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期中期末考前基础练练练-一元二次方程（38题）
一、单选题
1．一元二次方程 x2−x−2=0 的解是（ ）
A．x＝1，x＝2 B． x＝－1，x＝-2
1 2 1 2
C． x＝－1，x＝-2 D．x＝－1，x＝2
1 2 1 2
【答案】D
【解析】【解答】x2－x－2＝0，（x－2）（x＋1）＝0，解得：x＝－1，x＝2，故答案选D.
1 2
【分析】利用因式分解法把x2－x－2＝0转化为（x－2）（x＋1）＝0，解得：x＝－1，x＝2。
1 2
2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+4=0，
∴△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴方程有两相等实数根．
故选：C．
【分析】把a=1，b=﹣4，c=4代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情
况．
3．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（ ）
9 4 4 9
A．c≤ B．c≤ C．c≥ D．c≥
4 9 9 4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，
9
解得：c≤ ，
4
故答案为：A．
【分析】由方程x2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式
即可得到c的取值范围．
4．方程 2x2−6x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．6,2,9 B．2, −6 ,9
C．2,6,9 D．2, −6 , −9
【答案】D【解析】【解答】解：∵方程2x2-6x=9化成一般形式是2x2-6x-9=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-9．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程各项及各项系数的定义求解即可。
5．方程（x+1）2=4的解是（ ）
A．x=﹣3，x=3 B．x=﹣3，x=1
1 2 1 2
C．x=﹣1，x=1 D．x=1，x=3
1 2 1 2
【答案】B
【解析】【解答】（x＋1）2＝4
则x＋1＝±2，
解得：x＝−1-2＝-3，x＝−1+2＝1．
1 2
故答案为：B．
【分析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
6．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为( )
A．（x+2）2=9 B．（x-2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x-1）2=6
【答案】D
【解析】【分析】在本题中，把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的
平方．
【解答】移项得，x2-2x=5，
配方得，x2-2x+1=5+1，
即（x-1)2=6，
故答案为（x-1)2=6．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x²-16x+60=0的一个实数根，则该
三角形的面积是( )
A．24或2 √5 B．24 C．8 √5 D．24或8 √5
【答案】D【解析】【解答】 x²-16x+60=0 ,
(x-6)(x-10)=0，解得x=6或x=10，
当x=6时，该三角形是以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴底边上的高h=√62−42=2√5，
1
∴三角形的面积为： ×8×2√5=8√5.
2
当x=10时，三角形的三边为6，8，10，
∵62+82=102，
∴该三角形是以6,8为直角边的直角三角形，
1
∴三角形的面积为 ×6×8=24，
2
∴三角形的面积为24或8√5.
【分析】利用因式分解法求出方程的根x=6或x=10，分两种情况讨论，①当第三边长为6时，②当
第三边长为8时，分别求出三角形的面积即可.
8．若一元二次方程x2﹣2x﹣2015=0的两根为a，b，则a2﹣3a﹣b的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【答案】B
【解析】【解答】解：∵a为方程x2﹣2x﹣2015=0的根，
∴a2﹣2a﹣2015=0，
∴a2=2a+2015，
∴a2﹣3a﹣b=2a+2015﹣3a﹣b=2015﹣（a+b），
∵a、b为方程x2﹣2x﹣2015=0的两根，
∴a+b=2，
∴a2﹣3a﹣b=2015﹣（a+b）=2015﹣2=2013．
故选B．
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a2=2a+2015，则a2﹣3a﹣b可化简为2015﹣（a+b），
再利用根与系数的关系得到a+b=2，然后利用整体代入的方法计算．
9．一元二次方程x2-3x=0的解是( )
A．x=0 B．x=3 C．x=0或x=3 D．x=0或x=-3
【答案】C
【解析】【解答】解：x（x-3）=0解得，x=0，x=3
1 2
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用提公式法因式分解，计算得到方程的根即可。
10．方程2x2=3(x-6)化为一般式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( )
A．2、3、-6 B．2、-3、18 C．2、-3、6 D．2、3、6
【答案】B
【解析】【分析】一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，
c为常数项.
2x2=3(x-6)
2x2-3x+18=0
则二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、-3、18
故选B.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元二次方程的一般式，即可完成.
