专题21角、余角、补角之九大考点(原卷版)_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 21 角、余角、补角之九大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 角的概念及表示方法】....................................................................................................................1 【考点二 角的单位与角度制】........................................................................................................................3 【考点三 钟面角】............................................................................................................................................4 【考点四 与方向角有关的计算题】................................................................................................................6 【考点五 三角板中角度计算问题】................................................................................................................8 【考点六 角平分线的有关计算】..................................................................................................................11 【考点七 角n等分线的有关计算】..............................................................................................................14 【考点八 求一个角的余角、补角】..............................................................................................................18 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】..........................................................................19 【过关检测】...........................................................................................................................................23 【典型例题】 【考点一 角的概念及表示方法】 例题：（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D． 也可以表示为 【变式训练】 1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：(1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 2.（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题： (1) 表示成 ，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以 为顶点的角有几个？请表示出来． (4) 与 是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【考点二 角的单位与角度制】 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【变式训练】 1.（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″；（3） ′， ． 2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点三 钟面角】 例题：（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【变式训练】 1.（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师 从家出发去单位上班，到单位的时间是 ，那 么这段时间，分针走了 °，时针走了 °． 2.（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分 针的夹角为 度． 【考点四 与方向角有关的计算题】 例题：（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔 处观测到轮船 位于北偏西 的方向， 同时轮船 在南偏东 的方向，那么 的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点A出发 走到点 ，若 ，则乙从点A出发沿（ ）方向走到点A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南 2.（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店 碰面，小丽家 在早餐店南偏西 方向上，小影家在点 处，小华家 在早餐店东南方向上， ，且早餐店 到小华家与小丽家的距离相等． (1)在图中画出小华家的位置 ； (2)求 的度数； (3)若 ，请说出小影家 相对于早餐店的位置． 【考点五 三角板中角度计算问题】 例题：（2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若 ，则 等于 ． 【变式训练】 1.（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板 的直角顶点O在直线 上，线段 ， 是三角板的两条直角边，射线 是 的平分线．(1)当 时，求 的度数； (2)当 时， _________（用含α的式子表示）． 2.（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线 上的一点O为端点，在直线 的上方作射 线 ，使 ．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（ ）在直 线 的上方．设 ． (1)当 时，求 的大小； (2)若 时，求 的值． 【考点六 角平分线的有关计算】 例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线 上一点， 是直角， 平分 ． (1)如图①，若 ，则 __________；若 ，则 __________； 与 的数量关系为__________；(2)当射线 绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成立？请 说明理由． 【变式训练】 1.（2023秋·七年级课时练习）如图所示， 是平角， 分别是 的平分线． (1)当 时，求 的度数； (2)当 时，求 的度数． 