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第 04 讲 等腰三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。
①等腰三角形的性质
2. 掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等
②等腰三角形的判定
腰三角形。
知识点01 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的概念：
有两条边 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 ，所对的
角叫做等腰三角形的 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 。
2. 等腰三角形的性质：如图
①等腰三角形的两腰 。即AB AC。
②等腰三角形的两个底角 。即∠B ∠C。【简称：等边对等
角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 。
【简称底边上三线合一】即∠ABD ∠CAD，BD CD，AD BC。
【即学即练1】1．若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55° B．40° C．55°或40° D．20°或40°
【即学即练2】
2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．9
【即学即练3】
3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，
斜边经过△ABC的顶点A），则∠ 的度数为（ ）
α
A．15° B．20° C．30° D．40°
【即学即练4】
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝
（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
知识点02 等腰三角形的判定
1. 利用等角对等边判定：
一个三角形中如有两个角 ，则这两个角所对的两条边也 。（等角对等边）则这
个三角形是等边三角形。
数学语言：如图：∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
2. 利用三线合一性质判定：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 ，则这个三角形是等腰三角形。
数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可）
∴△ABC是等腰三角形
【即学即练1】5．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【即学即练2】
6．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
题型01 利用等腰三角形的性质求线段
【典例1】已知△ABC的周长是36cm，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，△ABD的周长是30cm，则AD的
长是（ ）
A．6 cm B．8 cm C．12 cm D．20 cm
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周
长是10，AC﹣BC＝2，则AB的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式2】已知等腰△ABC的周长为16，其中一边长为6，AD为底边BC上的高，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4或6 D．2或3
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分 AB，垂足为 D，交AC
于E，△BCE的周长为20，BC的长为8，则AB为（ ）变式3 变式4
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于
E，若S△ABC ＝10，则FE+FD＝ ．
题型02 利用等腰三角形的性质求角
【典例1】等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）
A．65°，65° B．50°，80°
C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°
【变式1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B
＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一
定成立的是（ ）
A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC
C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC
【变式3】如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且
NM＝ND，若∠A＝ ，则∠C＝（ ）
αA． B． C．120°﹣ D．2 ﹣90°
【变式4】如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD＝DF＝EF．若∠A＝
α α
20°，则∠EFG＝（ ）
A．100° B．90° C．86° D．80°
题型03 三角形的三边关系与等腰三角形的周长
【典例1】等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15 B．20 C．25或20 D．25
【变式1】等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm
C．14cm或16cm D．14cm或18cm
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．17cm B．15cm
C．13cm D．13cm或17cm
【变式3】已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．10或11
【变式4】△ABC与△ACD的边长如图所示，其中AC为两个三角形的公共边．当△ABC为等腰三角形时，
边AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型04 等腰三角形的判定
【典例1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且
△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是
等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式2】已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．
【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
求证：△CDM是等腰三角形；
【变式4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA
的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．【变式5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两
个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向
运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）BP＝ cm（用含t的式子表示）；
（2）当点Q在边BC上运动时．
①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？
（3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰
三角形，直接写出此时t的值．
题型04 等腰三角形的判定与性质
【典例1】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若
AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，AB的垂直平分线EF交AB于点
E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC．
（1）求证：△AOC为等腰三角形；
（2）若∠BAD＝20°，求∠COF的度数．
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【变式3】已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行
于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【变式4】如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点
D，O，E，连接OA、OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．1．等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
2．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B的补角等于∠C的补角
D．AB边上的高也是AB边上的中线3．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若
∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（ ）
A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC．若∠A＝ ，则∠BDC的大小为（
）
α
A．90 B． C．180°﹣ D． ﹣90°
6．生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那
α α
么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A．4米，4米 B．4米，10米
C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米
7．已知实数x，y满足（x﹣4）2+|y﹣8|＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
8．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于
（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点
E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从
点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当
△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
11．如图，在△ABC中，∠A＝100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么
∠C＝ 度．
第11题 第12题
12．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝ ．
13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠GEF＝ ．
14．设 a、b 分别是等腰三角形的两条边的长，m 是这个三角形的周长，当 a、b、m 满足方程组
时，m的值是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点
A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是
以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．16．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线PQ交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AD＝8，△CBE的周长为26，求△ABC的周长．
18．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交
于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．19．如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其他条件不变，求证：
∠CAD＝∠CBF．
20．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
