文档内容
第 04 讲 相似三角形（6 个知识点+6 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．
知识点2．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
知识点3．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点4．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点5．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点6．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
题型强化
题型一．平行线分线段成比例
1．（2024•潮阳区模拟）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，
则点 表示的数是
A． B．2 C． D．5
【分析】设 点表示的数为 ，则根据平行线分线段成比例可得分式方程再进行检验，符合题意即可解答．
【解答】解：设 点表示的数为 ，则根据平行线分线段成比例可得：
解，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合实际意义，
即 点表示的数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．
2．（2024•朝阳区校级一模）如图， 、 是 边 、 上的两点，且 ， ，则 ．
【分析】由 ， ，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 的值，又由
，即可求得 的值．
【解答】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，
注意比例线段的对应关系．
3．（2024•海曙区校级自主招生）如图，在△ 中， 是 边上的高， 为 上一点，连结
并延长交 于 ，连结 并延长交 于 ．求证： ．
【分析】过 作 的平行线 ，根据平行线分线段成比例推出 ，再根据 是高，推理出△
△ 即可证明．
【解答】证明：如图，过 作 的平行线 ，分别交 、 、 、 的延长线于点 、 、 、
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，点 、 在直线 上，
，
，
，又 ，
△ △ ，
，即 ．
【点评】本题考查了三角形、平行线分线段成比例、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成
比例是关键．
题型二．相似三角形的性质4．（2024•绥化模拟）已知△ △ ，且相似比为 ，则△ 和△ 的周长比为
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【解答】解： △ △ ，△ 与△ 的相似比为 ，
△ 与△ 的周长比为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
5．（2024•邗江区校级三模）如图，在 中， ， ， 为直线 左侧一点．若
，则 的最大值为 ．
【分析】由相似三角形的性质得出 ，进而求出 ，设 ，则
，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，时， 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023•蕉城区校级一模）如图，已知 ， 相交于点 ，且 ， ，延长
到点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得 ，再由 ， ，可得 ，即可
证明；
（2）由平行四边形的性质可得 ，可得 ，再由 可得 ，利用勾股定理可
得 ，再由相似三角形的性质可得 ，从而得出 ，即可求解．
【解答】（1）证明： ，
，
，
即 ，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ，，
，
在 中，由勾股定理可得：
，
即 ，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似
三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
题型三．相似三角形的判定
7．（2023秋•船山区期末）如图，在 中， ， ， ．将 沿图示中的虚线
剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A． B．C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解： 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意．
、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意；
、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．（2024秋•永修县期中）如图，已知， ， ， ，要使 ，
只要 ．
【分析】对应边成比例的两个三角形互为相似三角形．
【解答】解： ， ， ，
，
要使 ， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形．
9．（2023秋•岑溪市期末）如图，在△ 中， ，点 、 、 、 在同一条直线上，且
．（1）求证：△ △ ；
（2）若 ， ，求 的长度．
【分析】（1）由 可得到 ，则 ，即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明： ，
，
，
．
△ △ ；
（2）解： ， ，
，
△ △ ，
，
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三
角形的性质来找角相等．
题型四．相似三角形的判定与性质
10．（2024•福田区校级一模）如图，点 ， ， 分别在 的边上， ， ，
， 是 的中点，连结 并延长交 于点 ，则 的值是A． B． C． D．
【分析】先证明 结合中点的含义可得 ，再证明 ，从而可得答案．
【解答】解：如图，记 与 的交点为 ，
，
，
，
点 是 的中点，即 ，
，
， ，
，
，
，
，
；
故选： ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角
形解决问题．
11．（2024•鹿城区校级三模）如图，在 中， ，点 在 上， ， ，且
， 为 上一点，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的长
为 ．
【分析】过点 作 于点 ，根据平行线分线段成比例可得 ，设 ，则
，根据题意得出 ，根据含 30 度角的直角三角形的性质得出 ，得出 ，则
， ，证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点 作 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，则 ，
