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21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac
一元二次方程 中， 叫做一元
注意：
二次方程 ax2 bxc 0(a 0) 的根的判别式，通常用“”来表
利用根的判别式判定一元二次
b2 4ac
示，即 方程根的情况的步骤：①把一元二
次方程化为一般形式；②确定
a,b.c b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 的值；③计算 的
b2 4ac
值；④根据 的符号判定方
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 程根的情况.
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况
1.下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
【答案】A
【解析】【解答】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式Δ=(−2) 2−4=0，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式Δ=(−3) 2−4×2=1>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式Δ=(−2) 2−4×3=−8<0，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式Δ=(9) 2−4×(−9)=36>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
【变式1-1】若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
【变式1-2】判断关于 x 的方程 (x−3)(x−2)=p2 根的情况，并说明理由.
【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：
方程整理为一般式得 x2−5x+6−p2=0 ，
∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2 )=25−24+4 p2=4 p2+1 ，
而4p2≥0，
∴1+4p2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】先将方程化为一般形式，再求出判别式△的值，根据一元二次方程
“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”中△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程
有两个相等的实数根，△＜0时，方程没有实数根，据此判断即可.
一元二次方程根的判别式的逆用 注意：
ax2 bxc 0 a 0 （1）逆用一元二次方程根的判别式求
在方程 中， 未知数的值或取值范围，但不能忽略二
次项系数不为0这一条件；
b2 4ac
（1）方程有两个不相等的实数根 ﹥0；
（2）若一元二次方程有两个实数根则
（2）方程有两个相等的实数根 b2 4ac =0； b2 4ac ≥0.
b2 4ac
（3）方程没有实数根 ﹤0.
题型2：逆用判别式求未知数的值或取值范围
2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
【答案】证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣1）=k2+4，
而k2≥0，
∴△＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
【变式2-1】关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】解：∵关于x的方程x2−(k+1)x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+1)] 2−4k=0，
∴k2+2k+1−4k=0，
∴(k−1) 2=0，
解得k=1．
【解析】【分析】先求出 Δ=b2−4ac=[−(k+1)] 2−4k=0， 再计算求解即可。
【变式2-2】已知关于x的方程x2+kx+k-2＝0，证明不论k为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【答案】解：在方程x2+kx+k-2＝0中，
∵Δ=k2−4×1×(k−2)=k2−4k+8=(k−2) 2+4>0 ，
∴方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】在方程x2+kx+k-2＝0中，因为Δ=k2−4×1×(k−2)=k2−4k+8=(k−2) 2+4>0 ，
所以得出方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数
所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
题型3：求一元二次方程两根的和与积
3.若x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x +x ，x x 的值分别是
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，
1 2
∴x+x =5，xx=6，
1 2 1 2
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x+x =5，xx=6。
1 2 1 2
【变式3-1】已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.
【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2−bx+c=0的两根互为相反数，则（ ）
A．b=0 B．c=0 C．b>0 D．b<0
【答案】A
−b
【解析】【解答】解：根据题意得− =0，
1所以b=0.
故答案为：A.
b
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得x +x =− =0，据此可得b的值.
1 2 a
一元二次方程的根与系数的关系的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 、x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要
1 2
变形；如：
x2 x2 (x x )2 2x x
① 1 2 1 2 1 2；
1 1 x x
1 2
x x x x
② 1 2 1 2 ；
x x 2 x2x x x (x x )
③ 1 2 1 2 1 2 1 2 ；
x x x2 x2 (x x )2 2x x
2 1 1 2 1 2 1 2
x x x x x x
④ 1 2 1 2 1 2 ；
(x x )2 (x x )2 4x x
⑤ 1 2 1 2 1 2；
(x k)(x k) x x k(x x )k2
⑥ 1 2 1 2 1 2 ；
|x x | (x x )2 (x x )2 4x x
⑦ 1 2 1 2 1 2 1 2 ；
1 1 x2 x2 (x x )2 2x x
1 2 1 2 1 2
x2 x2 x2x2 (x x )2
⑧ 1 2 1 2 1 2 ；
x x (x x )2 (x x )2 4x x
⑨ 1 2 1 2 1 2 1 2 ；
| x || x | (| x || x |)2 x2 x2+2| x x | (x x )2 2x x 2|x x |
⑩ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ．
题型4：已知一根求另一根或字母的值
4.关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）
A．－3 B．－6 C．3 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x ，
1
又∵x =−2，
2
{x +(−2)=−m
∴根据根与系数的关系可得： 1 ，
x ·(−2)=6
1
解得：x =−3，m=−5．
1
故答案为：A．{x +(−2)=−m
【分析】设方程的另一根为x ，根据根与系数的关系可得 1 ，据此求解即可.
