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专项突破-根的判别式和根与系数的关系
◎突破一：根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
专训1．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）关于x的一元二次方程 的根的存在情
况是（ ）
A．此方程有两个不等实数根 B．此方程有两个相等实数根
C．此方程没有实数根 D．此方程只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意计算一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】
解：
根据负数没有平方根可得此方程没有实数根，
或化为一般形式，
则此方程没有实数根，
故选C
【点睛】
本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解根的判别
式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个
相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
专训2．（2021·湖南·长沙市华益中学三模）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定【答案】A
【解析】
【分析】
求出b2-4ac，再判断其正负，即可得出答案．
【详解】
b2-4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即b2-4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握b2-4ac的大小与一元二次方程的根的关系是解题的关键．
即当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根．
专训3．（2022·陕西汉中·九年级期末）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】
解：方程化为一般式为：x2−2x−1＝0，
∵Δ＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
专训4．（北京市延庆区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知关于 的一元二次方程．
(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用判别式 即可求解．
（2）利用因式分解变形得 ，可得方程的解，再根据方程有一个根小
于0即可求解．
（1）解：依题意，得： ，∵方程有两个相等的实数根，∴ ，∴ ．
（2）解： 解得 ， ，∵方程有一个根小于0，∴
，∴ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题
的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点．
专训5．（2022·湖南长沙·八年级期末）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范
围；
（2）利用根与系数的关系可得出x＋x＝4，x•x＝k＋2，结合w＝xx2＋x2x＋k，由增减性可求w的最大
1 2 1 2 1 2 1 2
值．（1）解： 关于 的一元二次方程 有实数根，∴ ，
解得： ， 的取值范围为 ．
（2）解： ， 是关于 的一元二次方程 的两个解， ， ，
， 时， 的最大值为 ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；
（2）利用根与系数的关系结合w＝xx2＋x2x＋k，根据增减性可求w的最大值．
1 2 1 2
专训6．（2022·江西吉安·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围；
(2)若m，n是方程的两根，且 ，求k的值；
【答案】(1) 且
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，且k≠0，求出k的取值范围即可；
（2）先用含k的代数式表示mn和m+n，再将 整理得 ，代入计算即可．
（1）∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴ ，
且 ，解得： 且 ．
（2）根据题意 ， .由 ，得 ，∴代入得： ，整理得：
，解得： ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，掌握 ， 是解题的关键．
◎突破二：根与系数的关系
b
【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ，x1x2
a
c
= ．
a
专训1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于
基础题型．
专训2．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是
解题关键．
专训3．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为
倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
此方程根的判别式 ，且 ，
解得 且 ，又 关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题关键．
专训4．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，方程的根为x，x，求代数式（x2+2x）（x2+4x+2）的值．
1 2 1 1 2 2
【答案】(1)m≤
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）
≥0，∴m≤ ．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，∴x+x＝﹣3，xx＝1，∵方程的根为x，x，∴x2+3x+1＝0，
1 2 1 2 1 2 1 1
x2+3x+1＝0，∴（x2+2x）（x2+4x+2）＝（x2+2x+x﹣x）（x2+3x+x+2）＝（﹣1﹣x）（﹣1+x+2）
2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2
＝（﹣1﹣x）（x+1）＝﹣x﹣xx﹣1﹣x＝﹣x﹣x﹣2＝3﹣2＝1
1 2 2 1 2 1 2 1
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于 ，
两根之积等于 ”，是解题的关键．专训5．（2022·广东·惠州一中八年级期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根 满足 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)0
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式 ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出 ，和题干的式子联立解得x 的值，代入原方程即可得到k的
1
值．
(1)
由题意知， ，
则 ，
∵ ，即 ，
所以，无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)
由题意知， ①，
∵ ②，
∴由①+②，得 ，即 ，
将 代入方程，解得 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式 ，当
时，方程有两个不相等的实数根，当 ，方程有两个相等的实数根，当 时，方程无实数根．
专训6．（2022·北京四中模拟预测）已知关于 的一元二次方程
(1)若这个方程有两个不相等的实数根， 求 的取值范围；(2)当 时， 求方程的两个根
【答案】(1)m的取值范围为m＜ 且m≠0；
(2)x=0，x= ．
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【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，然后求出
两不等式的公共部分即可；
（2）利用根与系数的关系解得m=-2，解方程即可求解．
(1)
解：根据题意得m≠0且Δ=（2m+1）2-4m（m+2）＞0，
解得m＜ 且m≠0，
所以m的取值范围为m＜ 且m≠0；
(2)
解：∵ ，
∴ =0，
解得m=-2，
∴原方程为 即-2x2+3x=0，
解得：x=0，x= ．
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【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程
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ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
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