，
，
，
是等边三角形，则 ，
又 ，，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与
判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（2024秋•温州期中）如图，若 ，且 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．
【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出 ，结合
，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明： ， 是斜边 上的高．
， ，
，
，
又 ，
；
（2）解： ，，
又 ， ，
．
（负值舍去）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
题型五．相似三角形的应用
13．（2024•临川区一模）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 为15米（如图），然后
在 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长 为3米，则楼高为
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者
构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解： ，
即 ，
楼高 米．
故选： ．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边
成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．（2024•建始县模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角
的曲尺（即图中的 ．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用
“矩”测量一个 信号塔高度的示意图，点 ， ， 在同一水平线上， 和 均为直角，与 交于点 ，测得 ， ， ，则信号塔 的高度为 ．
【分析】由题意可知， ， ，证明△ △ ，得到 ，即可求出信
号塔 的高度．
【解答】解： ， ，
，
，
，
△ △ ，
，
，
，
故答案为：16.8．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2024•新城区模拟）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树 和树 ．小河的宽度未知，为了
安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树 与树 之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树 所在的河岸边选择一点 ，观测对岸的树 ，并记录下 的距离为 ；
②在树 所在的河岸内侧，选择两点 ， ，从点 观测树 ，且 ， 以及 三点共线，然后从点
观测树 与树 ，并使 ， ， 三点共线；
③调整 ， 的位置，使 ，记录下 的距离为 ；
④测量出 之间的距离大约为 ．
数学兴趣小组的方案能否得出树 与树 之间的距离？请通过分析与计算说明．【分析】证明 ，根据相似三角形的性质即可求得答案．
【解答】解： ，
， ，
，
，
，
解得 ，
能得出树 与树 之间的距离，距离为 ．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的应用，证明 是解决问题的关键．
题型六．作图-相似变换
16．（2021•玄武区一模）如图，在 中， 是 边上一点，在 边上求作一点 ，使得
．
甲的作法：过点 作 ，交 于点 ，则点 即为所求．
乙的作法：经过点 ， ， 作 ，交 于点 ，则点 即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
【分析】根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：乙的作法正确．
理由： ， ， ， 四点共圆，
，
，
，
，
．
甲的作法，无法证明 ，故甲的作法错误．
故选： ．
【点评】本题考查作图 相似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在
的方格纸中，画一个格点三角形 ，使△ 与格点三角形 相似（相似比不为 ．
．【分析】在 的方格纸中，使△ 与格点三角形 相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，
可知要画一个135度的钝角，因为要在 的方格纸中，所以钝角的两边只能缩小，又要在格点上，
所以要缩小为1和 ，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．顺次连接即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查了相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质．注意本题中的要求在
的方格纸中，所以只能是缩小．
18．（2024•南昌县校级模拟）如图，这是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作△ ，使得△ △ ，且点 在 上；
（2）在图2中作△ ，使得△ △ ，且 ．
【分析】（1）取格点 ， ，使 ， ，△ 即为所作；
（2）取两个小正方形的中心 ， ，△ 即为所作．【解答】解：（1）如图1，△ 即为所作；
；
（2）如图2，△ 即为所作；
．
， ， ， ，
，
，
△ △ ，且 ．
【点评】本题考查了作图 相似变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及相似三角形的判定定理．
分层练习
一、单选题
1．如图所示的两个三角形相似（图中给出部分数据），则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】根据相似三角形对应边成比例，即可解答．
【详解】解：∵图中两个三角形相似， ，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
2．下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B． , ，
C．∠A=∠D，∠B=∠E D． ，∠B=∠E
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定综合
【详解】A、根据三条边对应成比例得出三角形相似；
B、无法判定；
C、根据两个角对应相等得出三角形相似；
D、根据两边对应成比例，且夹角相等得出三角形相似.
故选：B
考点：三角形相似的判定.
