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专题 03 一元二次方程的实际应用
【思维导图】
◎题型1：传播问题
技巧：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平
均一个人可以传染 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
,
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程．变式1．（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患
新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
变式2．（2021·广东湛江·九年级期末）有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了12个人
(2)第三轮将又有2028人被传染
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，可求出x，
（2）由（1）所得可求出第三轮过后，又被感染的人数．
(1)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
（x＋1)2＝169．
解得 ， (舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人；
(2)解：由题意得：169×12＝2028(人)．
答：第三轮将又有2028人被传染．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果
某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为
新冠病毒的携带者．
(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
【答案】(1)每个人每轮传染12人．
(2)共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【解析】
【分析】
（1）设每个人每轮传染x人，由题意可列方程进行求解；
（2）由（1）可直接进行求解．
(1)
解：设每个人每轮传染x人，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：每个人每轮传染12人．
(2)
解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；
答：若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的传播问题是解题的关键．
◎题型2：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降
低率
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然
爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A．8% B．10% C．15% D．20%
【答案】B
【解析】
【分析】
设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意列出方程20000（1＋x）2＝24200，求解即可．
【详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意舍去），
1 2
∴x＝10%．
∴口罩日产量的月平均增长率为10%．
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
变式1．（2022·云南红河·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表
团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的
销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为
x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意先分别求得7月25日和7月26日的销量，进而利用7月25日和7月26日的总销量是30000个列
方程即可．
【详解】
解：由题意得：7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
则 ，故答案为：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
变式2．（2021·广西南宁·九年级期中）某工厂为了提高市场竞争力不断改进设备，2018年在改进设备方
面投入的资金是100万元，2020年投入的资金是121万元，且从2018年到2020年每年投入资金的年平均
增长率相同.
(1)求该工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率；
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该厂在2021年需投入多少万元？
【答案】(1)10%
(2)133.1万元
【解析】
【分析】
（1）根据2020年投入的资金做等量关系列方程即可；
（2）根据（1）中的结论计算即可.
(1)
设工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率为 ，
则依题意得：
解得: (不合题意舍去).
∴ =0.1=10%.
答：工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率为10%
(2)
121+121×10%=133.1（万元）
答：该厂在2021年需投入133.1万元 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式3．（2021·四川成都·九年级期中）某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价
为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月
底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%
(2)该店应按原售价的九折出售
【解析】
【分析】
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据增长率公式列方程解答；
（2）设商品应降价x元，根据售价乘以数量列一元二次方程解答．
(1)
解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题
意可得： ，
解得： ， （不合题意舍去）
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)
设商品应降价x元，
根据题意，得 ，
化简，得 ，解得 ， ，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元，
此时，售价为： （元）， ，
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率问题计算公式a（1+x）2=b，以及销售问题的计算
公式是解题的关键．
◎题型3：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆！
例．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另
外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80
【答案】A
【解析】
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期中）如图，在一幅
长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图
的面积为 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（长+2个纸边的宽度）×（宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】
解：设金色纸边的宽为xcm，
依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题
意列出方程是解题关键．
变式2．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为
18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
【答案】(1)（30－2x）
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
(1)
解：设垂直于墙的一边长为xm，
由图可得：平行于墙的一边长为（30−2x）m，
故答案为：30−2x；
(2)
解：根据题意得：x（30−2x）＝100，
∴x2−15x＋50＝0，因式分解得 ，解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；
∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，
答：x的值为10m．【点睛】
本题考查根据题意列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意、数形结合列出相应代数式及
方程．
变式3．（2022·湖南长沙·八年级期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，
另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
(1)鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
(2)鸡场的面积能达到 吗？为什么？
【答案】(1)面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米
(2)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
(1) 设鸡场的一边为xm，另外两边均为 m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
(2)根据题意得出方程， 求出其解的情况就可以得出结论；
(1)
设与墙平行的边的长是x米，
则 ，
整理得x2-40x+400=0，
解得：x=x=20，
1 2
解得 ，
即面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米．
(2)
由
得 ，此时 ，
所以面积不能达到 ．
【点睛】
本题考查了运用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用，一元二次方程根的判别式的运用，解答时
根据矩形的面积公式建立一元二次方程是关键．
◎题型4：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可！
例．（2022·全国·九年级专题练习）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到
等量关系是解决本题的关键．
变式1．（2019·全国·九年级）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程求解即可
【详解】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以 ，解得 ，
；所以当 时，另一个数为9，其和为16，当 时，另一个为﹣7，其和为﹣16
故答案为C选项
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程中连续奇数或偶数等的运用，正确表示出各个数建立方程是关键
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小
方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小
数：若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5，理由见解析
【解析】
【分析】
设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x=-11，x=3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x(x+8)=65，
解得x=-13（舍去），x=5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）解读诗词 通过列方程算出周瑜去世时的年龄 ：大江东去浪淘尽，
千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得
快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字
小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时的年龄为 岁
【解析】
【分析】
设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 根据题意建立方程 求出其值即可．
【详解】
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 ，依题意得：
，
解得 ， ，
当 时， ，（不合题意，舍去），
当 时， （符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为 岁．
【点睛】
本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，
列出正确的方程是解题的关键．
◎题型5：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量
总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
【答案】A【解析】
【分析】
先求出每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，再根据“利润 （售价 进价） 每天
销量”建立方程即可得．
【详解】
解：由题意可知，当售价每千克降低 元时，每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，
则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键．
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期中）某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：
售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市