1 x ·(−2)=6
1
【变式4-1】若 3+√7 是方程 x2−6x+c=0 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵x=3+√7 是此方程的一个根，设另一个解为 x
2
则 x +x =6 ，
1 2
∴x =3−√7 ，即方程的另一个根为 3−√7
2
∵x x =c
1 2
∴c=(3+√7)(3−√7)=2 .
【解析】【分析】设另一根为x，根据根与系数的关系可得x+x =6，据此可得x，然后根据xx=c可
2 1 2 2 1 2
得c的值.
【变式4-2】若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
【解析】【分析】将x=1代入原方程中可得b的值，进而可得关于x的一元二次方程，设另一根为
b
m，根据根与系数的关系可得1+m=− =4，求解可得m的值，即方程的另一根.
a
题型5：利用根与系数的关系构造方程
5.如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x =3，x =1 ，那么这个一元二次
1 2
方程是（ ）
A．x2+3x+4=0 B．x2+4x−3=0 C．x2−4x+3=0 D．x2+3x−4=0
【答案】C
【解析】【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x=3，x=1，∴3+1=-p，3×1=q，
1 2
∴p=-4，q=3，
∴一元二次方程是x2-4x+3=0，
故答案为：C．
b c
【分析】若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，可得x+x =− ，x·x= ，据此解答
1 2 1 2 a 1 2 a
即可.【变式5-1】若x+x =3，x2+x 2=5，则以x、x 为根的一元二次方程是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x2＋x2＝5，
1 2
∴（x＋x）2−2x x＝5，
1 2 1 2
而x＋x＝3，
1 2
∴9−2x x＝5，
1 2
∴xx＝2，
1 2
∴以x，x 为根的一元二次方程为x2−3x＋2＝0．
1 2
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式可得(x＋x)2−2x x＝x2＋x2＝5，结合x＋x 的值可求出xx 的值，然后
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
结合根与系数的关系可得对应的方程.
题型6：求涉根代数式的值
6.若一元二次方程 x2−2x=1 的两个实数根分别为 x ， x ，求 (x −1)(x −1) 的值.
1 2 1 2
【答案】解：∵x2−2x=1 的两个实数根分别为 x ， x ，
1 2
∴变形为 x2−2x−1=0 ，
{x +x =2
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得： 1 2 ，
x x =−1
1 2
∴(x −1)(x −1)=x x −(x +x )+1=−1−2+1=−2 ，
1 2 1 2 1 2
故答案为：-2.
{x +x =2
【解析】【分析】首先将方程整理成一般形式，然后根据根与系数的关系得出 1 2 ， 然后将
x x =−1
1 2
代数式去括号后整体代入即可.
【变式6-1】已知x，x 是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
1 2
（1）（x+1）（x+1）；
1 2
（2）x2+x 2．
1 2
【答案】解：∵x，x 是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，
1 2
3
∴x+x =﹣2，xx=﹣ ．
1 2 1 2 2
5
（1）原式=x x+x +x +1=﹣ ；
1 2 1 2 2
（2）原式=（x+x ）2﹣2 xx=7．
1 2 1 2
3
【解析】【分析】由根与系数的关系得出x+x =﹣2，xx=﹣ ，进一步整理代数式，整体代入求得答
1 2 1 2 2
案即可．【变式6-2】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设x、x 方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x2+x2+x x 的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】解：（1）根据题意得△=42﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜5；
（2）当m=1时，方程化为x2+4x=0，
则x+x =﹣4，xx=0，
1 2 1 2
所以x2+x2+x x=（x+x ）2﹣xx=（﹣4）2﹣0=16．
1 2 1 2 1 2 1 2
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=42﹣4（m﹣1）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）的范围内取m=1，则根据根与系数的关系得到x+x =﹣4，xx=0，再把x2+x2 xx 变形
1 2 1 2 1 2 1 2
为（x+x ）2﹣xx，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
题型7：根与系数的关系与三角形综合
7.一个三角形的两边为方程 2x2−kx+8=0 的两根，第三边长为4，则k的范围是（ ）
A．−8√20 ）是“差根方程”，请探索a与b之
间的数量关系式.