3．如图，在 中，M，N分别是边AB，AC上的点， ， ．若 的面积为
1，则 的面积为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合【分析】根据 得 ，得 ，结合 ， ，得到
，计算即可，本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相
似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
故选D．
4．如图，在 中， ， 分别与 交于D、E两点．若 ， ．则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】通过证明 ，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
5．如图，在 中，点 ， 分别在 的边 ， 上，如果添加一个条件，不一定能使
与 相似，那么这个条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比
相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形
的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
A、当 时， ，故该选项不符合题意；
B、当 时， ，故该选项不符合题意；
C、当 时， ，故该选项不符合题意；
D、当 时，不能推出 与 相似，故该选项符合题意；故选：D．
6．如图，矩形 的边 上有一动点 ，以 为边作平行四边形 ，且边 过点 ，在点 从
点 移动到点 的过程中，平行四边形 的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
【知识点】利用相似三角形的性质求解、根据矩形的性质求面积
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：
，即
故
故选：D
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的性质得到对应线段成比例是解决此题的关
键．
7．如图，在 中，D，E分别是 ， 上的点， ，若 ， ，则 等于
（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据 列式计算即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
故选B．
8．如图，在 ABC中，点O为重心，则S ：S =（ ）
DOE BOC
△ △
△
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【答案】A
【知识点】重心的有关性质、利用相似三角形的性质求解
【详解】由题意得：D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， = ，
∴∠EDO=∠OCB,
∵∠DOE=∠BOC，
∴△DOE∽△COB，
∴S DOE：S BOC=1∶4.
△ △故选A.
点睛：若两个三角形相似，那么它们的面积之比等于相似比的平方.
9．如图，正方形 的顶点 在 轴上，点 ，点 在反比例函数 图象上，若直线 的函
数表达式为 ，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、求反比
例函数解析式
【分析】解方程求得 ， ，得到 ， ，过 作 轴于 ，过 作 轴于
，根据正方形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，
根据相似三角形的性质得到 ，设 ， ，根据反比例函数图象上点的坐标特征即
可得到结论．
【详解】解：在 中，令 ，则 ，
令 ，则 ，
， ，
， ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
四边形 是正方形，， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
， ，
，
∴ ，
，
设 ， ，
， ，
， ，
点 ，点 在反比例函数 图象上，
，
， （不合题意舍去），
，
，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三
角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长
线的交点，AG与CD相交于点F，则；①四边形ABCD是正方形；②△CEG∽△FEC ；③C是BG的中点；④
当AE＝2EF时FG=3EF 正确的有几个（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】矩形的判定定理理解、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合
【详解】解：∵∠CED是 BCE的外角，∠AED是 ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠A△ED=∠BAE+∠ABE， △
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD与 BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC△=CD，
∴四边形ABCD是正方形；
故①正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE=∠CDE，且∠AED=∠CED，
∴∠DAE=∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DCE=∠G，且∠CEF=∠GEC，
∴△CEG∽△FEC，
故②正确；
∵E为BD上任一点，∴E可为AC、BD的交点，
此时C、G重合，
∴C不是BG的中点，
故③不正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE， ADE∽△GBE，
∵AE=2EF， △
∴BE：DE=AE：EF=2，
∴BG：AD=BE：DE=2，
即BG=2AD，
∵BC=AD，
∴CG=AD，
∵△ADF∽△GCF，
∴FG：AF=CG：AD，
即FG=AF=AE+EF=3EF．
故④正确；
综上可知正确的为①②④．
故选：C．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且 ，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于
．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】先证明 ，可得 ，再利用AD∶DB=3∶2，求解 ，从而可得答案.【详解】解： ，
，
，
AD∶DB=3∶2，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明 是解本题的关键.
