文档内容
专题 07 解三角形面积问题问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求三角形面积（定值问题）.......................2
题型二：求三角形面积（最值问题）.......................6
题型三：求三角形面积（范围问题）......................11
题型四：四边形中面积问题..............................18
三、专项训练.............................................24
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形
基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 2
1 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，
根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（23-24高二下·福建福州·期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满
足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）由余弦定理求出即可.
（2）利用边角转化求出角 ，进而由正弦定理求出 ，最后求出三角形面积.【详解】（1）在 中，由 ，则 ，
由余弦定理知： ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理 ，
由 ，所以 ， ，
由 ， ，解得： 或 ，
即 或 ，
当 时， ，
在 中，由正弦定理 ，所以 ，
所以 ；
当 时，三角形为等边三角形， ，
.
综上：当 时， ；当 时， .
2．（2024·北京丰台·二模）已知 满足 ．
(1)求 ；
(2)若 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求
的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
【答案】(1)
(2)选①③，面积为 ，【分析】（1）根据辅助角公式可得 ，即可求解 ，
（2）选择①②，根据正弦定理可得 与 矛盾，即可求解，选择②③，
根据 ,故 ， ，这与 矛盾，即可求解，选择①③，根据余弦
定理可得 ， ，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由 得 ，所以
,
由于 ，所以
（2）若选① ，② ，
则 ,
由正弦定理可得 ，这与 矛盾，故不可
以选择①②，
若选① ，③ ，
由余弦定理可得 ，解得 ， ，
，
选②③，
由于 ,
又 ,故 ，
而 ，故 ，这与 矛盾，因此不能选择②③
3．（2024·北京西城·一模）在 中， ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积．
条件①： 边上中线的长为 ；条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；
（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的
.
【详解】（1）由 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）选条件①： 边上中线的长为 ：
设 边中点为 ，连接 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
所以 的面积为 ，
选条件③： ：
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， 的面积为 ．当 时， 的面积为 ．
不可选条件②，理由如下：
若 ，故 为钝角，则 ，
则 ， ，即 ，
其与 为钝角矛盾，故不存在这样的 .
4．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，已知
，且 外接圆的面积为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理、 外接圆的半径以及两角和差的正弦公式求得结
果；
（2）先求得 ，结合 的面积公式以及二倍角公式求得结果.
【详解】（1）由于 外接圆的面积为 ，故 外接圆的半径为1．
由正弦定理，得 ，则 ．
又 ，
所以 ，
则 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ；
（2）由 ，得 ，
结合 ，得 ，且 ．由（1）知 ，所以 的面积
．
题型二：求三角形面积（最值问题）
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知 的内角 所对的边分别为 且
与 垂直.
(1)求 大小；
(2)若 边上的中线长为 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；
（2）利用余弦定理与 边上的中线有 进行化简，在利用基本不
等式即可得到结果.
【详解】（1）因为 ， 垂直，
所以 .
由正弦定理，得 ，因为 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）设 边上的中线为 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ①.
在 和 中， ，所以 ，
即 ， ， ，
化简得 ，
代入①式得， ，
由基本不等式 ，
∴ ，当且仅当 取到“ ”；
所以 的面积最大值为 .
2．（23-24高三下·全国·阶段练习） ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
．
△
(1)求A；
(2)若 ，求 ABC的面积S的最小值．
△
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）结合已知条件，先利用 进行化简，再利用二倍角公式即可
求 ，从而可求A；
（2）结合三角形面积公式 、基本不等式、余弦定理即可得到答案.
【详解】（1）由题意可得 ，
因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
可得 ，
即 ．
（2）由（1）知 ；且 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，
解得 或 （当 时， ，故舍去），（当且仅当 时
取等号）．
从而 ，
即△ABC面积S的最小值为 ．
3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在① ；②
；③ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题
中，并解答问题（其中S为 的面积）.
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到 ，再由余弦定理得到
，即可求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到
，得到 ，即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到 ，求得 ，即可求解.（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：若选①：在 中，因为 ，
由 ，
可得 ，
由正弦定理得 ，即 ，
则 ，
又因为 ，故 .
