1）a9÷a2＝a7；
（2）（﹣a）10÷（﹣a）2＝（﹣a）8＝a8；
（3）（a3）3÷（﹣a）4＝a9÷a4＝a5；
（4）（a﹣b）8÷（b﹣a）6＝（a﹣b）8÷（a﹣b）6＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（5）（﹣5x2y2z3）2÷（﹣xy2z）2＝25x4y4z6÷x2y4z2＝25x2z4；
（6）（﹣36m3+48m2﹣12m）÷（﹣12m）＝3m2﹣4m+1．
【变式3】计算：
（1）（6ab+5a）÷a； （2）（6x2y3﹣4x3y）÷2x2y；
（3）（6x2y4﹣3x3y2+9x）÷（﹣3x）； （4）（16x4y+4x3y﹣8x3）÷（2x）3．
【分析】（1）利用多项式除单项式的运算法则运算即可；
（2）利用多项式除单项式的运算法则运算即可；
（3）利用多项式除单项式的运算法则运算即可；
（4）先计算积的乘方，再利用多项式除单项式的运算法则运算即可．
【解答】解：（1）（6ab+5a）÷a
＝6b+5；
（2）（6x2y3﹣4x3y）÷2x2y
＝3y2﹣2x；
（3）（6x2y4﹣3x3y2+9x）÷（﹣3x）
＝﹣2xy4+x2y2﹣3；
（4）（16x4y+4x3y﹣8x3）÷（2x）3
＝（16x4y+4x3y﹣8x3）÷8x3
＝2xy+ y﹣1．
1．下列计算正确的是（ ）A．x3⋅x4＝x12 B．x8÷x4＝x2
C．（x3）3＝x6 D．（﹣2xy）2＝4x2y2
【分析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，从而可判断 A，同底数幂的除法：底数不变，指数相
减，从而可判断B，幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可判断C，积的乘方：把积中的每个因式分
别乘方，再把所得的幂相乘，可判断D，从而可得答案．
【解答】解：A．x3⋅x4＝x7，原计算错误，不符合题意；
B．x8÷x4＝x4，原计算错误，不符合题意；
C．（x3）3＝x9，原计算错误，不符合题意；
D．（﹣2xy）2＝4x2y2，原计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（p﹣q）4÷（q﹣p）3＝（ ）
A．p﹣q B．﹣p﹣q C．q﹣p D．p+q
【分析】先把原式化为同底数幂的除法，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减来计算．
【解答】解：原式＝（﹣q+p）4÷（q﹣p）3，
＝（﹣1）4（q﹣p）4÷（q﹣p）3，
＝q﹣p．
故选：C．
3．若3y﹣2x+2＝0，则9x÷27y的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．
【分析】直接将已知变形，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3y﹣2x+2＝0，
∴3y﹣2x＝﹣2，
∴2x﹣3y＝2，
则9x÷27y＝32x÷33y＝32x﹣3y
＝32
＝9．
故选：A．
4．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（ ）
A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y
【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出式子6x4y3÷2xy2，然后根据单项式除以单项式的运算法
则计算即可．
【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y，
故选：B．5．若 ，则6m﹣4n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．9
【分析】先根据幂的乘方的逆运算法则得到 ，再由同底数幂除法计算法则得到23m﹣2n＝21，则
3m﹣2n＝1，据此代值计算即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴23m﹣2n＝21，
∴3m﹣2n＝1，
∴6m﹣4n＝2（3m﹣2n）＝2×1＝2，
故选：C．
6．如果（m﹣3）m＝1，那么m应取（ ）
A．m≤3 B．m＝0 C．m＝0或4 D．m＝0或4或2
【分析】根据任何非零数的0次幂为1和±1的偶次幂为1进行解答即可．
【解答】解：①当指数m＝0时，m﹣3＝﹣3≠0，（m﹣3）m＝﹣30＝1，符合题意；
②当底数m﹣3＝1时，m＝4，（m﹣3）m＝14＝1，符合题意；
③当底数m﹣3＝﹣1时，m＝2，（m﹣3）m＝（﹣1）2＝1，符合题意；
∴m＝0或4或2．
故选：D．
7．若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（ ）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．8a﹣2b D．a﹣b+3
【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加即可．题中
给出了长方形面积为3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，长方形的宽等于面积除以边长，即可求解．
【解答】解：∵长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，
∴长方形的宽是（3a2﹣3ab+9a）÷3a＝a﹣b+3．
故选：D．
8．2x2+5x﹣7除以x+3的商式为ax+b，余式为c，求a+b+c＝（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．﹣3 D．7
【分析】直接利用多项式除法得出ax+b以及c的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（2x2+5x﹣7）÷（x+3）
＝（2x﹣1）…﹣4，∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴a+b+c＝﹣3．
