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专题 03 一元二次方程的实际应用
【思维导图】
◎题型1：传播问题
技巧：公式a(1+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平
均一个人可以传染 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
,
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程．变式1．（2022·浙江杭州·八年级期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患
新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．
【详解】
解：第一轮传染x个人，一轮后的人数为（1+x）人；
第二轮的人数为x(1+x)，
两轮的总人数为：1+x+x(1+x)=256，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
变式2．（2021·广东湛江·九年级期末）有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了12个人
(2)第三轮将又有2028人被传染
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，可求出x，
（2）由（1）所得可求出第三轮过后，又被感染的人数．
(1)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
（x＋1)2＝169．
解得 ， (舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人；
(2)解：由题意得：169×12＝2028(人)．
答：第三轮将又有2028人被传染．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）新冠肺炎是一种传染性很强的疾病．如果
某镇有一人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为
新冠病毒的携带者．
(1)每个人每轮传染多少人？
(2)若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有多少人成为新冠病毒的携带者？
【答案】(1)每个人每轮传染12人．
(2)共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【解析】
【分析】
（1）设每个人每轮传染x人，由题意可列方程进行求解；
（2）由（1）可直接进行求解．
(1)
解：设每个人每轮传染x人，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：每个人每轮传染12人．
(2)
解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；
答：若不控制传染渠道，经过三轮传染，共有2197人成为新冠病毒的携带者．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的传播问题是解题的关键．
◎题型2：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降
低率
例．（2020·江苏无锡·九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然
爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．则口罩日产量的月平均增长率为（ ）
A．8% B．10% C．15% D．20%
【答案】B
【解析】
【分析】
设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意列出方程20000（1＋x）2＝24200，求解即可．
【详解】
解：设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意舍去），
1 2
∴x＝10%．
∴口罩日产量的月平均增长率为10%．
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
变式1．（2022·云南红河·九年级期末）杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表
团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的
销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为
x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意先分别求得7月25日和7月26日的销量，进而利用7月25日和7月26日的总销量是30000个列
方程即可．
【详解】
解：由题意得：7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
则 ，故答案为：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
变式2．（2021·广西南宁·九年级期中）某工厂为了提高市场竞争力不断改进设备，2018年在改进设备方
面投入的资金是100万元，2020年投入的资金是121万元，且从2018年到2020年每年投入资金的年平均
增长率相同.
(1)求该工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率；
(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该厂在2021年需投入多少万元？
【答案】(1)10%
(2)133.1万元
【解析】
【分析】
（1）根据2020年投入的资金做等量关系列方程即可；
（2）根据（1）中的结论计算即可.
(1)
设工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率为 ，
则依题意得：
解得: (不合题意舍去).
∴ =0.1=10%.
答：工厂在改进设备方面投入资金的年平均增长率为10%
(2)
121+121×10%=133.1（万元）
答：该厂在2021年需投入133.1万元 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式3．（2021·四川成都·九年级期中）某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价
为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月
底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%
(2)该店应按原售价的九折出售
【解析】
【分析】
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据增长率公式列方程解答；
（2）设商品应降价x元，根据售价乘以数量列一元二次方程解答．
(1)
解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题
意可得： ，
解得： ， （不合题意舍去）
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)
设商品应降价x元，
根据题意，得 ，
化简，得 ，解得 ， ，
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元，
此时，售价为： （元）， ，
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率问题计算公式a（1+x）2=b，以及销售问题的计算
公式是解题的关键．
◎题型3：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿
混淆！
例．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另
外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80
【答案】A
【解析】
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期中）如图，在一幅
长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图
的面积为 cm2，设金色纸边的宽为x cm，则可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（长+2个纸边的宽度）×（宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】
解：设金色纸边的宽为xcm，
依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题
意列出方程是解题关键．
变式2．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为
18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
【答案】(1)（30－2x）
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
(1)
解：设垂直于墙的一边长为xm，
由图可得：平行于墙的一边长为（30−2x）m，
故答案为：30−2x；
(2)
解：根据题意得：x（30−2x）＝100，
∴x2−15x＋50＝0，因式分解得 ，解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；
∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，
答：x的值为10m．【点睛】
本题考查根据题意列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意、数形结合列出相应代数式及
方程．
变式3．（2022·湖南长沙·八年级期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，
另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
(1)鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
(2)鸡场的面积能达到 吗？为什么？
