文档内容
第 04 讲 实数（7 个知识点+7 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周
率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如 4＝4.0， ＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ＝
1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
无理数常见的三π种类型 π
（1）开不尽的方根，如 等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π 不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不
是无理数．
知识点2．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点3．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数 a的绝对值就是在数轴上这
个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝
对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定
是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与
b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数
轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数 a
的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左
边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切
负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比
左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点6．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根
式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从
左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
知识复习
一．无理数（共6小题）
1．（2023秋•高邮市期末）下列各数 ， ， ， ， 中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解： ，
无理数有 ， ， ，共3个．
故选： ．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2023春•顺平县期末）在 ，3.14159， ， ， ，0.6，0， ， 中是无
理数的个数有 3 个．
【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，；（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 （两个3之间依次多一个 ；（3）含有 的绝大部分数，
如 ．
【解答】解： 是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数， 是无理数， 是有
理数， 是无理数，0.6是有理数，0是有理数， 是有理数， 是无理数．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数常见类型是解题的关键．
3．（2023春•滨城区期中）我们在七年级上册学习了有理数，这学期类比有理数学习了无
理数，进而把数系扩大到了实数，请回忆七下第六章实数，叙述实数的学习路径（思路）
及研究中用到的数学思想和方法．
【分析】利用实数的定义，以及数学思想和方法即可得出结论．
【解答】解：实数分为有理数和无理数，用到了类比的方法和由特殊到一般的数学方法数
学思想．
【点评】本题主要考查了无理数，利用类比的方法和由特殊到一般的数学方法解答是解题
的关键．
4．（2023秋•槐荫区期中）在下列实数中：① ，② ，③ ，④ ，⑤
（两个1之间依次多1个 ，属于无理数的是 ①④⑤ ．（直接填写序号）
【分析】根据无理数的定义逐一判断即可解题．
【解答】解：无理数有：① ，④ ，⑤ （两个1之间依次多1个
．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义式解题的关键．
5．（2023 春•上杭县期中）新定义：若无理数 的被开方数 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“青一区间”为 ；同理规
定无理数 的“青一区间”为 ．例如：因为 ，所以 的“青一区
间”为 ， 的“青一区间”为 ，请回答下列问题：
（1） 的“青一区间”为 ； 的“青一区间”为 ；
（2）若无理数 为正整数）的“青一区间”为 ， 的“青一区间”为 ，
求 的值．
（3）实数 ， ，满足关系式： ，求 的“青一区间”．
【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解；
（2）先根据无理数 ， 的“青一区间”求出 的取值范围，再根据 为正整数求
出 的值，代入即可求解；
（3）先根据已知得 ，进而得出 ， ，可得 ，再根据
“青一区间”的定义即可求解．
【解答】解：（1） ， ，的“青一区间”是 ， 的“青一区间”是 ，
故答案为： ， ；
（2） 无理数 为正整数）的“青一区间”为 ，
，即 ，
的“青一区间”为 ，
，即 ，
，
，
为正整数，
或 ，
当 时， ，
当 时， ，
的值为2或 ；
（3） ，
，
，
， ，
，
，
的“青一区间”是 ．【点评】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题
的关键是理解题目中“青一区间”的定义．
6．（2023春•路北区期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的 值为16时，求输出的 值；
（2）是否存在输入的 值后，始终输不出 值？如果存在，请直接写出所有满足要求的
值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数 ，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 25 或 36
或 4 9 或 6 4 ．