11．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程变形为( )
A．(x−2) 2=9 B．(x+2) 2=7 C．(x−2) 2=4 D．(x+2) 2=1
【答案】A
【解析】【解答】x2﹣4x﹣5＝0
x2−4x+4−9=0
(x−2) 2=9
故答案为A.
【分析】首先观察二次项和一次项，用4进行配方法，然后即可得解.
12．方程
(m−2)xm2+m−4−mx+5=0
是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3
【答案】A
{ m−2≠0
【解析】【解答】依题意可得
m2+m−4=2
解得m=-3
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义得出即可求出M的值。13．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为( )
A．（x-4）2=9 B．（x+4）2=9 C．（x+8）2=16 D．（x-8）2=16
【答案】B
【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．
【解答】方程移项得：x2+8x=-7，
配方得：x2+8x+16=9，即（x+4)2=9．
故答案为：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
1
14．方程4x2-2x+ =0根的情况是( ）
4
A．有两个相等的实数根 B．方程根的情况不能确定
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
1
【解析】【解答】解：a=4,b=-2,c= ，
4
1
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×4× =0
4
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为:A.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程
有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
15．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根为0，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．﹣1或1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根为0，
∴|a|﹣1=0，且a﹣1≠0，
解得 a=﹣1．
故选：B．
【分析】已知一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．
二、填空题
16．已知x=1是一元二次方程x2﹣4x+k=0的一个根，则k= ．
【答案】3【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2-4x+k=0得1-4+k=0，
解得k=3．
故答案为：3．
【分析】根据题意求出1-4+k=0，再解方程即可。
17．甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为
−3 和 5 ，乙把常数项看错了，而解得两根为 2+√5 和 2−√5 ，则原方程是 .
【答案】x2-4x-15=0
【解析】【解答】解：设原方程是x2+bx+c=0，
∵已知中甲因把一次项系数看错了，故常数项正确；
∴c=-3×5=-15，
∵乙把常数项看错了，故一次项正确；
∴-b=2+ √5 +2- √5 =4，
∴b=-4，
∴原方程是x2-4x-15=0，
故答案为：x2-4x-15=0.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，由甲把一次项系数看错可求出常数C，由乙把常数
项看错求出一次项系数b，从而确定方程.
b
18．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是 m+2 与 2m−5 ，则 = .
a
【答案】9
b √b
【解析】【解答】 x2= ,x=± , 所以这两个解互为相反数，即m+2+2m-5=0，解得m=1,∴这两
a a
b
个根为±3，所以 =9.
a
故答案为9.
【分析】本题利用直接开平方法求出解互为相反数，从而解出m的值，得出所求的值即可.
19．如果等腰三角形的每条边长都是方程x2﹣5x+4=0的解，那么它的周长为
【答案】9
【解析】【解答】解：x2﹣5x+4=0
（x-4）(x-1)=0
解得：x=4,x =1
1 2
∵等腰三角形的每条边长都是方程x2﹣5x+4=0的解，
∴等腰三角形的三边可能是4,4,1或1,1,4（不满足三边关系,舍）∴这个三角形的周长是4+4+1=9
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理确定出
此等腰三角形的三边长，然后求出三角形的周长。
20．若x=1是一元二次方程x2-2x-m=0的一个根，则m =
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ x=1是一元二次方程x2-2x-m=0的一个根.
∴1-2-m=0
解之：m=-1.
故答案为：-1.
【分析】将x=1代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
21．把代数式 x2−4x+1 化成 (x−ℎ) 2+k 的形式，其结果是 ．
【答案】(x−2) 2−3
【解析】【解答】解： x2−4x+1 = x2−4x+4﹣3 = (x−2) 2−3 .
故答案为 (x−2) 2−3 .
【分析】利用配方法求解即可.
22．若关于x的一元二次方程 x2−3x−3m=0 没有实数根，则m的取值范围为 ．
3
【答案】m<−
4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 x2−3x−3m=0 没有实数根．
∴△<0 ，即 (−3) 2−4×1⋅(−3m)<0 ，
3
解得 m<− ，
4
3
故答案为： m<− ．
4
【分析】根据一元二次方程没有实数根求出(−3) 2−4×1⋅(−3m)<0，再计算求解即可。
23．代数式2x2﹣3x﹣1的最小值为 .
