文档内容
专题 07 解三角形面积问题问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求三角形面积（定值问题）.......................2
题型二：求三角形面积（最值问题）.......................3
题型三：求三角形面积（范围问题）.......................5
题型四：四边形中面积问题...............................7
三、专项训练..............................................9
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形
基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 2
1 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，
根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（23-24高二下·福建福州·期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满
足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.2．（2024·北京丰台·二模）已知 满足 ．
(1)求 ；
(2)若 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求
的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
3．（2024·北京西城·一模）在 中， ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积．
条件①： 边上中线的长为 ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
4．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，已知
，且 外接圆的面积为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，求 的面积．题型二：求三角形面积（最值问题）
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知 的内角 所对的边分别为 且
与 垂直.
(1)求 大小；
(2)若 边上的中线长为 ，求 的面积的最大值.
2．（23-24高三下·全国·阶段练习） ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
．
△
(1)求A；
(2)若 ，求 ABC的面积S的最小值．
△
3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在① ；②
；③ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题
中，并解答问题（其中S为 的面积）.
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线 ，求 的面积的最大值.4．（23-24高一下·上海·阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
；
(1)求B；
(2)若 ，试判断 的形状.
(3)若 ，求 的面积的最大值．
5．（23-24高二上·云南·期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且
满足 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
题型三：求三角形面积（范围问题）
1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角 中，内角 ， ， 所对边分别为 ，
， ， .
(1)求角 ；
(2)设 是角 的平分线，与 边交于 ，若 ， ，求 ， ；(3)若 ，求 面积的取值范围.
2．（2024·四川德阳·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
3．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且
.
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若 ， ．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求 面积的取值范围．5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点
O为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，已知
， .
(1)在① ；② ；③ 中选一个作
为条件，判断 是否存在，若存在，求出 的周长，若不存在，说明理由.（注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若 为锐角三角形，求 面积的取值范围.
题型四：四边形中面积问题
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中，
.
(1)若 ，求 的大小；
(2)若 ，求四边形 面积的最大值.2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从① ；②
；③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填
写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若 ，D为 的外接圆上的点， ，求四边形ABCD面积的最大值.
3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 中， ， ，
.
(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中， ，
，且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆 的半径为 ，点 在直径 的延
长线上， ，点 是圆 上半圆上的一个动点，以 为斜边做等腰直角三角形
，且 与圆心分别在 两侧.
(1)若 ，试将四边形 的面积 表示成 的函数;
(2)求四边形 面积的最大值.三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形 中，已知 四点共圆，且
.
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形 中， ，
， ．(1)若 ， ， ， 四点共圆，求 的面积；
(2)求四边形 面积的最大值．
3．（23-24高一下·湖北·期中）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
4．（2024高一下·江苏·专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 ，向量与 平行.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
5．（2024·全国·模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ．
(1)求 的周长的取值范围；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积S.
6．（2023·广东·二模）如图，在平面内，四边形 的对角线交点位于四边形内部，
， ， 为正三角形，设 .
(1)求 的取值范围；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中
长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景
观区，其中 分别在 上．设 ．
(1)若 ，求 的边长；
(2)求 的边长最小值．
8．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，已知 ， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若点 是 上的点， 平分 ，且 ，求 面积的最小值．
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设 内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求锐角 的面积的取值范围．