【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出 值，则 的任何次方根都是有理数，则只有 0和1，另外负数没有算术
平方根，也符合题意．
（3）写出一个无理数，平方式有理数，然后两次平方即可．
【解答】解：（1） ，
，
则 ；
（2）存在，当 或1时，始终输不出 值，若输入负数，始终输不出 值，
综上所述， 或1或负数．
（ 3 ） 答 案 不 唯 一 ． 或 或 或
．
故答案为：25或36或49或64．
【点评】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．
二．实数（共7小题）
7．（2023秋•海陵区校级期末）下列各数中，是有理数的是A． B． C． D．
【分析】根据整数和分数统称为有理数进行判断即可．
【解答】解： 、 是无理数，故此选项不符合题意；
、 是无理数，故此选项不符合题意；
、 是有理数，故此选项符合题意；
、 是无理数，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
8．（2023春•播州区期中）在 ， ， ， （相邻两个1之间的0的个
数逐次增加 中，有理数是
A．
B．
C．
D． （相邻两个1之间的0的个数逐次增加
【分析】根据无理数、有理数的定义判断即可．
【解答】解：在 ， ， ， （相邻两个1之间的0的个数逐次增加 中，
有理数是 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了实数，熟知无理数、有理数的定义是解题的关键．
9．（2023春•夏邑县期中）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入 的值为125时，
输出 的值是 ．【分析】将 输入流程即可判断．
【解答】解：当 时， ，不是无理数，不能输出，
是无理数，输出，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、无理数的定义，解题关键是掌握算术平方根
立方根的定义．
10．（2023春•邹城市期中）在实数：3.14159， ， ， ， ， ，有理数的
个数是 4 ．
【分析】根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：有理数有：3.14159， ， ， ，
无理数有： ， ，
有理数的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查对有理数、无理数的定义．正确理解无理数的定义是解题的关键，注
意无理数包括三种形式：①开方开不尽的数，如： ；②无限不循环小数，如：
（相邻两个2之间依次多1个 ；③含有 的数，如： ．
11．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．① ，②0，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦
正数集合： ③④
整数集合：
负分数集合：
无理数集合：
【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正
数、整数、负分数、无理数的定义求解即可．
【解答】解： ， ， ．
正数集合： ③④
整数集合： ②③
负分数集合： ①⑥
无理数集合： ⑤⑦ ．
故答案为：①④；②③；①⑥；⑤⑦．
【点评】本题主要考查了实数的分类及实数的意义，掌握正数、整数、负分数、无理数的
定义与特点．特别注意整数和正数的区别，0是整数，但不是正数．
12．（2023春•定南县期中）把下列各数分别填入相应的集合中．
， ， ，3.14， ，0， ， ．
（1）有理数集合： ， ， 3.1 4 ， ， 0 ；
（2）无理数集合： ；
（3）正实数集合： ．
【分析】（1）根据有理数的意义，即可解答；
（2）根据无理数的意义，即可解答；（3）根据正实数的意义，即可解答．
【解答】解：（1）有理数集合： ， ，3.14， ， ；
（2）无理数集合： ， ， ；
（3）正实数集合： ， ， ， ；
故答案为：（1） ， ，3.14， ，0；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ，3.14．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
13．（2023秋•顺德区校级月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）
① ；② ；③ ； ④ 0.54：⑤ ；⑥ ；⑦ 0；⑧ ；⑨ ；⑩
（相邻两个2之间0的个数逐次加一）
有理数集合： ②③④⑤⑦⑧⑨ ．
无理数集合： ．
正实数集合： ．
负实数集合： ．
【分析】运用实数的概念进行逐一分类、辨别．
【解答】解： ； ； ；⑦0；⑧ ；⑨ 是有理数，
； ； 是无理数，
； ； ； ； 是正实数，
； ； 是负实数，
故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧．【点评】此题考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．
三．实数的性质（共5小题）
14．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中，互为相反数的一组是
A． 与 B． 与 C．3与 D． 与3
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，再利用互为相反数的定义分
析得出答案．
【解答】解： ． 与 ，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
． 与 ，两数相等，故此选项不合题意；
．3与 ，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
． 与3，两数相等，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质、绝对值的性质、相反数的定义，正确化简各数
是解题关键．
15．（2023春•蒸湘区校级期末）下列说法中，正确的是
A． ， ， 都是无理数
B．绝对值最小的实数是0
C．实数分为正实数和负实数两类
D．无理数包括正无理数、负无理数和零
【分析】直接利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义分别判断得出答案．
【解答】解： ． ， ， ，其中 是有理数，故此选项不合题意；
．绝对值最小的实数是0，故此选项符合题意；
．实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意；