【答案】（1）解：①设 x ， x 是一元二次方程 x2−4x−5=0 的两个实数根，
1 2
∴x +x =4 ， x ⋅x =−5 ，
1 2 1 2
∴|x −x |=√(x +x ) 2−4x x =√42−4×(−5)=6 ，
1 2 1 2 1 2
∴ 方程 x2−4x−5=0 不是差根方程；
②设 x ， x 是一元二次方程 2x2−2√3x+1=0 的两个实数根，
1 2
1
∴x +x =√3 ， x ⋅x = ，
1 2 1 2 2
∴|x −x |=√(x +x ) 2−4x x = √ (√3) 2 −4× 1 =1 ，
1 2 1 2 1 2 2
∴ 方程 2x2−2√3x+1=0 是差根方程；
（2）解： x2+2ax=0 ，
因式分解得： x(x+2a)=0 ，
解得： x =0 ， x =−2a ，
1 2
∵ 关于x的方程 x2+2ax=0 是“差根方程”，
∴2a=±1 ，
1
即 a=± ；
2
（3）解：设 x ， x 是一元二次方程 ax2+bx+1=0 （a，b是常数， a>0 ）的两个实数根，
1 2
b 1
∴x +x =− ， x ⋅x = ，
1 2 a 1 2 a
∵ 关于x的方程 ax2+bx+1=0 （a，b是常数， a>0 ）是“差根方程”，
∴|x −x |=1 ，
1 2∴|x −x |=√(x +x ) 2−4x x =1 ，
1 2 1 2 1 2
√ b 2 1
即 (− ) −4⋅ =1 ，
a a
∴b2=a2+4a .
【解析】【分析】（1）①由根与系数的关系可求得|x −x |的值，然后根据差根方程的定义可判断求
1 2
解；
②由根与系数的关系可求得|x −x |的值，然后根据差根方程的定义可判断求解；
1 2
（2）由题意先用提公因式法解方程，再根据差根方程的定义可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由根与系数的关系和差根方程的定义可求解.
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
3 3
A．1 B．﹣1 C． D．−
2 2
【答案】C
【解析】【解答】设方程的另一根为x，
1
3
根据根与系数的关系可得：﹣1•x ＝﹣ ，
1 2
3
解得x＝ .
1 2
故答案为：C.
c
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，x.x= ，把a、c和x=-1的值代入计算即可求解.
1 2 a 1
2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（ ）
A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6
C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得2+（-3）=-b，2×（-3）=c，
解得b=1，c=-6.
故答案为：A.b c b c
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得x+x =− ,x.x= ，于是可得 =-(x +x )， =x .x，
1 2 a 1 2 a a 1 2 a 1 2
把x=2，x=-3代入计算即可求解。
1 2
3．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x、x，则x＋x 等于( )
1 2 1 2
A．5 B．6 C．－5 D．－6
【答案】A
【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求得两根的和．
【解答】∵一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x，x，
1 2
b
∴x+x =- =5；故选A．
1 2 a
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0)的两个
b
实数根分别是x、x，则：x+x =- ，
1 2 1 2 a
c
xx= ．
1 2 a
1 1
4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足 + =1，则m
α β
的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3 或1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，
1 1
∵ + =1，
α β
α+β
∴ =1，
αβ
3−2m
∴ =1，
m2
m=﹣3，m=1，
把m=﹣3代入方程得：x2﹣9x+9=0，△=（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m=1代入方程得：x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m=1舍去；
故选：A．1 1
【分析】根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，代入 + =1求出m=﹣3，m=1，再进行检验
α β
即可．
b a
5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ ）
a b
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
【答案】D
b a
【解析】【解答】当a=b时， + =1+1=2；
a b
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab 62−2×2
∴ + = = = =16．
a b ab ab 2
故答案为：D．
b a
【分析】当a=b时，可得出 + =2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与
a b
b a (a+b) 2−2ab
系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入 + = 中即可求出结论．
a b ab
6．已知x、x 是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x+x 等于（ ）
