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专题 02 一元二次方程的解法
【思维导图】
◎题型1：直接开平方法
技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0） 这解一元二次方程
的方法叫做直接开平方法。
例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（ ）
A．x＝x＝1 B．x＝1，x＝-1
1 2 1 2
C．x＝x＝-1 D．x＝1，x＝0
1 2 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先移项，再两边开平方即可．
【详解】
解：∵x2-1=0，
∴x2=1，
∴x=±1，
即x=-1，x=1．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先移项，再两边开平方可得解．
【详解】
解：由原方程可得：x2=1，
两边开平方可得： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于 的方程 可以用直接开
平方法求解，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直接开平方法求解可得．
【详解】
解：∵ ，且方程 可以用直接开平方法求解，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（ ）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．
【详解】
解：∵方程y2＝﹣a有实数根，
∴﹣a≥0（平方具有非负性），
∴a≤0；
故选：A．
【点睛】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．
◎题型2：配方法
技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；
方 程 的 两 边 都 除 以 二 次 项 系 数 ， 使 二 次 项 系 数 为 1 ， 如 x² ＋
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x－2) 2＝5 C．(x－2) 2＝3 D．(x＋2) 2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．
【详解】
解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=-1，∴x2+4x+4=-1+4，即（x+2）2=3，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程 ，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．
【详解】
解∶ ，变形得 ，
配方得 ，即 ．
故选∶B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程 ，配方后得到的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．
【详解】
解：把方程x2＝4x＋1移项，得：x2−4x＝1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，
配方得（x−2）2＝5，
故选：B．【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项
的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使
方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（
）
A B C D
整理得，x2﹣4x＝﹣
整理得，x2﹣4x＝
3∵a＝1，b＝﹣4，c
﹣3配方得，x2﹣
＝﹣3， 移项得，（x﹣3）
4x+2＝﹣1
两边同时除以（x b2﹣4ac＝28
（x﹣1）＝0∴x﹣3
﹣1）得，x＝3
∴（x﹣2）2＝﹣1 ＝0或x﹣1＝0
∴x﹣2＝±1 ∴x＝1，x＝3
1 2
∴x＝ ＝2±
∴x＝1，x＝3
1 2
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【解析】
【分析】
A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；
B.化为一般式，利用公式法解答；
C.利用配方法解答；
D.利用因式分解法解答
【详解】
解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；
B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；
C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；
D.利用因式分解法解答，完全正确，
故选：D
【点睛】
本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题
关键．◎题型3：配方法的应用
例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为 ，且满足 ，则这
个三角形的最大边 的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三
角形的三边关系可得答案．
【详解】
解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系
是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程 ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其
配方成 的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
【答案】C【解析】
【分析】
设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根据题意得
出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可．
【详解】
设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此题的关键．
变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数 ， ， 满足 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 变形得 ，代入 中得到 ，再进行配方，
根据非负数的性质即可得到答案．
【详解】故选：A．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若 为任意实数时，二次三项式 的值都不小于0，则常数
满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把二次三项式进行配方即可解决．
【详解】
配方得：
∵ ，且对 为任意实数，
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个
数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法
技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a
广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以
把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。
例．（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为 ，则此方程可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．
【详解】
解：A. 的两根为 ，故选项A不符合题意；
B. 的两根为 ，故选项B不符合题意；
C. 的两根为 ，故选项C不符合题意；
D. 的两根为 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】
【分析】
按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．
【详解】
解：
判别式
故选：C
【点睛】
此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．
变式2．（2021·河南南阳·九年级阶段练习） 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程为 ，则方程的根为
又因为
则
一元二次方程为
故选D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的系数．
变式3．（2021·湖南邵阳·九年级期末）用求根公式法解方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
列出方程各项系数，再利用公式法求解即可．
【详解】
得解：∵ 中，a=1，b=-2，c=-5，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．◎题型5：根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
例．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）关于 的一元二次方程 的根的情况，下列判
断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】
判断方程的根的情况，根据一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可得到结论．
【详解】
解：∵Δ=b2-4ac= ＜0，
∴方程总没有实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程
有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
变式1．（2022·吉林长春·九年级期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
【答案】A
【解析】
【分析】
找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可．
【详解】