若选②：由 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
若选③：因为 ，
正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，可得 ；
综上所述：选择①②③，都有 .
（2）解：由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，当且仅当 时取等号，
则 ，当且仅当 时取等号，
则 的面积的最大值为 .
4．（23-24高一下·上海·阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
；(1)求B；
(2)若 ，试判断 的形状.
(3)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2) 为等边三角形
(3)
【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；
（2）根据题意结合余弦定理分析求解；
（3）根据题意利用基本不等式可得 ，代入面积公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
即 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，
由余弦定理可得： ，
又因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，即 ，
所以 为等边三角形.
（3）由（2）可知： ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积的最大值为 .
5．（23-24高二上·云南·期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且
满足 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出 的值，结合角 的取值
范围可得出角 的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，再结合三角形的面积公式可求得
面积的最大值.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得
，
因为 、 ，则 ，可得 ，
所以， ，故 .
（2）解：由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
因此， 面积的最大值为 .
题型三：求三角形面积（范围问题）
1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角 中，内角 ， ， 所对边分别为 ，
， ， .
(1)求角 ；
(2)设 是角 的平分线，与 边交于 ，若 ， ，求 ， ；
(3)若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) .
【分析】（1）法一：利用余弦定理得到 ，再由余弦定理计算可得；法二：
利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到 ，设 ， ，再在
中利用余弦定理求出 ，即可得解；
（3）首先得到 ，利用正弦定理得到 ，再根据 的范围及
正切函数的性质计算可得.
【详解】（1）法一：在锐角 中， ，
由余弦定理得 ，化简得 ，
可得 ，又 ，得 .
法二：在锐角 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，
可得 ，
又 ， ，得 ，又 ，得 .
（2）在 中，由正弦定理有 ，
在 中，由正弦定理有 ，
因为 是角 的平分线，故 ，
又 ，故 ，
所以 ，
设 ， ，
在 中，由余弦定理，有 ，
解得 ，所以 （负值舍去），
所以 ， .
（3）因为 ，
由正弦定理 ，得 ，
在锐角 中， ， ， ，
即 ，可得 ，
则有 ， ， ， ，
即 ，得 ，
所以 面积的取值范围为 .
2．（2024·四川德阳·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得 ，即
可求得答案；
（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用 为锐角三角
形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为 中， ，即
，
而 ，故 ，
故 ，又 ，则 ；
（2）由（1）以及题设可得 ；
由正弦定理得
，
因为 为锐角三角形， ， ，
则 ，
则 ，则 ，
即 ，则 ，
即 面积的取值范围为 .
3．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且
.
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解 ，进而可求解 ，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）
因为三角形的面积为 ，
则 ，
所以 ，又 ，则 ；（2）由于 ，所以 ，
即 ， 取等号，
故 ，
故
4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若 ， ．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得 ，结合B为锐角，
可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求
，由题意可求范围 ，利用正弦函数的性质即可
求解其范围．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵B为锐角，∴ ，∵ ，
由正余弦定理可得： ，
整理可得 ，解得 ．
（2）∵ ，∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点
O为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，已知
， .
(1)在① ；② ；③ 中选一个作
为条件，判断 是否存在，若存在，求出 的周长，若不存在，说明理由.（注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若 为锐角三角形，求 面积的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，根据 的内切圆的性质可得 ，选①，根据余弦
定理可得 ，方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得 ，由
可得 ，方程无解即△ABC不存在；选③，根据三角恒等变换
可得 ，由（1）得 ，解得 ，可求出 的周长.
（2）由三角形的面积可得 ，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得
，结合角C的取值范围即可求解.
【详解】（1）设 的内切圆半径为r，因为 ，
所以 ，化简得： ，所以 ，因为 ，所以 ，
选择①，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
整理得 ，
方程无实数解，所以 不存在．
选择②，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
整理得 ，方程无实数解，所以 不存在．
选择③，由 得： ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为以 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 存在且唯一， 的周长为 ．
（2）由（1）知， ， 面积 ，
因为 ，所以
，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，解得： ，
所以 ，所以 ， ， ，
所以 的取值范围为 ，
而 面积 .题型四：四边形中面积问题
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中，
.