场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设这种螃蟹的售价上涨了 元，则每千克的销售利润为 元，每天可销售 千克，利用每
天的销售利润 每千克的销售利润 每天的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设这种螃蟹的售价上涨了 元，则每千克的销售利润为 元，每天可销售 千克，
依题意得： ．
故选：D
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．（2022·云南大理·九年级期末）某商场品牌童装每件进价 元，售价 元，平均每天可售出
件，为了迎接“元旦”商场采取了促销活动，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查，若每件童装降价
元，平均每天就可多售出 件，要使某商场每天盈利 元，那么每件童装应降价多少元？【答案】每件童装应降价 元
【解析】
【分析】
设每件童装应降价 元
每件利润 售出数量 每天盈利
降价前 100-60 20
降价后 100-60-x 20+2x （100-60-x）(20+2x)
根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设每件童装应降价 元，则
，
即： ，
解得： ， ，
尽快减少库存，
舍去 ．
答：每件童装应降价 元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键，注意一元
二次方程有两个解，要结合题意和实际情况，舍去不符合题意和不符合实际情况的解．
变式3．（2020·江西景德镇·九年级期中）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格
的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元，
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖
出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少
元？
【答案】(1)这两次价格上调的平均增长率为20％．
(2)应该降价3元．
【解析】【分析】
（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设降价y元，然后根据题意可列出方程进行求解．
(1)
解：设这两次价格上调的平均增长率为x，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：这两次价格上调的平均增长率为20％．
(2)
解：设降价y元，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵让顾客获得更大的优惠，
∴ ；
答：应该降价3元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
◎题型6：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程！
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q
分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q
移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 ，则点P运动的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解析】
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为 ，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面
积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为 ，
则BP为（4﹣ t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（4﹣ t）×t＝ ，
解得t＝3，t＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为 ．
故选B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 从点
开始沿 边向点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意 ， ，
，
，
，
解得 或5，
或 时， 的面积为 ．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，
中考常考题型．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从
点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2?
【答案】当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【解析】
【分析】
当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于
8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【详解】
解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，依题意得 ×2t(6－t)＝8，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t＝2，t＝4，
1 2
∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿
AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为
xs．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1）x的值为2或 ；（2）当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【解析】
【分析】
（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；
（2）直接利用S DPQ=S ABCD-S ADP-S CDQ-S BPQ，代入求出答案．
矩形
△ △ △ △
【详解】
解：（1）由题意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm， BQ=2x(cm)，
∵ ,
∴ ，
解得： ，∴x的值为2或 ；
（2）由题意可得：S DPQ=S ABCD-S ADP-S CDQ-S BPQ
矩形
△ △ △ △
=AB•BC- AD•AP- CD•CQ- BP•BQ
=6×12- ×12x- ×6（12-2x）- （6-x）•2x
=x2-6x+36=31，
解得：x=1，x=5，
1 2
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正确表示出三角形的各边长是解题关键．
◎题型7：工程问题
例．（2022·全国·九年级专题练习）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批
3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多
300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，
从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之
和，列出方程．
(1)
解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
(2)
解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子
由题意得：
整理得：
解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】
本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
变式1．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工
每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，
求a的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
【解析】
【分析】
（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为 千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工
和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可．
(1)
解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为 千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴ ，
解之得： ，
∴桥梁施工最多是4千米．
(2)
解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴ ，
解之得： ，
由题意可知：二季度平地施工里程为 千米，隧道施工里程为 千米，桥梁施工里程为 千
米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，
∵二季度总成本与一季度相同，
∴ ，
即 ，
解之得： （舍去）或 ，
故 ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数
量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解．
变式2．（2022·云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头
盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月
份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【解析】
【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
(1)
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)
解：设增加x条生产线．
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
变式3．（2022·福建·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活
污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙
方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所
治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了
12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；【答案】（1） ；（2） ，60家
【解析】
【分析】
（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而
求出答案；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．
【详解】
解：(1)由题意可得： ，
解得 ；
(2)由题意可得： ，
解得： ， （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为： （家）．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条
件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．
◎题型8：行程问题
例．（2019·天津·南开翔宇学校八年级阶段练习）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千
米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经
过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
【答案】A
【解析】【分析】
根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】
解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x＝x＝0.4．
1 2
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）小球以 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速， 后
小球停下来．小球滚动到 时约用了多少时间（精确到 ）？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得小球的平均速度，然后利用等量关系：速度×时间=路程，时间为x，则速度为5﹣1.25x．
【详解】
小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：
x• =5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2 ．
∵x＜4，∴x=4﹣2 ≈1.2．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动
减少的速度=（初始速度﹣末速度）÷时间．
变式2．（2019·河南·郑州四中实验学校九年级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．
设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【答案】（1）① ，② ；（2） 的值为0.1；（3）王老师这 的平均步长为0.5
米/步．
【解析】
【分析】
（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼
的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长
（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】
（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；
（2）根据题意得 ，
解得 （舍去）， .
