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专题 02 一元二次方程的解法（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·湖南株洲·九年级期末）方程 的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．
【详解】
解： ，
移项得 ，
系数化1得 ，
开方得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的
关键．
2．(本题4分)（2021·河南周口·九年级期中）如果 是方程 的一个根，则这个方程的其它根是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
将 代入方程得出 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【详解】
解：将 代入方程，得： ，
解得 ，
方程为 ，
则 ，
或 ，
即这个方程的另一个根为 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
3．(本题4分)（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（ ）
A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12
C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
移项，再配方，即可得出选项．
【详解】
解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
配方，得x2-4x+4=-1+4，
即（x-2）2=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）已知某一元二次方程的两根为 ，则此方
程可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．
【详解】
解：A. 的两根为 ，故选项A不符合题意；
B. 的两根为 ，故选项B不符合题意；
C. 的两根为 ，故选项C不符合题意；
D. 的两根为 ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．
5．(本题4分)（2022·湖北宜昌·九年级期末）方程 的根是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用因式分解求解一元二次方程即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ 或 ，∴ 或 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．(本题4分)（2020·黑龙江·集贤县第七中学九年级期中）已知 则 的值为
（ ）
A． 或3 B． C．3 D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
设 =a，则原方程可化为（a+1）（a-3）=0，解方程求出a即可．
【详解】
解：设 =a，则原方程可化为（a+1）（a-3）=0，
解得a=-1，a=3，
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∵ 0，
∴ =3，
故选：C．
【点睛】
此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解题意设 =a由此解方程是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·河南开封·二模）关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范
围为______．
【答案】 且 ## 且
【解析】【分析】
根据一元二次方程实数根的情况与判别式的关系列不等式求解即可．
【详解】
解：根据题意得， ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程实数根的情况与根的判别式的关系．注意：一元二次方程存在的条件是二次项系
数不等于0．
8．(本题5分)（2022·全国·九年级单元测试）关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则
m的值为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
， ， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9．
【点睛】
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
9．(本题5分)（2022·山东济南·八年级期末）若 ， 为一元二次方程 的两个实数根，则
的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】将 利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求
得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解．
【详解】
解：∵ ， 为一元二次方程 的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关
系是解本题的关键．
10．(本题5分)（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知 、 是一元二次方程 的
两实数根，则代数式 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据根与系数的关系求出 ， ，然后把 转化为
，最后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵ 、 是一元二次方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了代数式求值、完全平方公式、一元二次方程 的根与系数的关系：若方程的
两根为 ， ，则 ， ，采用了恒等变换和整体代入的思想方法．理解和掌握一元二
次方程根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·北京平谷·八年级期末）解方程：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
（1）移项后，直接开平方得出结果．
（2）用因式分解法可以得出结论．
（1）解： 直接开平方得： 解得： ， ．
（2）解： 因式分解得： 解得： ， ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的几种常见解法：开平方法，分解因式法；掌握概念并熟练运用是解题的关键．
12．(本题10分)（山东省泰安市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）按照指定方法解下列方程：
(1) （公式法）；(2) （配方法）；
(3) （因式分解法）．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【解析】
【分析】
（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
（1）解： ， ， ， ， ，
；
（2）解：方程整理得： ，配方得： ，即 ，开方得：
，解得： ， ；
（3）解：方程整理得： ，分解因式得： ，可得 或 ，
解得： ， ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．(本题12分)（2020·辽宁锦州·九年级期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．
解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，
（y＋2）2≥0，
（y＋2）2＋4≥4
y²＋4y＋8的最小值是4
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）3；（2） ，有最小值为4
【解析】
【分析】
（1）利用配方法把 化为 ，根据平方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原始变形，根据平方的非负性解答即可．
【详解】
（1） ，
，
的最小值为3；
（2） ，
，
，
当 ，即 时，有最小值为4．
【点睛】
本题考查配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
14．(本题12分)（2020·江西景德镇·九年级期中）已知关于x的方程 ．
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1时，求a的值．
【答案】(1) <
(2)a=1
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式求出a的范围即可．
（2）把x=1带入原方程中求出a的值即可．
(1)
∵方程有两个不相等的实数根
∴△>0
即
(2)
把x=1带入 得
∴a的值是
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
15．(本题12分)（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根 满足 ，求m的值．【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）证明 即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得 ，xx＝2m﹣1，再利用完全平方公式将
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变形为 ，代入求解即可．
（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m
﹣2）2+4．∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0．∴无论m为任何实数，方程总有两
个不相等的实数根；
（2）解：由 可得 ，∵ ，xx＝2m﹣1，∴
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，即m2﹣4m+8＝4，解得m＝m＝2，∴
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当x﹣x＝2时，m的值是2．
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【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，
方程有两个不相等的实数根，当Δ=0，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程无实数根．