解：一元二次方程x2-3x-2=0，
∵a=1，b=-3，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．故选：A．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为 ，
，那么这个一元二次方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
变式3．（2022·江西上饶·九年级期末）已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可据此求出k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程2x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4×2（2k﹣1）≥0，
解得k ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系：（1）Δ＝b2﹣4ac＞0，方
程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＝b2﹣4ac＜0，方
程没有实数根．
◎题型6：因式分解法
技巧：
例．（2022·全国·九年级课时练习）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【答案】A
【解析】
【分析】
用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．
【详解】
A：等式右边为0，分解正确，符合题意；
B：等式右边≠0，不符合题意；
C：等式右边≠0，不符合题意；
D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0；
故答案为：A【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于
0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．
变式1．（2022·湖北恩施·九年级期末）一元二次方程 的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝－3 C．x＝－2 D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
运用因式分解法求得方程的根，选择即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
解得 ， ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的解法，选择适当的求根方法是解题的关键．
变式2．（2022·北京通州·八年级期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．0 B．2 C．0，2 D．0，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
即 或 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程．能正确对等式左边分解因式是解题关键．
变式3．（2022··八年级期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得： ，
∴A、存在k的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误；
B、无论k为何值，方程总有实数根；故错误；
C、∵x2+（k+3）x+k+2＝0，
∴(x+k+2)(x+1)=0，
∴x=-k-2，x=-1，
1 2
∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确；
D、无论k为何值，方程总有实数根；故错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
◎题型7：换元法
【技巧】换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的
是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
例．（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=3，x=−5，则关于y的方程
1 2
a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B【解析】
【分析】
设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，x=-5，得到
1 2
t=3，t=-5，于是得到结论．
1 2
【详解】
解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，x=-5，
1 2
∴t=3，t=-5，
1 2
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y=2，y=-6．
1 2
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
变式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）关于x的方程 的解是
，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程 的解是（ ）
A．x＝2，x＝-1 B．x＝4，x＝1 C．x＝0，x＝-3 D．x＝1，x＝-2
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程 可变形为 ，即可把x+1看作整体，相当于前面一个方程中
的x进行求解即可．
【详解】
方程 可变形为 ，
∵关于x的方程 的解是 (a，m，b均为常数，a≠0)，
∴ 或 ，
解得： ， ．故选D．
【点睛】
本题主要考查了方程解的定义．注意根据两个方程的特点进行简便计算．
变式2．（2021·江苏镇江·九年级期中）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，
设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y=1，y=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即
1 2
x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x=2，x=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0
1 2
的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2-4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出
x．
【详解】
解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y2-4y+3=0，
∴y=1，y=3，
1 2
当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，
所以原方程的解为：x=-2，x=-1．
1 2
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程
的解法解决问题．
变式3．（2021·全国·八年级课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．3或 B． 或2 C．3 D．
【答案】C【解析】
【分析】
设 ，则原方程变为 解出关于a的方程，取非负值值即为 的值．
【详解】
解：设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意 ．
◎题型8：根与系数的关系
b
【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=− ，x1x2
a
c
= ．
a
例．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若
，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】
解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是
解题关键．
变式1．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为
倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
此方程根的判别式 ，且 ，解得 且 ，
又 关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题关键．
变式2．（2022·湖南长沙·八年级期末）若 、 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为（ ）．
A．2 B． C．2022 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【详解】
解：根据一元二次方程根与系数的关系可以得到： ，
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解题关键．
变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）若 x，x 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x+x 的
1 2 1 2
值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】根据x+x=- 可得答案．
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【详解】
解：∵x，x 是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根，
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∴x+x=3，
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故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
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