17
【答案】-
8
【解析】【解答】解：2x2﹣3x﹣13 9 9
＝2（x2﹣ x+ ）﹣ ﹣1
2 16 8
3 17
＝2（x﹣ ）2﹣
4 8
3
∵2（x﹣ ）2≥0，
4
17
∴2x2﹣3x﹣1的最小值是﹣ ，
8
17
故答案为：﹣ .
8
【分析】把代数式2x2﹣3x﹣1进行配方，根据偶数次幂的非负性，即可求解.
24．若m是方程x2+3x-2=0的一个根则3m2+9m+2021的值是 。
【答案】2027
【解析】【解答】把x=m代入方程得 m2+3m-2= 0，即得m2+3m=2，
∴3m2+9m+2021 =3（m2+3m）+2021=3×2+2021=2027.
【分析】利用方程根的定义，把x=m代入方程得m2+3m=2，将原式变形为3（m2+3m）+2021，然
后代入计算即可.
25．方程x2﹣2x﹣3=0的一个实数根为m，则m2﹣2m+2013= ．
【答案】2016
【解析】【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3=0，
解得，m2﹣2m=3，
∴m2﹣2m+2013=2013+3=2016，
故答案是：2016．
【分析】把x=m代入已知方程可以求得m2﹣2m=3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．
三、解答题
26．解方程：x2-6x+5=0
【答案】解：x2-6x+5=0
(x-5)(x-1)=0
x=5、x=1
1 2
【解析】【分析】观察方程的特点可用因式分解法求解，尝试用十字相乘法因式分解，进而求解.
27．若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三
边，证明此三角形是等腰三角形.
【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可.
28．已知关于x的方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0，m取何值时，它是一元二次方程？
【答案】解：∵方程（m+1）x2+（m﹣3）x﹣（2m+1）=0是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，即m≠﹣1．
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，列出不等式m+1≠0，求出m的取值范围即可．
1 1
29．设 α,β 是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求 + 和 α2β+αβ2 的值.
α β
【答案】解：由韦达定理，得 α+β=−2,αβ=−9
1 1 α+β −2 2
∴ + = = =
α β αβ −9 9
α2β+αβ2=αβ(α+β)=−9×(−2)=18
2
故答案为 ，18
9
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到 α+β=−2,αβ=−9 ，根据
1 1 α+β
+ = ， α2β+αβ2=αβ(α+β) ，代入即可求代数式的值.
α β αβ
30．现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方
形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．
【答案】设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=56，整理得：（x-3）（x-12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
【解析】【分析】设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
31．2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年
12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及
已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，
其中6128人死亡．感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均
1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病．
（1）求x的值；
（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？
【答案】解：（1）设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x
（x+1）+x+1人感染，
由题意得：x（x+1）+x+1=81，
即：x=8，x=﹣10（不符合题意舍去）．
1 2
所以，每轮平均一人传染8人．
（2）三轮感染后的人数为：81+81×8=729．
∵729＞700，
∴3轮感染后，被感染的人数会超过700人．
【解析】【分析】（1）设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那
么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染共有81人被感染，以经过两轮传染
后被传染的人数相等的等量关系，列出方程求解；
（2）利用（1）中所求得出三轮感染后，患病的人数即可．
32．阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x，x，存在如下关系：x+x
1 2 1 2
b c
＝ − ，xx＝ ．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x，x，不解方
a 1 2 a 1 2
程，求下列式子的值：2x2+4x 2+5x ．
1 2 1
【答案】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x，x，
1 2
∴2x2﹣5x﹣3＝0，2x2﹣5x﹣3＝0，即2x2＝5x+3，2x2＝5x+3，
1 1 2 2 1 1 2 2
∴原式＝5x+3+2（5x+3）+5x ＝10（x+x ）+9，
1 2 1 1 25 5
∵x+x ＝ ，∴原式＝10× +9＝34．
1 2 2 2
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x 与x 的等式，然后代入所求式子降次化
1 2
简后可得关于x+x 的式子，由阅读材料可得x+x 的值，再整体代入计算即可．
1 2 1 2
33．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边
长
【答案】3
【解析】【解答】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三
边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的
值进行计算
34．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两
条边长，求此等腰三角形的周长．
【答案】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，
解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x=2，x=6，
1 2
∵2+2=4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14
【解析】【分析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，
将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得
出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
四、综合题
35．用适当的方法解方程：
（1）x2-3 √2 x=0
（2）（2+x）2-9=0．
【答案】（1）解：分解因式得：x（x-3 √2 ）=0，
解得：x=0，x=3 √2
1 2（2）解：方程整理得：（x+2）2=9，
开方得：x+2=3或x+2=-3，
解得：x=1，x=-5．
1 2
【解析】【分析】运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
36．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．
5±√21
【答案】（1）解： Δ =25-4×1×1=21，则x= .