(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，先求出 ，再在 利用正弦定理求出 ，利用大
角对大边进行取舍；
（2）把四边形 的面积用题干中给出的变量 进行表示，求解最值即可.
【详解】（1）解：由已知 ，得 ，
所以 ，所以 .
在 中，因为 ，所以 ，又 ，
由正弦定理得 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）在 中，由已知 ，
所以 ，
由余弦定理 ，
在 中，因为 ，
又 ，所以
所以 ，所以四边形 的面积 ，
因为 ，所以 ，当 ，即 时，
，
故四边形 面积的最大值为 .
2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从① ；②
；③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填
写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若 ，D为 的外接圆上的点， ，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，
通过边角互化求解即可；
（2）将条件 转化为 ，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大
值；
【详解】（1）选①： ，根据二倍角公式化简得：
即
因为
解得： 或 （舍去），
所以 ；
选② ，根据正弦定理得：
根据余弦定理得：
又因为 ，所以 ；
选③ ，根据正弦定理得：
因为 ，解得： ，所以 ；
（2） ，根据数量积定义可知：
所以 ，则有： ，
如图所示： ,
根据正弦定理得：
，
因为
根据基本不等式解得： ，当且仅当 时，等号成
立，
即 ，
代入 ，
解得： ，
综上四边形ABCD面积的最大值为 .
3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 中， ， ，
.(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据 ，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形 的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结
合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以 .
又四边形 内接于圆 ，
所以 ，
所以 ，
化简可得 ，又 ，
所以 .
（2）设四边形 的面积为S，
则 ，
又 ，
所以 ，即
平方后相加得 ，即 ，
又 ，
所以 时， 有最大值，即S有最大值.此时， ，代入 得 .
又 ，所以
在 中，可得：
，即 .
所以，对角线 的长为 .
4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中， ，
，且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由题可得 ，然后根据同角关系式及和差角公式求解；
（2）根据余弦定理得到 ，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，
可得 ，再根据三角函数的性质求解.
【详解】（1）因为 ， ，且 ，
所以在 中， ， ，
所以
；（2）设 ， ，
在 中，由余弦定理，得
，
∵
=
，又 ，
当 时，四边形ABCD面积的最大值 ．
5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆 的半径为 ，点 在直径 的延
长线上， ，点 是圆 上半圆上的一个动点，以 为斜边做等腰直角三角形
，且 与圆心分别在 两侧.
(1)若 ，试将四边形 的面积 表示成 的函数;
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1) ，其中
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，求出 、 的面积关于 的表达式，相加
可得出四边形 的面积 表示成 的函数，并标出 的取值范围；
（2）计算出 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得 的最大值.
【详解】（1）解：由余弦定理可得 ，
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，则 ，
所以，，其中 .
（2）解：因为 ，则 ，故当 时，即当 时，
取最大值，即 .
因此，四边形 面积的最大值为 .
三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形 中，已知 四点共圆，且
.
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别在 和 中用正弦定理得到
，然后根据 ，即可得到
；
（2）分别在 和 用余弦定理，再结合 ，得到 ，
，最后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理知 ，
在 中，由正弦定理知 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）在 中，由余弦定理知 ，在 中，由余弦定理知 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 的面积：
.
2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形 中， ，
， ．
(1)若 ， ， ， 四点共圆，求 的面积；
(2)求四边形 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理写出 的表达式，结合A， ， ， 四点共圆求出 ，
求出 的值，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（2）由（1）可得 ，表示出四边形 的面积S的表达式得
，由题意，结合三角形内角的范围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得
．①
在 中，由余弦定理得．②
因为A， ， ， 四点共圆，所以 ，因此 ，
由①+②得 ，得 ．
将 代入①，得 ，故 ，
因此 ．
（2）由（1）可知 ，
得 ．③
四边形 的面积 ，
则 ．④
将③式两边同时平方，得 ，
将④式两边同时平方，得 ，
得 ，
化简得 ．
由于 ， ，
因此当 时， 取得最小值 ，
此时四边形 的面积最大，且 ，得 ，
故四边形 面积的最大值为 ．
3．（23-24高一下·湖北·期中）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）由余弦定理得到 ，再根据题干中的关系可以得到
，进而得到角 的大小；
（2）根据 得到 ，从而确定 的值，由 得到 ，
由正弦定理得到 ，从而由面积公式 得到 的面积．
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，又 ，则
，
而 ，则 ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ，从而 ，
，
由正弦定理 ，得 ，
因此 .
