文档内容
专题 10 二次函数与一元二次方程（3 个知识点 5 种
题型 1 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1二次函数与一元二次方程的关系（重点）
知识点2.图象法求解一元二次方程（拓展）
知识点3二次函数与一元二次不等式的关系（拓展）
【方法二】 实例探索法
题型1.抛物线与x轴交点情况的判断
题型2.利用抛物线x轴的交点求字母的取值或范围
题型3.利用函数与方程的关系求交点坐标
题型4.二次函数与一元二次方程关系的应用拓展题
题型5.二次函数与不等式关系的应用
【方法三】差异对比法
易错点 .因考虑问题不周全，忽略隐含条件
【方法四】 仿真实战法
考法1. 二次函数与一元二次方程联系的实际应用
考法2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1.理解一元二次方程根的几何意义（抛物线与x轴交点的横坐标），掌握二次函数与一元二次
方程的对应关系。
2.理解抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况，会是活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
3会用图象法求一元二次方程的近似解，能根据二次函数的图象解决有关方程和不等式的问题，在求解过
程中体会转化及数形结合思想。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1二次函数与一元二次方程的关系（重点）
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【例1】（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
【变式】（2023秋·九年级课时练习）已知抛物线 ，当 时，抛物线与 轴有两
个公共点；当 时，抛物线与 轴有一个公共点；当 时，抛物线与 轴没有公共点．知识点2.图象法求解一元二次方程（拓展）
【例2】（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数 的部分对应值如列表所示：则一元二次方程
的解为______ ．
【变式】用图象法求一元二次方程 的近似解(精确到0.1)．
知识点3二次函数与一元二次不等式的关系（拓展）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值
范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也
可把两个函数解析式列成不等式求解．
【例3】（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）
交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 ．
【变式】（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x ，0），（2，0），其中0＜
1
x ＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣ x+c的解集
1
为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【方法二】实例探索法
题型1.抛物线与x轴交点情况的判断
1．（2023·山东青岛·校考一模）已知 是二次函数 （b为常数）的顶点．
(1)若二次函数经过点 ，求b的值．
(2)求证：无论b取何值，二次函数 的图象与x轴必有两个交点．
(3)有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？
2．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知二次函数 （m为常数）
(1)若该二次函数图像经过 ，求二次函数解析式；
(2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点；
(3)当 时，y的最小值为 ，求m的值．题型2.利用抛物线x轴的交点求字母的取值或范围
3．（2023春•江都区月考）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣2x+m，将该二次函数在x轴上方
的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 y＝﹣
2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ．
4．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是 ．
5．（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，若
，则b的取值范围是 ____________________．
6．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线 ，使顶点在线段 上运动，与x轴交于
，D两点．若 ， ，四边形 的面积为 ，则 __________．
题型3.利用函数与方程的关系求交点坐标
7．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）如图，抛物线 交x轴于A、B两点，点P
为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线 、 分别交抛物线的对称轴
于点M、N．(1)求A、B两点坐标．
(2)求 的值．
8．（2023·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）已知抛物线 ： 经过点
．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)若抛物线 与 轴交于两点 ， （点 在点 左侧），且 ，求点 的坐标；
(3)当 时，自变量x的取值范围是： 或 ，若点 在抛物线 上，求 的
取值范围．题型4.二次函数与一元二次方程关系的应用拓展题
9．已知二次函数 与 的图象关于 轴对称，求 的值．
10．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 ，连接
．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使
得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．题型5.二次函数与不等式关系的应用
11．（2023•张家港市校级二模）如图，抛物线 与直线y ＝mx+n相交于点A（3，0）和B
2
（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y ＞y ，则x的取值范围是 ．
1 2
12．（2023•宁波模拟）已知：一次函数 y ＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为
1
（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后
的抛物线的顶点落在直线y ＝x上，求m关于n的函数表达式．
113．（2023•余姚市一模）如图，二次函数 的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，
0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y ＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当 y ＞y 时x的取值
2 1 2
范围．
14．（2023·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）已知抛物线 ： 经过点
．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)若抛物线 与 轴交于两点 ， （点 在点 左侧），且 ，求点 的坐标；
(3)当 时，自变量x的取值范围是： 或 ，若点 在抛物线 上，求 的
取值范围．【方法三】差异对比法
易错点 .因考虑问题不周全，忽略隐含条件
15.已知点A（-1，-1）在抛物线 上,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,
（1）求 的值和点B的坐标；（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?