故选：C．
9．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c＝（ ）
A．12 B．13 C．14 D．19
【分析】根据商乘以除数等于被除数列出关系式，整理后利用多项式相等的条件确定出 a，b，c的值，
即可求出a﹣b+c的值．
【解答】解：依题意，得（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）＝5x（2x+1），
∴（17﹣a）x2+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）＝10x2+5x，
∴17﹣a＝10，﹣3﹣b＝5，4﹣c＝0，
解得：a＝7，b＝﹣8，c＝4，
则a﹣b+c＝7+8+4＝19．
故选：D．
10．小亮在计算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积
是（ ）
A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2 D．无法计算
【分析】根据整式的除法法则分别计算正确结果和错误结果，再根据整式的乘法计算结果可得．
【解答】解：正确结果为：
原式＝6x3y÷3xy﹣3x2y2÷3xy
＝2x2﹣xy，
错误结果为：
原式＝6x3y÷3xy+3x2y2÷3xy
＝2x2+xy，
∴（2x2﹣xy）（2x2+xy）＝4x4﹣x2y2，
故选：C．
11．已知多项式A除以x2+2x﹣3得商式3x，余式x+2，则多项式A为 3 x 3 + 6 x 2 ﹣ 8 x + 2 ．
【分析】根据题意列出式子3x（x2+2x﹣3）+x+2，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：根据题意得，A＝3x（x2+2x﹣3）+x+2
＝3x3+6x2﹣9x+x+2
＝3x3+6x2﹣8x+2，
故答案为：3x3+6x2﹣8x+2．
12．计算：（ ﹣3.14）0+（﹣3）2＝ 1 0 ．
【分析】先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再进行计算即可．
π
【解答】解：原式＝1+9＝10．
故答案为：10．13．已知a2m＝3，a3n＝5，则2a6m﹣4＝ 5 0 ，a4m﹣6n＝ ．
【分析】利用幂的乘方法则，同底数幂除法法则将各式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2m＝3，a3n＝5，
∴2a6m﹣4
＝2（a2m）3﹣4
＝2×33﹣4
＝2×27﹣4
＝50；
a4m﹣6n
＝a4m÷a6n
＝（a2m）2÷（a3n）2
＝32÷52
＝9÷25
＝ ；
故答案为：50； ．
14．若xa＝3，xb＝8，xc＝72，则xa﹣b+c的值为 2 7 ，a，b，c之间的数量关系为 2 a + b ＝ c ．
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可得出 xa﹣b+c的值，再由幂的乘方得出（xa）2＝x2a＝
9，结合x2a×xb＝9×8＝72＝xc即可得出答案．
【解答】解：∵xa＝3，xb＝8，xc＝72，
∴xa﹣b+c＝xa÷xb•xc＝3÷8×72＝27，
∵（xa）2＝x2a＝9，
∴x2a×xb＝9×8＝72＝xc，
∴x2a+b＝xc，
∴2a+b＝c，
故答案为：27，2a+b＝c．
15．一个长方体的长为a cm，宽为（a﹣b）cm，若这个长方体的体积为（a3﹣2a2b+ab2）cm3，则它的高
为 （ a ﹣ b ） cm（用含a，b的代数式表示）．
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，根据多项式除以单项式法则和完全平方公式进行计
算即可．
【解答】解：由题意得：（a3﹣2a2b+ab2）÷a÷（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）÷（a﹣b）
＝（a﹣b）2÷（a﹣b）＝a﹣b，
∴长方体的高为（a﹣b）cm，
故答案为：（a﹣b）．
16．已知A＝x3÷x2+x•x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2．
（1）若4A÷B﹣2y＝0，请用含x的代数式表示y．
（2）若A＝B+1，求9﹣2x3+6x的值．
【分析】（1）先化简A、B，然后代入4A÷B﹣2y＝0中即可求出y；
（2）根据若A＝B+1得出x3﹣3x＝1，然后将9﹣2x3+6x变形为9﹣2（x3﹣3x），最后代入求值即可．
【解答】解：（1）∵A＝x3÷x2+x•x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2，
∴A＝x+x3，B＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝4x，
∵4A÷B﹣2y＝0，
∴4（x+x3）÷4x﹣2y＝0，
∴4x（1+x2）÷4x﹣2y＝0，
∴1+x2﹣2y＝0，
∴ ；
（2）由（1）得A＝x+x3，B＝4x，
若A＝B+1，
则x+x3＝4x+1，
∴x3﹣3x＝1，
∴9﹣2x3+6x
＝9﹣2（x3﹣3x）
＝9﹣2×1
＝7．
17．认真阅读下面材料，回答问题：
例如：已知3n＝59049，求3n﹣2的值．
解：∵3n＝59049，∴3n﹣2＝3n÷32＝59049÷9＝6561．
回答问题：
（1）若9n＝729，求32n﹣2的值；
（2）如果3x＝27，求32x+3的值
【分析】（1）由9n＝729可得32n＝729，再仿照阅读材料解答即可求解；
（2）利用幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算可得32x+3＝（3x）2×33，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵9n＝729，
∴32n＝729，∴32n﹣2＝32n÷32＝729÷9＝81；
（2）∵3x＝27，
∴32x+3＝（3x）2×33＝272×27＝19683．