1 2 1 2
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得x+x =3．
1 2
故选B．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
二、填空题
7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3 和1 +√3 ，那么这个方程是
．
【答案】2x2-4x-4=0
b c
【解析】【解答】设这个方程为ax2+bx+c=0，将原方程变形为x2+ x+ =0，
a a
∵一元二次方程的两个根分别为1 −√3 和1 +√3 ．b
∴x+x =（1+ √3 ）+（1- √3 ）=- ，
1 2 a
c
x•x=（1+ √3 ）×（1- √3 ）= ．
1 2 a
b c
解得 =-2， =-2．
a a
则所求方程为2x2-4x-4=0．
故答案是：2x2-4x-4=0．
b c
【分析】欲求方程先设方程为ax2+bx+c=0（a≠0且a，b，c是常数），将原方程变形为x2+ x+
a a
b c
=0，再根据两根之和或两根之积公式求出 − 、 的值，代入数值即可得到方程．
a a
8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x，x，则x+x = ．
1 2 1 2
【答案】5
【解析】【解答】解：由两根之和公式可得，x+x =5．
1 2
【分析】本题要求算出x+x 的结果，x+x 正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式可以求出
1 2 1 2
x+x 的值．
1 2
9．已知方程 x2+2x-1=0 的两根分别为 x，x，则 x+x = .
1 2 1 2
【答案】-2
【解析】【解答】.解: ∵ 方程x2+2x-1=0的二次项系数a=1,一次项系数b=2,
b 2
∴x +x =− = − =-2.
1 2 a 1
故答案是:-2.
b
【分析】 由一元二次方程的根与系数的关系得x+x = − 可求解。
1 2 a
1 1
10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则 + 的值是
a b
．
6
【答案】﹣
5
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=﹣5，1 1 a+b 6 6
+ = = =﹣ ．
a b ab −5 5
6
故答案是：﹣ ．
5
【分析】根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=﹣5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代
数式的值．
11．方程 x2+2x−3=0 的两根为 x 、 x 则 x ⋅x 的值为 .
1 2 1 2
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵方程 x2+2x−3=0 的两根为x、x，
1 2
c
∴x·x= =-3，
1 2 a
故答案为：-3.
c
【分析】直接根据韦达定理x·x= 可得.
1 2 a
三、解答题
12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．
【答案】解：将x=-2代入方程
12-10-4k=0
1
k=
2
5
∴a+-2=-
3
1
∴a=
3
【解析】【分析】根据方程根的含义求出k的值，继而根据一元二次方程根与系数的关系求出a即可。
13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x、x，不解方程求：
1 2
（1）x2+x 2的值；
1 2
（2）(x-2)(x-2) 的值
1 2
3
【答案】（1）解：根据题意得 x +x =− ，x x =−2
1 2 2 1 2
3 2 25
x ❑ 2+x ❑ 2=(x +x ) 2−2x x =(− ) −2×(−2)= ；
1 2 1 2 1 2 2 43
（2）解：由（1）可知 x +x =− ，x x =−2
1 2 2 1 2
3
所以： (x −2)(x −2)=x x −2(x +x )+4=−2−2×(− )+4=5
1 2 1 2 1 2 2
【解析】【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式，即可计算得
到答案；
（2）将式子去括号展开，由一元二次方程根与系数的关系，代入值求出答案即可。
四、综合题
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x，x，且xx+x +x =15，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）解：由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x，x，
1 2
∴xx=2m+1，x+x =6，
1 2 1 2
∴xx+x +x =2m+1+6=15，
1 2 1 2
解得m=4
【解析】【分析】（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系
解答．
15．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k−1=0 ．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围；
（2）已知 x=3 是此方程的一个根，求方程的另一个根及 k 的值．
【答案】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k−1=0 有两个不相等的实数根， ∴
b2−4ac=4−4(k−1)>0 ， 解得： k<2
（2）解：∵x=3 是此方程的一个根， ∴代入方程得： 9−6+k−1=0 ， 解得： k=−2 ， ∴
原方程为： x2−2x−3=0 ， 解得： x =3 ， x =−1
1 2
【解析】【分析】（1）根据方差有两个相等的实数根可得b2-4ac>0即可求得k的范围；
（2）由题意把x=3代入方程可求得k的值，再将k的值代入方程，解这个一元二次方程即可求解。