．无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握无理数以及实数的分类是解题关键．16．（2023秋•哈尔滨期末）实数 的相反数是 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解： 的相反数是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
17．（2023春•长垣市期末）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是2， 是
的相反数．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【分析】（1） 的立方根是 ，可得 ， 的算术平方根是2，可
得 ，进而可求出 ， 的值； 是 的相反数，可得 ；
（2）计算出 的值，再求其平方根即可．
【解答】解：（1） 的立方根是 ，
，即 ；
的算术平方根是2，
，即 ，
；
是 的相反数，
，
， ， ；
（2） ， ， ，
，
的平方根为 ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小以及平方根与立方根，熟练掌握无理数的相关运算
是解本题的关键．
18．（2023春•永吉县期中）若 和 是正实数 的两个平方根．（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3） 的相反数是 4 ．
【分析】（1）直接利用平方根的定义得出等式求出答案；
（2）结合平方根的定义得出 的值；
（3）利用立方根的性质以及相反数的定义得出答案．
【解答】解：（1） 和 是正实数 的两个平方根，
，
解得： ；
（2） ，
；
（3） ，
的相反数是4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握平方根的定义是解题关键．
四．实数与数轴（共4小题）
19．（2023秋•邯郸期末）如图，面积为3的正方形 的顶点 在数轴上，且表示的
数为 ，以点 为圆心， 长为半径画圆，交数轴于点 ．则点 所表示的数为
A． B． C． D．【分析】根据正方形的面积得出边长，得到 ，再根据点 表示的数为 ，
即可得到答案．
【解答】解： 正方形 的面积为3，
，
以点 为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点 ，
，
点 表示的数为 ，
点 所表示的数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积得出边长是解此题的关键．
20．（2022秋•澧县期末）如图：
（1）已知点 、 表示两个实数 、 ，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标
示出来；
（2） 为原点，求出 、 两点间的距离．
（3）求出 、 两点间的距离．
【分析】（1）估算出 和 的值，在数轴上标出即可；
（2）用表示点 的数减去表示点 的数即为两点之间的距离；
（3）用表示点 的数减去表示点 的数即为 、 间的距离．
【解答】解：（1）如图；
（2） 表示点 的数为 ，表示点 的数为0，
；
（3） 表示点 的数为 ，表示点 的数为 ，．
【点评】本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点 、 的位置
是解题的关键．
21．（2023秋•新乡期末）如图，若数轴上点 表示的数为无理数，则该无理数可能是
A．2.3 B． C． D．
【分析】根据点 表示的数为无理数，即可排除选项 ，再根据 、 和 的估计值，
即可判断出点 的无理数的可能表示数．
【解答】解： 是有理数， ， ， ，
由图可知，点 表示的数为无理数，且 ，
点 表示的无理数可能是 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是数轴与无理数，掌握 、 和 的估计值是解题的关键．
22．（2023秋•沭阳县期末）在长方形纸片上有一条数轴，小康裁剪了10个单位长度
到 的一条线段，如图，其中 点表示的数为 ， 点表示的数为5，小康先将纸片左右
对折，再将对折后的纸片沿数轴上的 点左右折叠使得点 与点 重合，点 表示的数是
3 ．
【分析】根据题目先求得线段 的长度，再由折叠的性质得出点 表示的数即可．
【解答】解：第一步，根据题目，我们知道点 和点 表示的数分别是 和5，那么线段的长度就是点 表示的数减去点 表示的数，即 ．
第二步，小康先将纸片左右对折，再将对折后的纸片沿数轴上的点 左右折叠使得点 与
点 重合，那么点 就是线段 的中点，点 表示的数就是线段 长度的一半，即
，．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了数轴的应用以及西前段长度的计算，熟悉数轴上两点间的距离公
式是解题的关键．
五．实数大小比较（共5小题）
23．（2023 秋•广平县期末） 、 、 为三整数，若 ， ，
，则下列有关于 、 、 的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义分别计算，然后比较即可．
【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了实数的运算，算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
24．（2024•沙坪坝区校级开学）在1.5， ， ，0这四个数中，最小的数是
A．1.5 B． C．0 D．
【分析】正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案．
【解答】解：在1.5， ， ，0这四个数中，最小的数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
25．（2024•沙坪坝区校级开学）在2， ，1， 这四个数中，最大的数是A．1 B． C．2 D．
【分析】先估算 的大小，然后根据正数大于负数，进行比较即可．
【解答】解： ，
，
这4个数中，最大的数是2，
故选： ．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握无理数的估算和实数的比
较方法．
26．（2023秋•都昌县期末）比较两数的大小： 3．（填“ ”或“ ”
【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正
实数，平方大的，这个正实数也大，判断出 、3的大小关系即可．
【解答】解： ， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数 负
实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
27．（2023秋•利川市期中）如果有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，根据图回答