2.（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知 ， 平分 ， 、 分别平分 、 ，求 的度数； （2）如图2，在（1）中把“ 平分 ”改为“ 是 内任意一条射线”，其他任何条件都 不变，试求 的度数； （3）如图3，在（1）中把“ 平分 ”改为“ 是 外的一条射线且点C与点B在直线 的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出 的度数 【考点七 角n等分线的有关计算】例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两个角， 分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为 的三等分线． 若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【变式训练】 1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是 的三等分 线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表示为（ ） A． 或 或 B． 或 或 C． 或 或 D． 或 或 2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知AOB120，以射线OA为起始边，按顺时针方向依次作射线 OC、OD，使得COD60，设AOC ，0180. (1)如图1，当0≤60时，若AOD83，求BOC的度数； (2)备用图①，当60120时，试探索AOD与BOC的数量关系，并说明理由； 2 AOE AOC (3)备用图②，当120180时，分别在AOC内部和BOD内部作射线OE， OF ，使 3 ， 1 DOF  BOD 3 ，求EOF的度数.【考点八 求一个角的余角、补角】 例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若 ，则 的余角等于 ， 的补角等于 ． 【变式训练】 1．（22·23上·内江·期末）如果 ，那么 的余角等于 ； 的补角为 ． 2．（22·23上·南京·期末）若 ，则 的余角为 °， 的补角为 °． 【考点九 与余角、补角、角平分线有关角的计算问题】 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图， 平分 平分 ． (1)求出 及其补角的度数； (2)请求出 和 的度数，并判断 与 是否互补，并说明理由． 【变式训练】 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ，使 ．将 一直角三角尺的直角顶点放在O处．(1)当三角尺一边 在 的内部（图①），且恰好平分 ，此时直线 是否平分 ？请 说明理由； (2)当三角尺一边 在 的内部（图②），求 的值． 2．（22·23下·十堰·开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由．【过关检测】 一、单选题 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（ ） A． 与 是同一个角 B． 也可以用 表示 C． D．图中有三个角 2．（23·24上·全国·课时练习）（角的换算）把 用度、分、秒表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（22·23下·宿州·期中）一艘轮船在大海上航行，观测到灯塔在南偏西 方向，则灯塔观测轮船在 （ ） A．南偏西 方向B．南偏东 方向 C．北偏西 方向 D．北偏东 方向 4．（22·23下·菏泽·期末）如图， 平分 ， 平分 ， ， ， （ ） A． B． C． D．5．（23·24上·昆明·阶段练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起， ， ． 固定不动， 绕着O点顺时针旋转 ，若 绕着O点旋转图2的位置，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22·23下·西安·开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 7．（23·24上·大庆·阶段练习）如图， ， ， 平分 ，则 ． 8．（22·23下·焦作·期中）如图，已知直线 与 相交于点 ，若 ，则 的补角的度数为 . 9．（23·24上·宁波·开学考试）在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．10．（22·23下·南阳·期中）如图，已知 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度 顺时针旋转； 同时，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，并且当 与 成 角时， 与 同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒， 与 的夹角是 ． 三、解答题 11．（22·23下·济南·期中）一个角的余角比它的补角的 多 ，求这个角的余角． 12．（22·23上·吴忠·期末）如图，O是直线 上一点， 为任一条射线， 平分 ， 平分 ． (1)写出图中 的补角， 的补角； (2) 与 互余吗？为什么？ 13．（22·23下·榆林·期中）如图，点 是直线 上一点，以 为顶点作 ， 平分 ．(1)当 时，求 的度数； (2)若 与 互补，求 的度数． 14．（23·24上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题： (1)如图①， 内部有一条射线 ，则图中有 个角； (2)如图②， 内部有两条射线 ， ，则图中有___________个角； (3)如果 内部有10条射线，那么图中有________________个角． 15．（22·23上·福州·期末）已知 ．在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 ．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线 为 二倍角线．(1)一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若 为 的二倍角线，求 的度数； (3)如图②，将一块三角板 的直角顶点O放在直线 上，且三角板 绕着点O转动，若 是 的二倍角线， 是 的二倍角线，请直接写出 的度数． 16．（22·23下·哈尔滨·期末）已知 为 ， 为 ，若 ，称 为 的“二倍补角”． (1)求 为 ， 为 的“二倍补角”，求 的度数； (2)若一个角与它的“二倍补角”度数相等，求这个角的度数． (3) 与 互余， 为 的“二倍补角”， 与 互补， 是否是 的“二倍补角”？请 说明理由． 17．（23·24上·全国·课堂例题）如图， 是直线 上的一点， 平分 ． 【观察计算】 （1）当 时，求 的度数； 【类比猜想】 （2）当 时，试猜想 的度数（用含 的式子表示），并说明你的猜想的正 确性．18．（22·23上·常州·期末）已知： ． (1)如图1，若 ． ①写出图中一组相等的角（除直角外）__________， 理由是________________． ②那么 _________ ． (2)如图2， 与 重合，若 ，将 绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时 间为t（ ）秒． ①当t=______秒时， 平分 ； ②试说明：当t为何值时， ？