则 的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，500÷（24000−23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
变式3．（2018·福建泉州·九年级期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设
计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 以顺时针、逆时针的方
向同时沿圆周运动.甲运动的路程 与时间 满足关系： （ ），乙以4 的速度匀
速运动，半圆的长度为21 ．
（1）甲运动4 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】（1）甲运动4 后的路程是14 ；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 ．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可；
（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．
【详解】
(1)当 时，
（ ），
答：甲运动4 后的路程是14 ；
（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 ，甲走过的路程为 ，乙走过的路程为
4 ，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者
走的总路程为半圆．
◎题型9：图标信息题
例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 度，
那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度 元
交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表
示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1) x（90－x）元
(2)50度
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度 元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，
即可求解．
（1）解：∵规定用电x度，∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，∵超过部分按每度 元交电费，
∴超过部分应交的电费为 x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解这个方程得x＝30，x＝50．根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，∴电厂规定的x≥45，∴x＝30不合
1 2 1
题意，舍去．∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用
水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【解析】
【分析】
（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴
纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；
（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
变式2．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当 时，请直接写出 的值；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，然后求解一元二次方程即可；
（2）根据题中计算图可得： ， 由 ，代入化简可得： ，求解方
程，然后代入 即可得．
【详解】
解：（1）由题意可得： ，
，
则 或 ，
解得 或 ；
（2）由题意得： ，
，
，
整理得： ，，
∴
则 或 ，
解得 或 ，
或 ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出 与 之间关系是解题关键．
变式3．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月
用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收 元
的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为
150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2） ，当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【解析】
【分析】
（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超
过了标准，超过标准的部分每吨需加收 元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月
份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解
析式求解即可．
【详解】
解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，所以需加收: (元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a＝100，a＝40，
1 2
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100） ＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数
关系式是解答本题的关键．
◎题型10：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）
技巧：循环问题：又可分为单循环问题 n(n-1)，双循环问题n(n-1).
例．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式
（每两队之间都赛一场），计划安排66场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝ x(x−1)，由此可得出方程．
【详解】
解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得 ，故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的
关系．
变式1．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单
循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
【详解】
设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式
为 n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程 n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝
－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：
(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？
【答案】(1)6
(2)错误，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解；
（2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可．
(1)
设这个多边形的边数是n，则 n（n－3）＝9，
解得n＝6或n＝－3（舍去）．
这个多边形的边数是6；
∴(2)
小明同学的说法是不正确的，
理由如下：由题可得 n（n－3）＝10，
解得n＝ ，
符合方程的正整数n不存在，
∴n边形不可能有10条对角线，
∴故小明的说法不正确．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是
解答本题的关键．
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）结合题意列出方程，并将其转化成一元二次方程的一般形式(不用
求解)．
（1）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，求矩形的长；
（2）在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送
了90张，求这个数学小组有多少名同学．
【答案】（1）x2－20x＋64＝0；（2）y²－y－90＝0
【解析】
【分析】
（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为 ，然后根据矩形的面积公式列出方程，最
后化为一般形式即可；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送 张，然后根据一共赠送了90张列出方程，
最后化为一般式即可．【详解】
解：（1）设矩形的长为x cm，则矩形的宽为 ，
由题意得 ，
；
（2）设这个数学小组有y名同学，则每个同学都要赠送 张，
由题意得
化成一般形式为 ．
【点睛】
本题主要考查了列一元二次方程和一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等
量关系列出方程．