下列问题：
（1）比较大小： 0； 0； 0；
（2）化简 ．
【分析】（1）根据数轴得出 ，再比较大小即可；
（2）根据 、 和 去掉绝对值符号，再算加减即可．【解答】解：（1）从数轴可知： ，
所以 ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）由（1）可知： ， ， ，
所以
．
【点评】 本题考查了数轴，绝对值和实数的大小比较，能根据数轴得 出
是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数
大．
六．估算无理数的大小（共7小题）
28．（2023秋•漳州期末）整数 满足 ，则 2 ．
【分析】利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解： ，
，
整数 ，
故答案为：2．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
29．（2023秋•松阳县期末）已知整数 满足 ，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据夹逼法求出相应的取值范围即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
，
，
，
，故选： ．
【点评】本题考查无理数的估算，解题的关键是正确推理．
30．（2023秋•广平县期末） 的整数部分是 4 ； 的小数部分是 ．
【分析】通过估算无理数的大小即可求得答案．
【解答】解： ，
，
，
的整数部分是4， 的小数部分是 ，
故答案为：4； ．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
31．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于 的负整数是 （答案不唯一）
（写出符合条件的一个即可）
【分析】运用算术平方根和绝对值的知识进行求解．
【解答】解： ，
，
是绝对值小于 的负整数，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根和绝对值的
知识进行求解．
32．（2023秋•雨湖区期末）若 ， 是两个连续自然数，且满足 ，则 的算
术平方根为
A． B． C．20 D．
【分析】运用算术平方根的知识进行估算、求解．【解答】解： ， ，
，
即 ，
， ，
，
的算术平方根为： ，
故选： ．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求
解．
33．（2023秋•新乡期末）已知 ， ， 均为实数，且 的立方根是4，正数 的平
方根分别是 与 ， 是 的整数部分．
（1）求正数 的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）利用正数的平方根互为相反数先求出 ，再求出 ；
（2）利用立方根、二次根式的性质先确定 、 ，再代入求值．
【解答】解：（1） 正数 的平方根分别是 与 ，
．
．
．
．
（2） 的立方根是4， 是 的整数部分，
， ．
， ．
．【点评】本题考查了平方根、立方根及二次根式的性质，掌握一个正数的两个平方根互为
相反数、立方根的定义等知识点是解决本题的关键．
34．（2023秋•漳州期末）小李同学探索 的近似值的过程如下：
面积为137的正方形的边长是 且 ，
设 ，其中 ，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又 ，
．
当 时，可忽略 ，得 ，得到 ，
即 ．
（1）写出 的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）判断出 ，即可解答；
（2）仿造示例画出图形，即可解答．
【解答】解：（1） ，，
的整数部分是15；
（2）示意图如图所示，
面积为249的正方形的边长是 ，
且 ，
设 ，其中 ，
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又 ，
，
当 时，可忽略 ，得 ，得到 ，
即 ．
【点评】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．
七．实数的运算（共6小题）
35．（2023秋•蓝山县期末） 1 ．
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
36．（2024•渝中区校级开学）根据如图所示的计算程序，若开始输入 的值为 ，则
输出 的值为
A． B．1 C．3 D．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：若开始输入 的值为 ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
37．（2023秋•淅川县期末）（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可；
（2）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原方程整理得： ，则 ，
解得： ．
【点评】本题考查实数的运算及立方根，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键．
38．（2024•渝中区校级开学）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；
（2）利用算术平方根及立方根的定义，乘法分配律计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
39．（2023 春•凤山县期中）对于任意不相等的两个实数 ， ，定义一种算法
，例如： ， ．
【分析】根据 ，用12与8的差的算术平方根除以12与8的和，求出
的值即可．
【解答】解： ，
．故答案为： ．
【点评】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“ ”
的运算方法．
40．（2024•渝中区校级开学）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的
值即可；
（2）首先计算乘方和开平方，然后计算除法，最后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和
有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号
的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·河南许昌·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）A．无理数都是无限小数 B．无理数都是带根号的数