2
5+√21 5−√21
x = ,x =
1 2 2 2
（2）解：3（x﹣2）2-x（x-2）=0
（x-2）[3（x-2）-x]=（x-2）（2x-6）=0
x=2，x=3
1 2
【解析】【分析】运用公式法、提公因式法解一元二次方程。
37．已知关于x的方程 mx2−(2m+1)x+2=0(m≠0) ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：由题意，得 Δ=[−(2m+1)] 2−4×m×2
=(4m2+4m+1)−8m
=4m2−4m+1
=(2m−1) 2 ．
∵不论m为何实数， (2m−1) 2≥0 恒成立，即 Δ≥0 恒成立，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：此题答案不唯一
由求根公式，得
(2m+1)±√(2m−1) 2
x = ，
1,2 2m
1
∴原方程的根为 x =2,x = ．
1 2 m∵方程的两个根都是正整数，
∴取 m=1 ，
此时方程的两根为 x =2,x =1 ．
1 2
【解析】【分析】（1）根据题意证明△≥0即可；（2）利用求根公式，结合根为正整数即可得到m
的值，故可求解．
38．关于x的一元二次方程 x2+2x+k−1=0 有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4(k−1)>0 ，
=8－4k >0.，
∴k<2
（2）解：∵k为正整数，
∴k=1，
解方程 x2+2x=0 得，
x =0,x =−2
1 2
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可，
39．已知关于x的一元二次方程 x2−(k+1)x+2k−2=0 .
（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根.
（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值.
【答案】（1）证明： x2−(k+1)x+2k−2=0
a=1,b=−(k+1),c=2k−2 ,
∵Δ=[−(k+1)] 2−4(2k−2)
=k2+2k+1−8k+8
=k2+6k+9
=(k+3) 2≥0 ,
∴无论k为何值时，该方程总有实数根；
（2）解：x＋x＝k＋1，xx＝2k－2，
1 2 1 2x2＋x2＝（x＋x）2－2xx＝（k＋1）2－4k＋4＝k2－2k＋5＝5，
1 2 1 2 1 2
解得k＝0，k＝2.
1 2
【解析】【分析】（1）只需要证明 Δ=b2−4ac≥0 即可得出无论k为何值时，该方程总有实数根；
（2）根据根与系数关系得出 x＋x＝k＋1，xx＝2k－2，根据方程两个实数根平方和等于5列出方
1 2 1 2
程后利用完全平方公式恒等变形后整体代入即可得出k的值.
40．关于x的一元二次方程 x2−2(m+1)x+m2+5=0 有实根
（1）求m的取值范围；
（2）已知 ΔABC 等腰的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求 ΔABC 的周长.
【答案】（1）解：依题意得： Δ=[−2(m+1)] 2−4(m+5)≥0 ，
∴8m−16≥0 ，
∴m≥2 ，
所以m的取值范围是 m≥2 ；
（2）解：由题意得： Δ=[−2(m+1)] 2−4(m+5)=0 ，
∴m=2 ，
此时方程 x2−6x+9=0 ，
解得： x =x =3 ，
1 2
∵3+3>4 ，
所以3,3,4能构成等腰三角形.
所以周长为10.
【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据等腰三角形的性质和判别式的意义得到△＝4（m＋1）2−4（m2＋5）＝0，解得m＝2，此
时方程为x2−6x＋9＝0，然后解方程后计算三角形的周长.