12．已知 ，点D、E分别在 的边 、 所在的直线上，且 ，已知 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】2或6
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、相似三角形的判定与性质综合
【分析】先根据平行线的性质和相似三角形的判定证明 ，可求得 ，再分D、E分别在
、 边上和D、E分别在 、 边的延长线两种情况求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
①当D、E分别在 、 边上时， ；
②当D、E分别在 、 边的延长线时， ．综上， 的长为2或6．
故答案为：2或6．
13．如图，在 中， 、 两点分别在边 、 上， ，AD与 相交于点
，若 的面积为21，则 的面积为 ．
【答案】6
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】过点D作DG//BE交AC于点G，根据等高的两个三角形底边的关系，可得两个三角形面积的关系，
根据相似三角形判定与性质，可得AE：EG=AF：FD=3：4，根据比例的性质，可得AF：AD=3：7，再根据
等高的两个三角形底边的关系，可得两个三角形面积的关系．
【详解】过点D作DG//BE交AC于点G，
∵AE：EC=CD：BD=1：2， ABC的面积为21，
∴S ：S =S ：S =△1：2，
ABE BCE ADC ABD
△ △ △ △
∴S ＝ S = ×21=14，
ABD ABC
△ △
∵DG∥BE，
∴△CDG∽△CBE， AEF∽△AGD，
△
∴ ，
GE= CE，AE= CE，
∴AE：EG=AF：FD=3：4，
∴AF：AD=3：7，
∴S ：S =3：7，
ABF ABD
△ △∴S = S = ×14=6，
ABF ABD
△ △
故答案为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等高的两个三角形的面积与底边的关系，相似三角
形的判定与性质，题目有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.
14．如图， ， ，动点 ， 分别以每秒 和 的速度同时开始运动，其中点
从点 出发，沿 边一直移到点 为止，点 从点 出发沿 边一直移到点 为止（点 到达点 后，
点 继续运动），当 时， 与 相似．
【答案】 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】分 ， 两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间．
【详解】解：当 时，
①若 ，则有 ，
，
， ， ， ，
，解得： ，
② ，若 ，则有，
，
解得： （不符合题意，舍去）；
当 时，点 与 重合，
，只有当 时，有 ，
，
，
解得： ，
综上， 或7时， 与 相似．
故答案为： 或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，分类讨论是解题关键．
15．已知正方形 的边长为6， 在射线 上运动，且点 与点 不重合， 的中点 ， 绕
顺时针旋转 得 ，
则（1）当 与点 重合时（如图2），求点 到直线 距离是 ．
（2）若点 落在正方形边所在的直线上时， 的长为 ．
【答案】 3 3或9
【知识点】旋转综合题(几何变换)、相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）连结GF，则△EGF为等腰直角三角形，且EC垂直平分GF，所以点 F 到直线 BC 距离即为
GF的一半，而GF通过勾股定理可以得到；
（2）分两种情况讨论：F在直线DC上；F在直线AB上．
【详解】（1）解：如图 ，连结GF，与EC交于H，则由旋转定义EF=EG，∠GEF=90°，
∵∠GEC=45°，∴EC⊥GF且 ，
∵GF= ，
∴FH=3，即点 F 到直线 BC 距离是3，
故答案为3；
（2）可分两种情况：
①如图，F在直线CD上，
由题意可得△DCE∽△ECF，
∴ ，
1
∴CE= CD=3；
2
②如图，F在直线AB上，由题意可得△EBF∽△DCE，
∴ ，
1
∴EB= CD=3，
2
∴CE=CB+EB=6+3=9，
故答案为3或9．
【点睛】本题考查正方形与旋转变换的综合运用，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、
直角三角形相似的判定与性质并灵活运用是解题关键．
16．如图，将一个边长为8的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．
若裁切线 的长为10，则裁切线 的长是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据正方形的性
质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由四边形
是裁切后的矩形，得到 ， ，从而得到
，得出 ， ，再用勾股定理求出 的长，进而就可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，四边形 是裁切后的矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵正方形的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．如图，在矩形 中， ，对角线 交于点O，点P在 边上， ，
点B关于直线 的对称点为 ， 交 于点Q．当 为直角三角形时， ．【答案】 或3
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由题意可知 不可能是 ，可分为两种情况：①当 时，②当 时，由
轴对称的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理可得出答案．
【详解】由题意可知 不可能是 ，可分为两种情况：
①如图1，当 时，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点O作 于点E，
∴ ，
∴ ，
∵点B关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由题意得 ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②如图2，当 时，
∵点B关于直线 的对称点为 ，
∴ ， ，
由①可知 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 或3，
故答案为： 或3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性
质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上， ，点E为 的中点，连接 并延长交反比例函数
的图象于点C，过点C作 轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】由题意可得直线 的解析式为 ，求得 ，求得D的坐标，设 ，则 ，
， ．求得直线 的解析式为 ，由点D和点F关于直线 对称，得出
，那么 ，再将F点坐标代入 ，即可求得B的坐标，然后通过三角形相似即
可求得结果．