18．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，
这样他计算的正确结果为﹣x2y2．
（1）将整式A化为最简形式．
（2）求整式B．
【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；
（2）根据题意可得A﹣B＝﹣x2y2，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；
【解答】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2
＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2
＝﹣x2y2﹣xy；
（2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2，
由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy，
∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2，
∴B＝﹣xy．
19．【课内回顾】
（1）若ac＝bc，当c满足 c ≠ 0 时，则a＝b；
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如30＝1；
②底数为1的整数幂，例如1﹣2＝1；
③底数为﹣1的偶数次幂，例如（﹣1）2＝1．
【知识运用】
（2）若（x+2）x+4＝1，求x的值；
（3）若（x+2）x+4＝x+2，则x＝ ﹣ 2 或﹣ 1 或﹣ 3 ． ．
【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案；
（2）分三种情况讨论如下：①当x+4＝0且x+2≠0时，则x＝﹣4，②当x+2＝1且x+4为整数时，则x
＝﹣1，③当x+2＝﹣1且x+4为偶数时，则x＝﹣3（不合题意），综上所述即可得出答案；
（3）分三种情况讨论如下：①当x+2＝0且x+4≠0时，则x＝﹣2，②当x+2＝1且x+4为整数时，则x
＝﹣1，③当x+2＝﹣1且x+4为奇数时，则x＝﹣3，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ac＝bc，
∴当c≠0时，则a＝b，
因此若ac＝bc，当c满足c≠0时，则a＝b，
故答案为：c≠0．（2）分三种情况讨论如下：
①当x+4＝0且x+2≠0时，（x+2）x+4＝1，
由x+4＝0，解得：x＝﹣4，
此时x+2＝﹣2≠0，
∴当x＝﹣4时，（x+2）x+4＝1；
②当x+2＝1且x+4为整数时，（x+2）x+4＝1，
由x+2＝1，解得：x＝﹣1，
此时x+4＝3为整数，
∴当x＝﹣1时，（x+2）x+4＝1；
③当x+2＝﹣1且x+4为偶数时，（x+2）x+4＝1，
由x+2＝﹣1，解得：x＝﹣3，
此时x+4＝1不是偶数，故不合题意，舍去．
综上所述：若（x+2）x+4＝1，则x的值为﹣4或﹣1．
故答案为：﹣4或﹣1．
（3）分三种情况讨论如下：
①当x+2＝0且x+4≠0时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝0，解得：x＝﹣2，
此时x+4＝2≠0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）x+4＝x+2，
②当x+2＝1且x+4为整数时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝1，解得：x＝﹣1，
此时x+4＝3为整数，
∴当x＝﹣1时，（x+2）x+4＝x+2，
③当x+2＝﹣1且x+4为奇数时，（x+2）x+4＝x+2，
由x+2＝﹣1，解得：x＝﹣3，
此时x+4＝1为奇数，
∴当x＝﹣3时，（x+2）x+4＝x+2，
综上所述：若（x+2）x+4＝x+2，则x＝﹣2或﹣1或﹣3．
20．【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的
推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图1：∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式
整除．
例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除．
根据阅读材料，请解答下列问题：
（1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝ x + 5 ；
（2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式；
（3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝ ﹣ 1 1 ；
（4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相
等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式进行计算，求出商式和余式即可；
（3）列竖式进行计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（4）根据题意，得到24张卡片的总面积是：3a2+16ab+5b2，列式计算，根据长方形的面积＝长×宽，
求出另一边的边长．
【解答】解：（1）如图：
（x2+6x+5）÷（x+1）＝x+5；
故答案为：x+5．
（2）如图：即（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4）＝2x+6……4x﹣5
所得的余式是4x﹣5．
（3）列竖式如下：
因为x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，
所以3﹣3（a+12）＝0，
得a＝﹣11．
故答案为：﹣11．
（4）能．
24张卡片拼成的长方形的面积是：
3a2+16ab+5b2；
因为一边长为（a+5b），
另一边长是：（3a2+16ab+5b2）÷（a+5b）＝3a+b．