C．无理数的和还是无理数 D．实数包括有理数、无理数和0
【答案】A
【分析】利用实数、有理数、无理数的定义判断即可得到结果．
【详解】解：无理数都是无限小数，符合定义，所以A选项正确；
带根号的数都是无理数，可以举反例， 是有理数，所以B选项错误；
无理数的和还是无理数，可以举反例， 是有理数，所以C选项错误；
实数包括有理数、无理数，0也是有理数，所以D选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查实数、有理数、无理数的概念，理解无理数的分类中各自的含义是解题
的关键．
2．（2023下·北京顺义·七年级统考期中）一罐饮料净重 克，罐上注有“蛋白质含量”
，其中蛋白质的含量为（ ）
A． 克 B．大于 克 C．不小于 克 D．不大于 克
【答案】C
【分析】根据实数的乘法解决此题．
【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为 克 ．
该饮料中蛋白质的含量不少于 克．
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键．
3．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）下列说法：① 的平方根是 ；②负数没有
立方根；③ 的相反数是 ；④负数没有平方根；⑤立方根是本身的数有 、 、
．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据实数的性质，平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可．
【详解】解：① 的平方根是 ，正确；②负数有立方根，原说法错误：
③ 的相反数是 ，正确；
④负数没有平方根，正确；
⑤立方根是本身的数有 、 、 ，正确；
综上，正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟
练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反
数．（2）一个正数或0只有一个算术平方根．（3）一个数的立方根只有一个．
4．（2023下·四川泸州·七年级校联考期末）下列语句中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．有理数和无理数统称实数
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．同旁内角相等，两直线平行
【答案】B
【分析】本题考查了命题，正确的命题为真命题，根据平行公理以及实数概念、平行线的
判定等性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题；
B、有理数和无理数统称实数，故该选项是真命题；
C、同一平面，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该选项是假命题；
D、同旁内角互补，两直线平行，故该选项是假命题；
故选：B
5．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）若 表示实数x的整数部分， 表示
实数x的小数部分，如 ， ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中给出的信息进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是理解求出 的小数部分．
6．（2023下·青海西宁·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可判断A，根据立方根的定义即可判断B，根据实数的运
算法则即可判断C、D．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，实数的运算，熟知
算术平方公式和立方根的求解方法是解题的关键：如果两个实数a、b，若满足 。那
么a就叫做b的平方根，其中若a是正数，那么a就叫做b的算术平方根；若满足 ，
那么a就叫做b的立方根．
7．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）我们知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分不可能全部写出来，但因为 ，即 ，
所以可以用 来表示 的小数部分．如果 的小数部分是a， 的整数部分是b，
那么 的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】先估算出 的取值范围，确定出 的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题考查实数的运算．熟练掌握无理数的估算方法，确定出 的值，是解题的
关键．
8．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）下列关于 说法错误的是（ ）
A． 是无理数 B．数轴上可以找到表示 的点
C． 相反数是 D．
【答案】D
【分析】本题考查无理数定义，相反数定义，数的比较，数轴上点的表示等．根据题意逐
一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，属于无限不循环小数，
∴ 是无理数，故A选项正确；
∵数轴上可以表示任意实数，∴数轴上可以找到表示 的点，故B选项正确；
∵ 相反数是 ，故C选项正确；
∵ ，
∴ ，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
9．（2023下·贵州黔西·七年级校考期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x
的值为81时，输出的y值是（ ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】A
【分析】根据流程图进行求解即可．
【详解】解：当 时： ，是有理数，继续输入，得到 ，是有理数，继续
输入，得到 ，是无理数，输出，
∴输出的y值是 ；
故选A．
【点睛】本题考查流程图和求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算式平方根的
定义，正确的计算．
10．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的
是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
22 228.0 231.0 234.0 237.1 240.2 243.3 246.4 249.6 252.8 25
