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专题 01 一元二次方程的概念
【思维导图】
◎题型1：一元二次方程的定义
【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
例．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
【详解】
解：A、该方程属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
C、 化简得： 符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，
一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．变式1．（2020·四川·攀枝花第二初级中学九年级期中）若方程 是关于x的一元二次
方程，则（ ）
A． B．m＝2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得 从而可得答案．
【详解】
解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴
由①得：
由②得：
解得：
故选B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程．掌握定义是解本题的关键．
变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）方程 是关于x的一元二次方程，则m的取
值范围是（ ）
A．m≠±1 B．m≥-1且m≠1 C．m≥-1 D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
解：∵方程 是关于x的一元二次方程，∴ ，
解得 ，
由 有意义得 ，
解得： ，
∴ 且 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看
化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．
【详解】
解：A. ，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B. ，当a≠0时，是一元二次方程，当a=0，b≠0时，是一元一次方程，不合题意；
C. ，原方程整理得 ，是一元二次方程，符合题意；
D. ，原方程整理得 ，不是一元二次方程，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看
化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
◎题型2：一元二次方程的一般形式【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这
是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，
c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
例．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项的系数即可．
【详解】
解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，
∴二次项系数为1，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式．
变式1．（2021·河南周口·九年级期中）把方程 化成一般式 ，则正确的是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．
【详解】
将 去括号得 ；移项得
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．
变式2．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．
【详解】
解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；
C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；
D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（
）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元
二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做
常数项，进行分析即可．
【详解】
解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把
一元二次方程化成一般形式．
◎题型3：一元二次方程的解
【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值
为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入 中，求出 的值，再根据 ，即可确定 的值．
【详解】
将 代入 中
解得
∵这是关于 的一元二次方程
∴
解得
故
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．
变式1．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则
m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
把 代入一元二次方程 中即可得到关于m的方程，解此方程即可求出m的值．
由 即 得到 从而得到答案．【详解】
解： 是一元二次方程 的一个根，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程
的解是解题的关键．
变式2．（2022·四川乐山·九年级期末）m是方程 的根，则代数式 的值是( )
A．-2018 B．2018 C．-2026 D．2026
【答案】A
【解析】
【分析】
把 代入 得到 ，进而得到 ，代入 进行计算即可求解．
【详解】
解：∵m是方程 的根，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．
变式3．（2022·广西贵港·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根
及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】
解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