【详解】解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上， ，点E为 的中点，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ．
∴设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点D和点F关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∵F在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 都是底角为 的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图象上点的坐
标特征，求得直线 的解析式为 ，用含b的代数式表示B点坐标是解题的关键．
三、解答题
19．如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点 、 ，先从 出发与 成 方向向前走 米，到
处立一标杆，然后方向不变继续朝前走 米到 处，在 处转 ，沿 方向走到 处，若 、 、
三点恰好在同一直线上，且 米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？
【答案】河宽为 ．
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，易证明 ，根据相似三角形的性质可得
，据此代值计算即可．
【详解】解：由题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴河宽为 ．
20．【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线
和入射光线分别位于法线两侧，反射角 等于入射角 ．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点 处平放一面镜子，并在镜子
上做一个标记，然后向后退去，直至站在点 处恰好看到建筑物 的顶端 在镜子中的像与镜子上的标
记重合（如图）．设小军的眼睛距地面 ， 、 的长分别为 、 ，求这座建筑物的高度．【答案】这座建筑物的高度为 ．
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证 ，得 ，进而求出 的长即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
，
，
即 ，
解得： ，
答：这座建筑物的高度为 ．
21．如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了 万
平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做
为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标 ，在近岸取点 和 ，使点 、 、 共
线且与河垂直，接着在过点 且与直线 垂直的直线上选择适当的点 ，确定 与过点 且与 垂直
的直线交点 ．测得 ， ， ，请根据这些数据求河的宽度 ．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据题意证明 ，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
答： 的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．【项目式学习】制作“ ”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为 米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“ ”的高度 与它到眼睛的水平距离 之比（即 ）来刻画视力．
（2）大小不同的“ ”，只要它们这一比值（即 ）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“ ”字，将②号“ ”沿水
平桌面向右移动，直至从观测点 看去，对应顶点 ， ， 在同一直线上为止，其中AB是①号“ ”
字的高度，CD是②号“ ”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“ ”与②号“ ”字测试的视
力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“ ”形视力表．以图2所示，①号“ ”是标准对数视力表
中视力为 的“ ”字，其高度AB为 ，求小明在制作视力为 的②号“ ”字时，②号“ ”的
高度CD应为多少 ?（ 、 、 在一条直线上， 、 、 在一条直线上）
【答案】问题1：证明见解析；问题2：【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明 ，根据相似三角形的性质可得
；
问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解．
【详解】问题1：由题可得
∴
∴
∴
∴
∴①号“ ”字与②号“ 字”测试的视力相同
问题2：由（1）可得
∵
∴
∴
答：②号“ ”的高度CD应为
23．（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，
折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、矩形与折叠问题
【分析】(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形
AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
(2)由已知可得：S△ABF= AB•BF=24cm2，则可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100
（cm2），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．
(3)过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明
△AOE∽△AEP，列出关系式．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S△ABF= AB•BF=24cm2，
∴AB•BF=48（cm2），
∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴ ，则AE2=AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO＝ AC，
∴AE2= AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性
较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键．
24．如图1， 和 均为等边三角形，连接BD，CE．
(1)直接写出BD与CE的数量关系为_________，直线BD与CE所夹锐角为__________度；
(2)将 绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问： 的值是否随图形
的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；(3)若 ，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为