5 1 4 9 6 5 6 9 4 1 6
A．B．235的算术平方根比15.3大
C．只有2个正整数 满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出 将比256增大3.19
【答案】B
【分析】根据表格中的信息可知 和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．
【详解】A．根据表格中的信息知： ，
∴故选项A不正确；
B．根据表格中的信息知： ，
∴235的算术平方根比15.3大，故选项正确；
C．根据表格中的信息知： ，
∴正整数 或 或 ，
∴有3个正整数n满足 ，故选项不正确；
D．根据表格中的信息无法得知 的值，
∴不能推断出 将比256增大3.19，故选项不正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
二、填空题
11．（2023下·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若 的整数部分是 ，小数部
分是 ．
【答案】
【分析】根据无理数的估算方法即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，即 的整数部分是 ，小数部分是 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式性质的化简是解题的关键．
12．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）在数轴上离原点距离是 的点表示的数是
；离 距离是 的点表示的数是 ．
【答案】 或
【分析】本题利用互为相反数的两个点到原点的距离相等及数轴两点之间的距离即可求解．
【详解】解：根据互为相反数的两个点到原点的距离相等，
可知在数轴上离原点的距离是 的点表示的数是 ，
离 距离是 的点表示的数是 或
故答案为： ； 或 ．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时要明白相反数的特点及相反
数在数轴上对应的点之间的关系及数轴上两点之间的距离．
13．（2023下·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是 的点表示的数是
；
(2)若 ，则 的值是 ；
(3) 的相反数是 ．
【答案】 或 / 或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）在数轴上离原点距离是 的点表示的数是 ；故答案为： ．
（2）
∴ ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
（3） 的相反数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
14．（2021下·全国·七年级专题练习）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错
的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正
确
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可
【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有 ，1．020 020 002…这类的数也是
无理数；故答案为：错误．
(2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．
(3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是
无理数；故答案为：错误．
(4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误．(5)( 错误)如 ，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．
(6)( 错误)如 ，虽然带根号，但 ＝9，这是有理数；故答案为：错误．
(7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．
(8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所
以 实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
15．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新
的运算如下： ，例如： ．那么
【答案】 /
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
16．（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考期中）如图是一个数值转换器，当输入
的值为289时，则输出 的值是 ．
【答案】
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根，
再代入计算即可求解．【详解】解：输入x的值为289时，289的算术平方根是17，
17是有理数，再输入可得：
17的算术平方根是 ，则输出y的值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定
义．
17．（2023下·上海·七年级校考期中） 的小数部分是 ．
【答案】 /
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，根据 即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
即： ，
∴ 的小数部分是 ．
故答案为： ．
18．（2023下·广东中山·七年级统考期中）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据将2个数同时平方比较其结果的大小，即可判断
与 的大小．
【详解】解： ， ， ，
，故答案为： ．
三、解答题
19．（2023下·七年级课时练习）比较 与 的大小．
【答案】
【详解】因为 ， ，
所以 ．
20．（2023下·七年级课时练习）把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，并用“＜”连
接起来．
， ， ， ．
【答案】图见解析，
【分析】先求解各数的相反数，再在数轴上表示各数，再利用数轴比较大小即可．
【详解】解： ， ， ， 的相反数分别是 ， ， ， ，
在数轴上表示如图．
∴ ．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示实数，相反数的含义，熟练的掌握实数在数轴上的分
