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专题 07 二次函数与一元二次方程和不等式（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·全国·九年级）已知抛物线 与坐标轴的交点分别为 ， ，
，现将该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的交点为 ， 得出 ，将点（0，3）代入抛物线解析式，求出
a，再根据抛物线的平移规律回答即可．
【详解】
解：∵抛物线 与坐标轴的交点分别为 ， ，
，
将点（0，3）代入上式，得 ，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为： ，
将抛物线化为顶式：该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后为： ，即：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移规律，待定系数求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的顶点式，
掌握抛物线的平移规律是解本题的关键．
2．(本题4分)（2021·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2图象与y
轴交点的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，0） D．（﹣2，0）
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意，根据二次函数图像的性质，当 时，计算y的值，即可得到答案．
【详解】
当 时，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2图象与y轴交点的坐标是：（0，0）
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．
3．(本题4分)（2022·全国·九年级）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【答案】C
【解析】
【分析】
由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数
值y=0，即可得出方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围．【详解】
解：x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，
根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数值y=0，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是C．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质即连续性以及增减性是解题关键．
4．(本题4分)（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）二次函数 与x轴的交点个数是
（ ）
A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据判别式Δ=0，判断二次函数 与x轴只有一个交点．
【详解】
解：根据题意，令 ，
则 ，
∴Δ=b2 4ac=（ 6）2 4×1×9=36 36=0，
∴二次函数y=x2 6x+9与x轴只有一个交点，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与x轴的交点，关键是通过判别式Δ来判断二次函数与x轴交点的个数．
5．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的
一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
【详解】
解：∵抛物线的 的顶点坐标为（1，5）
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，正确理解抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，
则关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根是解题的关键．
6．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的
左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最
大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A
和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
【详解】
解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴
的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2020·河南濮阳·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(m－2，0)和点
B，与y轴相交于点C， 点 D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点B的坐标是____________．
【答案】（2，0）
【解析】
【分析】
根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，列方程可得A点坐标．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴相交于点C，
∴C（0，c），
由C（0，c），D（m，c）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是x＝ ，
设B点坐标为（x，0），
∵A(m－2，0)，
则 ，
解得x＝2，
即B点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称性，熟知函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．
8．(本题5分)（2021·山东·青岛大学附属中学九年级阶段练习）二次函数 的图象与x轴交于
A、B两点，与y轴交于点C，则 的面积为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
求抛物线与x轴的交点，令y＝0，方程的解，即为交点的横坐标，求抛物线与y轴的交点，令x＝0，则可
得交点的纵坐标，进而可求三角形的面积．
【详解】
解：令y＝0，则-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝3，
∴与y轴的交点的坐标为C（0， 3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝ AB•OC＝ ×4×3＝6，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法，三角形面积的求法，求得A、B、C三点的坐标是关键．
9．(本题5分)（2021·广西贺州·九年级期中）若函数 的图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是______________．
【答案】 且
【解析】
【分析】
由抛物线y=x2-3x+c的图象与坐标轴有三个交点，可知抛物线不过原点且与x轴有两个交点，继而根据根的
判别式即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y=x2-3x+c的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线不过原点且与x轴有两个交点，
∴Δ=9-4×1×c＞0，且c≠0，
∴ 且c≠0，
故答案为： 且c≠0
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，会利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与坐标轴交点的个数是解
题的关键．
10．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线
与 于B、C两点，那么线段BC的长是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得 的坐标，进而
即可求得 的长．
【详解】
解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数表达式为y=x2-4x+1．
(1)求出这个二次函数图象的对称轴；
(2)求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)直线x=2
(2)与x轴的交点坐标为(2+ ,0)和(2- ,0)，与y轴的交点坐标为（0，1）
【解析】
【分析】
（1）将抛物线函解析式配成顶点式，即可得出抛物线对称轴；
（2）令x=0，求出y值即可得到抛物线与y轴的交点坐标，令y=0，求出x值，即可得出抛物线与x轴的交
点坐标．
(1)
解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
答：这个二次函数图象的对称轴为直线x=2；
(2)
解：令x=0，则y=1，
∴这个二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，令y=0，则x2-4x+1=0，
解得：x=2+ ，x=2- ，
1 2
∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为(2+ ,0)和(2- ,0)．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质和图象与坐标轴交点，将函数解析式化成顶点式是解题的关键．
12．(本题10分)（2022·广西河池·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴
交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)6
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求出点B坐标，然后利用面积公式求出面积．
(1)
解：把点 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，∴抛物线对应的函数解析式为 3；
(2)
令 ，
解得 ， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查求函数解析式以及求三角形的面积，利用待定系数法是解决问题的关键．
13．(本题12分)（2022·广东广州·九年级期末）如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4交x轴于A、B两点，交y
轴于点C．
(1)求点A、B、C坐标；
(2)若直线y＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式﹣（x﹣1）2+4＞kx+b的解集．
【答案】(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）
(2)0＜x＜3
【解析】
【分析】
（1）令x=0可得点A，B坐标，令y=0可得点C坐标．
（2）通过观察图象，BC之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
【小题1】
解：令y=0，则0=-（x-1）2+4，
解得x=3或x=-1，
∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），令x=0，y=-1+4=3，
∴点C坐标为（0，3）．
【小题2】
由图象可得，0＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴-（x-1）2+4＞kx+b的解集为0＜x＜3．
【点睛】
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
14．(本题12分)（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数 的图象经过点P（﹣3，1），对
称轴是直线 ．
（1）求m、n的值；
（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点
B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．
【答案】（1）m=2，n=﹣2；（2）一次函数的表达式为y=x+4
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴可求得m的值，把点P的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n的值；（2）
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B的坐标，
进而用待定系数法求得一次函数的解析式．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴﹣ =﹣1，
∴m=2
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．
∴n=3m﹣8=﹣2．
（2）∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣2．
过点P作PC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于D，则PC∥BD，如图所示．
∴ ．
∴ ．
∵P（﹣3，1），
∴PC=1．
∵PA：PB=1：5，
∴ = ．
∴BD=6．
∴点B的纵坐标为6．
把y=6代入y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2．
解得x=2，x=﹣4（舍去）．
1 2
∴B（2，6）．
∵一次函数的图象经过点P和点B，
∴ ，解得 ．
∴一次函数的表达式为y=x+4．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解
题的关键．15．(本题12分)（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝
mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、
D横坐标分别为x、x，且x﹣x＝8，求抛物线的解析式．
1 2 2 1
【答案】(1)与x轴两交点间的距离为6
(2)
【解析】
【分析】
（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关
系，求得x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，根据x﹣x＝8，求得 的值，即可求解．
1 2 1 2 2 1
（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，∴m（x2+4x﹣5）＝0，∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，∴x2+4x
﹣5＝0，∴x＝﹣5，x＝1，∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），∴与x轴两交点间的距离为1﹣
1 2
（﹣5）＝6；
（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，∴x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
4xx＝16+20+ ，∵x﹣x＝8，∴（x﹣x）2＝64，∴36+ ＝64，∴m＝ ，∴ ．
1 2 2 1 1 2
【点睛】
本题考查了二次函数与 轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