4．（2024高一下·江苏·专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，向量
与 平行.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，根据正弦定理求得
，即可求解；
（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，求得 ，结合三角形的面积公式，即可求
解.
【详解】（1）解：由向量 ， ，
因为 ，可得 ，
又由正弦定理，可得 ，因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：因为 且 ，
由余弦定理得 ，即 ，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .
5．（2024·全国·模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ．
(1)求 的周长的取值范围；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积S.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意与余弦定理可得 ，结合正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函
数的范围问题，计算即可得；
（2）由三角形内切圆的性质可得 ，结合余弦定理计算即可
得，或由三角形内切圆中边长与圆相切，结合切线长定理，可得 的值，再由
计算即可得.
【详解】（1）由 及余弦定理得，
，即 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ， ，则
，
又因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，即 ，
故 的周长的取值范围为 ；
（2）解法一：
由（1）得 ，因为 ，
， ，所以 ，
由 得 ，
从而 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．
解法二：
如图，设圆O是 的内切圆，各切点分别为D，E，H．
由（1）知 ，所以 ．
又因为 ，
所以由切线长定理得 ，
于是 ， ，
又 ，即 ，
所以 ．6．（2023·广东·二模）如图，在平面内，四边形 的对角线交点位于四边形内部，
， ， 为正三角形，设 .
(1)求 的取值范围；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由四边形可知 的取值范围，再在 余弦定理可得
且 ，解不等式可得 的取值范围；
（2）在 由余弦定理可知 ，分别求 和 面积，可得四边形
面积的最值.
【详解】（1）因为四边形 的对角线交点位于四边形内部，
所以 ，又因为 为正三角形， ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
又因 ，
将 ， 代入并整理得 且 ，解得
，
所以 的取值范围是 ；
（2）在 中，由余弦定理可得，
，由（1）知 ，所以 ，
又因为 为正三角形，所以 ，
又 ，
所以
，
所以当 ，即 时，且 成立，
四边形 的面积取得最大值，最大值为 .
7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中
长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景
观区，其中 分别在 上．设 ．
(1)若 ，求 的边长；
(2)求 的边长最小值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据几何关系列方程求解即可；
（2）利用正弦定理和辅助角公式求解最小值即可.
【详解】（1）设 的边长为 千米，由 得 ，中，
为等边三角形， ，
故 ，即 的边长为 .
（2）设 的边长为 千米，所以 ，
中， ，
由正弦定理得， ，故 ，
其中 ，当 时， 取得最小值 ，
即 的边长最小值为 .
8．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，已知 ， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得 ，结合 为锐角三角形，
求得 ，进而求得 ，即可求解.
【详解】（1）方法一：由余弦定理，得 ，解得 .
又 ，所以由正弦定理，得 .
又 为锐角三角形，所以 .
方法二：由题意知， .
由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，即 ；
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .
（2）由正弦定理，得
；
因为 为锐角三角形，所以 ，
解得 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
故 面积的取值范围为 .
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若点 是 上的点， 平分 ，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得
，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即 ，推出 ，利用基本不等式结合三
角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 中， ，
故 ，即 ,
即 ,
所以 ，而 ，
故 ，即 ，又 ，故 ；
（2）由于点 是 上的点， 平分 ，且 ，
则 ，
由 ，得 ，
即 ，则 ，当且仅当 时取等号，
故 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 面积的最小值为 .
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设 内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求锐角 的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式求得 的值，从而
得解；
（2）利用正弦定理和三角形面积公式，结合三角函数恒等变换得到 关于 的表达
式，再由锐角 得到 的取值范围，从而得解.
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理，得 ．
又在 中， ，
所以 ，则 ，
又 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 .（2）因为 ，则 ，
所以 ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故 ，则 .