布是解本题的关键．
21．（2023·浙江·七年级假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填
写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．（ ）
(2)无理数都是无限小数．（ ）
(3)无限小数都是无理数．（ ）
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（ ）(5)不带根号的数都是有理数．（ ）
(6)带根号的数都是无理数．（ ）
(7)有理数都是有限小数．（
(8)实数包括有限小数和无限小数．（ ）
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)正确，理由见解析
(3)错误，理由见解析
(4)错误，理由见解析
(5)错误，理由见解析
(6)错误，理由见解析
(7)错误，理由见解析
(8)正确，理由见解析
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可．
【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有 ，1.020 020 002…这类的数
也是无理数；故答案为：错误；
（2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确；
（3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数
才是无理数；故答案为：错误；
（4）（错误）0是有理数；故答案为：错误；
（5）（错误）如 ，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：
错误；
（6）（错误）如 ，虽然带根号，但 ，这是有理数；故答案为：错误；
（7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误；
（8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所
以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
22．（2023下·四川泸州·七年级校联考期末）计算：
【答案】【分析】根据乘方的意义，立方根的定义，绝对值的意义，及实数运算法则，即可求解，
本题考查了实数的运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则．
【详解】解：
．
23．（2023下·云南保山·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
0， ， ， ， ， ， ， ， （每2个4之间依次多
一个3）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
分数集合：{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题考查实数的分类、立方根、算术平方根，解答的关键是理解无理数的概念，
其中初中范围内学习的无理数有：π、 等；开方开不尽的数；以及像 ，等
有这样规律的数．
根据无理数是无限不循环小数、分数是有限小数和无限循环小数的统称以及负实数的意义
求解即可．
【详解】解： ，
有理数集合：{0， ， ， ， ， ，…}；
无理数集合：{ ， ， （每2个4之间依次多一个3）…}；
分数集合：{ ， ， ，…}．
24．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）现有一组有规律的数： ， ， ， ，， ，其中 ， ， ， ， 这六个数按此规律重复出现．
(1)第 个数是______ ，第 个数是______ ．
(2)从第 个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为 ，那么共有多少个数的平方
相加？
【答案】(1) ，
(2)和为 ，共有 个数的平方相加得到
【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可；
（2）根据每六个数的平方和等于 ，利用循环规律解答即可．
【详解】（1） ，
第 个数在这六个数中排在第 ，即 ，
，
第 个数是这六个数中排在第 ，即 ，
故答案为： ， ；
（2） ， ， ， ， 这六个数的平方加起来是 ，
且 ，
和为 是由前 个循环组的平方和再加上 得到，
而 ，由 个数平方相加得到，
和为 ，共有 个数的平方相加得到．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出
循环规律，利用规律解答问题．
25．（2023下·福建莆田·七年级期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现
有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两
种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【答案】圆形广场围墙 米，正方形广场围墙 米，选择圆形广场的建设方案，理
由见详解
【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答．【详解】当为圆形时，设圆的半径为 ，则有： ，
即： （负值舍去），
则此时花园的围墙为： （米）；
当广场为正方形时，设正方形边长为 ，则有： ，
即： （负值舍去），
则此时花园的围墙为： （米）；
∵ ，
∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，
则建造成本更低，
∴作为投资商，会选择建圆形花园．
【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时
一定要联系实际，不能死学．
26．（2023下·重庆江津·七年级期中）（1）已知实数a，b，c满足
，求 的值；
（2）已知 的小数部分是a， 的小数部分是b，求
【答案】（1） ；（2）1
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a，b，c的值，然后代入 计算即可；
（2）先根据无理数的估算求出a，b的值，然后代入 计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ 的小数部分是a， 的小数部分是b，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，无理数整数部分与小数部分的计算，
熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键．
