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专题22.1.6 二次函数与一元二次方程（知识解读2）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
2. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【知识点梳理】
考点 抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：【典例分析】
【考点1 取值范围】
【例1】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（
）
A．-1<x<3 B．x<-1
C．x>3 D．x<-1或 x>3
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围
是（ ）
A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1
【变式1-2】（2021九上·开平月考）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
【变式1-3】（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1【考点2 二次函数综合】
【例2】己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．
过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求
m的值．【变式2-1】（2021·江北模拟）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点
A(4,5) 与点 B(0,−3) ，且与 x 轴交于点 C 、 D .
（1）求该二次函数的表达式，以及与 x 轴的交点坐标.
（2）若点 Q(m,n) 在该二次函数图象上，
①求 n 的最小值；
②若点 Q 到 x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出 m 的取值范围.
【变式2-2】（2020九上·阜阳期末）如图，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0) 与 x 轴交于
A(−1,0),B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C ．
（1）求该抛物线的表达式；（2）若点 D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点 D 的横坐标为 m ，连接
CD,BD,BC,AC ，当 ΔBCD 的面积等于 ΔAOC 面积的2倍时，求 m 的值．
【变式2-3】（2021九上·贵阳期末）如图，抛物线y=﹣ x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A
在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．专题22.1.6 二次函数与一元二次方程（知识解读2）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
4. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用
函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【知识点梳理】
考点 抛物线与不等式的关系
二 次 函 数 (a≠ 0) 与 一 元 二 次 不 等 式 (a≠ 0) 及
(a≠0)之间的关系如下 ：【典例分析】
【考点1 取值范围】
【例1】二次函数y = x2-2x-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（
）
A．-1<x<3 B．x<-1
C．x>3 D．x<-1或 x>3
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y= x2－2x－3的图象如图所示．∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为：A．
【变式1-1】已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围
是（ ）
A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1
【答案】B
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当-3＜x＜1时，y＞0.
故答案为：B.
【变式1-2】（2021九上·开平月考）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
【答案】B
【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标
为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B．
【变式1-3】（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，
则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
【答案】B
【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标
为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【考点2 二次函数综合】
【例2】己知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．
过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求
m的值．
【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0） （2）对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）
（3）m=2时，S最大
【解答】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
{4a−2b+6=0
，
36a+6b+6=0{ 1
a=−
解得 2，
b=2
1
∴y=﹣ x2+2x+6，
2
1
∵y=﹣ （x﹣2）2+8，
2
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，
连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则
{−2a+b=0
，
4a+b=0
{a=1
解得 ，
b=2
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；
1
（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S = AB×OC=24，
△ABC 2
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
S BQ 6−m
∴ △BDQ =（ ）2=（ ）2，
S BA 8
△BCA
3
即S = （m﹣6）2，
△BDQ 8
1
又S = AQ×OC=3m+6，
△ACQ 2
3 3 3 9 3
∴S=S ﹣S ﹣S =24﹣ （m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣2）
△ABC △BDQ △ACQ 8 8 2 2 8
2+6，
∴当m=2时，S最大．【变式2-1】（2021·江北模拟）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点
A(4,5) 与点 B(0,−3) ，且与 x 轴交于点 C 、 D .
（1）求该二次函数的表达式，以及与 x 轴的交点坐标.
（2）若点 Q(m,n) 在该二次函数图象上，
①求 n 的最小值；
②若点 Q 到 x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出 m 的取值范围.
【答案】（1）y=x2−2x−3； (3,0) 、 (−1,0) （2）n 的最小值为 −4；
1−√7<m<0 或 2<m<1+√7 .
{5=16+4b+c
【解答】（1）解：将点 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得
c=−3
{b=−2
，
c=−3
故抛物线的表达式为 y=x2−2x−3 ，
令 y=x2−2x−3=0 ，解得 x=3 或 −1 ，
故抛物线与 x 轴的交点坐标为 (3,0) 、 (−1,0) ；
（2）解：①y=x2−2x−3=(x−1) 2−4⩾−4 ，
故 n 的最小值为 −4 ；
②令 |y|=|x2−2x−3|=3 ，解得x=0、 x=2 或 1±√7 ，故 m 的取值范围的 1−√7<m<0 或 2<m<1+√7 .
【变式2-2】（2020九上·阜阳期末）如图，抛物线 y=ax2+bx+2(a≠0) 与 x 轴交于
A(−1,0),B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点 D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点 D 的横坐标为 m ，连接
CD,BD,BC,AC ，当 ΔBCD 的面积等于 ΔAOC 面积的2倍时，求 m 的值．
2 4
【答案】（1）y=− x2+ x+2 （2）m 的值为1或2.
3 3
【解答】（1）解：把 A(−1,0),B(3,0) 代入 y=ax2+bx+2 中，
{ a−b+2=0
得 ，
9a+3b+2=0
2
{ a=−
3
解得
4
b=
3
2 4
∴抛物线的表达式为 y=− x2+ x+2 ；
3 3
（2）解：过点 D 作 y 轴平行线交 BC 于点 E ，
2 4
把 x=0 代入 y=− x2+ x+2 中，
3 3
得 y=2 ，∴C(0,2) ，
又∵B(3,0) ，
2
∴直线 BC 的表达式为 y=− x+2 ．
3
2 4
∵D(m,− m2+ m+2) ，
3 3
2
∴E(m,− m+2) ，
3
2 4 2 2
∴DE=(− m2+ m+2)−(− m+2)=− m2+2m ．
3 3 3 3
由 S =2S 得：
ΔBCD ΔAOC
1 1
·DE·OB=2· ·OA·OC ，
2 2
1 2 1
∴ ×(− m2+2m)×3=2× ×1×2 ，
2 3 2
整理得 m2−3m+2=0 ，
解得 m =1,m =2 ，
1 2
∵0<m<3 ，
∴m 的值为1或2.
【变式2-3】（2021九上·贵阳期末）如图，抛物线y=﹣ x2﹣x+4与x轴交于A，B两点
（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
【答案】(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解答】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣ x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结
果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣ t2﹣t+4），可表
示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S = PD×OA= PD×4=2PD，
△ACP
可得S 关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．
△ACP
(1)解：设y=0，则0=﹣ x2﹣x+4
∴x =﹣4，x =2
1 2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
∴ AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣ t2﹣t+4）则D（t，t+4）∴PD=（﹣ t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣ t2﹣2t=﹣ （t+2）2+2
∴S = PD×4=﹣（t+2）2+4
△ACP
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