【方法四】 仿真实战法
考法1. 二次函数与一元二次方程联系的实际应用
16．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x ，x （x ＜x ），关于x的方
1 2 1 2
程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x ，x （x ＜x ）．则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 1 2 4 1 3 4 2
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 3 4 1 2
考法2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系17．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精
确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也
可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数 y＝（4a+2）
x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请
说明理由．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如下表给出了二次函数 中，x，y的一些对应值，则可以
估计一元二次方程 的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
… …
x 2 2.1 2.2 2.3 2.4
… …
… …
y 0.24 0.89 1.56
… …
A． B．2.2 C． D．
2．（2023·四川·九年级专题练习）如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下
列说法正确的是（ ）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
3．（2023秋·九年级课时练习）二次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）二次函数 的图象与 轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·辽宁铁岭·九年级统考开学考试）如图所示是抛物线 的部分图象，其顶
点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：① ；② ；
③ ；④一元二次方程 没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）如图，抛物线 与x轴交于点 ，顶点
坐标 ，与y轴的交点在 ， 之间（包含端点），则下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C．对于任意实数m， 恒成立 D．关于x的方程 有两个相等的实数根
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）已知二次函数
的图象如图所示，其对称轴为直线 ，给出下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ，则正确的结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直
线 ，有以下结论： ； ； 若 ， 是抛物线上的两点，当
时， ； 点 ， 是抛物线与 轴的两个交点，若在 轴下方的抛物线上存在一点 ，使
得 ，则 的取值范围为 ； 若方程 的两根为 ， ，且 ，则
其中结论错误的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．（2023·河南信阳·校考三模）若抛物线 向上平移 个单位后，在 范围
内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，则当
时，函数值y的取值范围是 ．12．（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）已知抛物线 与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C，则 的面积为 ．
13．（2023春·新疆伊犁·九年级校考开学考试）如图，二次函数 的图象与一次函数
的图象的交点A、B的坐标分别为 、 ，当 时，x的取值范围是 ．
14．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数 ，则当 时， 的最大值与最小值的差
为 ．
15．（2023秋·九年级课时练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，关于 的方程
的一个根为 ，则另一个根为 ．16．（2023·四川眉山·校考三模）如图，二次函数 图象的一部分与x轴的一个交点坐
标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论：① ， ② ， ③ ， ④
（m为任意实数），其中正确的结论有 ．（请把正确结论的序号填在横线
上）
17．（2023秋·九年级课时练习）若二次函数 的图象与 轴有公共点，则 的取值范围
是 ．
18．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）在平面直角坐标系 中，直线 与x轴，y轴分别交于点
A，B，点A在抛物线 上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．
（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ．
三、解答题
19．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，且
点在 点左侧．若该二次函数的顶点为点 ，连接 ， ，求 的面积．20．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（A
在B的左侧），与一次函数 的图象交于A，C两点．
(1)求b的值；
(2)求 的面积．
21．（2022秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，
与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；(2)若点M是在x轴下方抛物线上的一动点，且点M的横坐标为m，过点M作 轴，交直线 于点
N，求线段 的长度L关于m的函数解析式及m的取值范围．
22．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数 ， 的图象如图所示．
(1)求y的取值范围；
(2)若直线 与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
23．（2023秋·安徽淮南·九年级统考开学考试）已知二次函数 ．
(1)将二次函数 化成顶点式；
(2)求图像与 轴， 轴的交点坐标．24．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数 的图象如图所示，利用图象解答下列各题：
(1)方程 的根是________；
(2)方程 的根是________；
(3)方程 的根是________；
(4)方程 的根是________；
(5)方程 的根的情况怎样？
25．（2023秋·九年级课时练习）如图，二次函数 的图像与 轴交于点 ，根据图
像解答下列问题：(1)写出方程 的两个根；
(2)当 为何值时， ？当 为何值时， ？
26．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 经过点 ，交y轴于点 ，经过原点O的抛物线 交直线 于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)观察函数图象，写出不等式 的解集；
(3)M是线段 上一点，N是抛物线上一点，当 轴且 时，求点M的坐标．