_______
【答案】(1) ，
(2)不变，
(3)图形见解析， 或
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转
的性质求解
【分析】（1）证明 ，利用全等三角形对应边相等和对应角相等进行计算．
（2）连接 ， ，证明 ，利用相似三角形的相似比进行求解．
（3）根据题意作出 ， ， 三点共线的所有情况，借助勾股定理与（2）中的结论 进行求解．
【详解】（1） 与 是等边三角形，
， ， ，
， ．
在 与 中，
，
．
， ．
，
即 ，
直线 与 所夹锐角为 ．
（2）解：不变，理由如下：
连接 ， ．、 分别为 、 的中点，且 与 是等边三角形，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
．
（3）解：分两种情况讨论：
如图所示，连接 ．
由（2）得 ， ， ．
， ，
， ，
，
，，即 ；
如图所示，连接 ．
由①得 ， ， ，
，
，即 ．
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，
熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
25．如图1，在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，
，连接 ．将 绕点 顺时针方向旋转，记旋转角为 ．
(1)[问题发现]
①当 时， ______；②当 时， 的值是多少？请给出证明过程．
(2)[拓展研究]
试判断：当 时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]
在旋转过程中， 的最大值是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)① ；② ；
(2)当 时， 的大小没有变化；见解析
(3) ．
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出 ，进而得出 ，得出
，即可得出结论；②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出 ，即可得出结论；
（3）判断出点E在 的延长线上时， 最大，再求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：①在 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②如图，当 时，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时， 的大小没有变化；
证明：在 中，
∵ ，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如答图，当点E在 的延长线上时， 最大，其最大值为 ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角
形的判定和性质，判断出两三角形相似是解本题的关键．
26．综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方
法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片 对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为 ；
第2步：将 边沿 翻折到 的位置；
第3步：延长 交 于点H，则点H为 边的三等分点．
证明过程如下：连接 ，
∵正方形 沿 折叠，
∴ ， ① ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
由题意可知E是 的中点，设 （个单位），，
则 ，
在 中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）
解得： ③ ，即H是 边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为 ；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为 ，沿 翻折得折痕 交
于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片 ，使折痕 ．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：______，②：______，③：______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为 边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】如图3，在菱形 中， ， ，E是 上的一个三等分点，记点D关于 的对称点为 ，
射线 与菱形 的边交于点F，请直接写出 的长．
【答案】【过程思考】（1）① ，② ，③2；（2）点M是 边的三等
分点，证明见解析；【拓展提升】 或
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、矩形
与折叠问题
【过程思考】（1）先根据两个三角形全等，可得到第一个空的条件，然后根据直角三角形的勾股定理可
得到第二个空，最后求得结果即可；
（2）根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；
【拓展提升】根据E是 上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据
三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
【详解】过程思考：（1）解：结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为 ，
此时可根据（HL）推断出两个三角形全等；
根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即 ，则 ；
将 化简可得： ，
移项合并同类项得： ，解得 ，即 ，
故答案为：① ，② ，③2；
（2）解：点M是AB边的三等分点，证明如下：
证明：由第1步的操作可知E，F分别是 ， 的中点，
∵ 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴点M是否为 边的三等分点；
拓展提升：解：连接 交 于点O，如图所示：
，
∴ ， ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
分两种情况：
①当 时，如图所示，连接 ， 与 交点N，
，
由对称性可知， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
即 ，
在 中， ，
即 ，
解得： （舍）， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，连接 ，
由对称性可知， ， ，
， ，
过点A作 于点N，如图所示：，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （舍）， ，
∴ ，
即 ，综上 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠
的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