【答案】(1)面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米
(2)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
(1) 设鸡场的一边为xm，另外两边均为 m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
(2)根据题意得出方程， 求出其解的情况就可以得出结论；
(1)
设与墙平行的边的长是x米，
则 ，
整理得x2-40x+400=0，
解得：x=x=20，
1 2
解得 ，
即面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米．
(2)
由
得 ，此时 ，
所以面积不能达到 ．
【点睛】
本题考查了运用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用，一元二次方程根的判别式的运用，解答时
根据矩形的面积公式建立一元二次方程是关键．
◎题型4：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程
即可！
例．（2022·全国·九年级专题练习）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到
等量关系是解决本题的关键．
变式1．（2019·全国·九年级）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程求解即可
【详解】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以 ，解得 ，
；所以当 时，另一个数为9，其和为16，当 时，另一个为﹣7，其和为﹣16
故答案为C选项
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程中连续奇数或偶数等的运用，正确表示出各个数建立方程是关键
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小
方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小
数：若不能请说明理由．
【答案】最小的数是5，理由见解析
【解析】
【分析】
设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x=-11，x=3．由表格知不符合实际舍去；
1 2
由题意得x(x+8)=65，
解得x=-13（舍去），x=5，
1 2
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）解读诗词 通过列方程算出周瑜去世时的年龄 ：大江东去浪淘尽，
千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得
快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字
小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时的年龄为 岁
【解析】
【分析】
设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 根据题意建立方程 求出其值即可．
【详解】
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 ，依题意得：
，
解得 ， ，
当 时， ，（不合题意，舍去），
当 时， （符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为 岁．
【点睛】
本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，
列出正确的方程是解题的关键．
◎题型5：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量
总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2022·安徽合肥·八年级期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，
每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千
克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x元，可列方程为（
）
A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500
C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500
【答案】A【解析】
【分析】
先求出每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，再根据“利润 （售价 进价） 每天
销量”建立方程即可得．
【详解】
解：由题意可知，当售价每千克降低 元时，每千克的售价为 元，此时每天销量为 千克，
则可列方程为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键．
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期中）某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：
售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市
场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设这种螃蟹的售价上涨了 元，则每千克的销售利润为 元，每天可销售 千克，利用每
天的销售利润 每千克的销售利润 每天的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设这种螃蟹的售价上涨了 元，则每千克的销售利润为 元，每天可销售 千克，
依题意得： ．
故选：D
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．（2022·云南大理·九年级期末）某商场品牌童装每件进价 元，售价 元，平均每天可售出
件，为了迎接“元旦”商场采取了促销活动，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查，若每件童装降价
元，平均每天就可多售出 件，要使某商场每天盈利 元，那么每件童装应降价多少元？【答案】每件童装应降价 元
【解析】
【分析】
设每件童装应降价 元
每件利润 售出数量 每天盈利
降价前 100-60 20
降价后 100-60-x 20+2x （100-60-x）(20+2x)
根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设每件童装应降价 元，则
，
即： ，
解得： ， ，
尽快减少库存，
舍去 ．
答：每件童装应降价 元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键，注意一元
二次方程有两个解，要结合题意和实际情况，舍去不符合题意和不符合实际情况的解．
变式3．（2020·江西景德镇·九年级期中）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格
的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元，
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖
出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少
元？
【答案】(1)这两次价格上调的平均增长率为20％．
(2)应该降价3元．
【解析】【分析】
（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设降价y元，然后根据题意可列出方程进行求解．
(1)
解：设这两次价格上调的平均增长率为x，由题意得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
答：这两次价格上调的平均增长率为20％．
(2)
解：设降价y元，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵让顾客获得更大的优惠，
∴ ；
答：应该降价3元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
◎题型6：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列
方程！
例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q
分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q
移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 ，则点P运动的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解析】
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为 ，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面
积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为 ，
则BP为（4﹣ t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（4﹣ t）×t＝ ，
解得t＝3，t＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为 ．
故选B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 从点
开始沿 边向点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意 ， ，
，
，
，
解得 或5，
或 时， 的面积为 ．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，
中考常考题型．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从
点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0
