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九年级上期中测试卷（A）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x＝5 B．x ＝ ，x ＝﹣ C．x ＝0，x ＝5 D．x ＝x ＝﹣
1 2 1 2 1 2
【分析】利用提取公因式法进行因式分解，再将原方程转化为两个一元一次方程并求解即可．
【解答】解：∵x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x ＝0，x ＝5．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．（3分）已知m＞n，则不等式组 的解集为（ ）
A．x＞m+n B．x＞m﹣n C．无法确定 D．无解
【分析】由m＞n，无法判断m+n与m﹣n的大小，从而得出答案．
【解答】解：∵m＞n，∴无法判断m+n与m﹣n的大小，
则不等式组的解集无法确定，
故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）将抛物线y＝2x2向下平移2个单位，得到抛物线解析式是（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2（x﹣2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2
【分析】根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出解析式．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移2个单位抛物线变为y＝2x2﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，难度适中．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【分析】把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0即可得到a的值．
【解答】解：把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
所以a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
6．（3分）三角形的两边长分别为3和6，它的第三边长度为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长
为（ ）
A．10 B．14 C．13 D．10或13
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系确定符合条件的x的值，继而求
出周长．
【解答】解：∵x2﹣5x+4＝0，
∴（x﹣1）（x﹣4）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4，
当x＝1时，三边长度为1、3、6，由1+3＜6知不能构成三角形，此情况不符合题意；
当x＝4时，三边长度为3、4、6，符合三角形三边长度关系，此时周长为3+4+6＝13，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法和三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的几
种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．7．（3分）抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，∠OAC＝60°，则下列各式成
立的是（ ）
A．b+ a﹣3＝0 B．b﹣ a+3＝0 C．a+ b﹣3＝0 D．
【分析】根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC＝ m，由此可求出a和b，再结合各个选项得出
结论即可．
【解答】解：根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC＝ m，
∴A（m，0），C（0，﹣ m），
∴ ，解得 ，
①× +②，得， a+b＝3（ ＜a＜2 ）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含 30度的直角三角形等知识，设出参数表
达m，关键是用m表达a和b，再消去m．
8．（3分）某种植物主干长出若干数目的支干，每个支干长出相同数目的分支，主干、分支、小分支的总
数241，求每个支干长出多少个分支？若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是（ ）
A．1+x+x（x+1）＝241 B．1+x+x2＝241
C．1+（x+1）+（x+1）2＝241 D．1+（x+1）+x2＝24
【分析】植物有1个主干，1个主干有x个分支、x个分支有x2个小分支，根据题意列出算式即可．
【解答】解：设主干有x个分支，则小分支有x2个，依据题意，得
1+x+x2＝241，
故选：B．
【点评】本题要注意读清题意，弄清楚分支与小分支间的关系．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．
【解答】解：∵A（﹣1，2），
∴OA＝ ＝ ，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝ ，
∴B（﹣ ，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA
即可．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝mx+m经过
的象限确定m的正负，对比后即可得出结论．
【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；
A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象
限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意；
C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图象找出每个选
项中m的正负是解题的关键．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）若点A（3，a）、B（b，﹣2）两点关于平面直角坐标系的原点对称，则a+b＝ ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（3，a）、B（b，﹣2）两点关于平面直角坐标系的原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
12．（4分）计算（2 +1）（2 ﹣1）的结果等于 ．
【分析】根据平方差公式，可以解答本题．
【解答】解：（2 +1）（2 ﹣1）
＝（ ）2﹣12
＝12﹣1
＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解
答．
13．（4分）因式分解：m3﹣n2m＝ ．
【分析】首先提取公因式m，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（m2﹣n2）
＝m（m+n）（m﹣n）．
故答案为：m（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（4分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转42°得到△ODC，点D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，则
∠B度数是 ．【分析】由旋转性质可知∠AOD＝∠BOC＝42°，结合∠AOC＝108°可推出∠BOD＝24°，从而∠AOB＝
66°．又AO＝DO，由等腰三角形性质可得∠A＝69°，最后利用三角形内角和公式可得∠B的度数．
【解答】解：由旋转性质可知，∠AOD＝∠BOC＝42°，
又∵∠AOC＝108°，
∴∠BOD＝108°﹣∠AOD﹣∠BOC＝108°﹣42°﹣42°＝24°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝42°+24°＝66°，
∵AO＝DO，
∵∠A＝∠ADO＝（180°﹣42°）÷2＝69°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣69°﹣66°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和公式，证明△ADO为等腰
三角形是解题的关键．
15．（4分）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴ ＝0，
解得m＝﹣2或 ．
故答案为：﹣2或 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点坐标公式并列出方程是解题的关键．
16．（4分）已知（﹣1，y ），（﹣2，y ），（﹣4，y ）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y 、y 、y
1 2 3 1 2 3
的大小关系为 ．
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∵a＝﹣2＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为y ＜y ＜y ．
3 1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称
轴是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，
AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连
接DE，DE交AC于点F，则AF的长为 cm．
【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角
三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出答案．
【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝ ＝3 cm，
在Rt△AFG中，GF＝ ＝ cm，AF＝2FG＝2 cm，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作
适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．（6分）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x+5）2＝x（x+5）
（2）2x2﹣1﹣3x＝0
【分析】先观察再确定方法解方程，（1）先移项，再提取公因式，（2）利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）2（x+5）2＝x（x+5），
移项提取公因式x+5得（x+5）（x+10）＝0，
解得x＝﹣5或﹣10；
（2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1
∴x＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因
式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解
一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，
此法适用于任何一元二次方程．
19．（6分）阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设原方程的根为x ，x 则新方程的根为2x ，2x ．
1 2 1 2
因为x +x ＝﹣1，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
所以2x +2x ＝2（x +x ）＝2×（﹣1）＝﹣2．
1 2 1 2
2x •2x ＝4x x ＝4×（﹣1）＝﹣4．
1 2 1 2
所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．
请用阅读材料提供的方法求新方程．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程
为 ．
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．
【分析】（1）设原方程的根为x ，x ，则新方程的根为﹣x ，﹣x ．根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣
1 2 1 2 1 2
1，x •x ＝﹣2，然后计算﹣x +（﹣x ）和（﹣x ）•（﹣x ）的值，从而得到新方程；
1 2 1 2 1 2（2）设原方程的根为x ，x ，则新方程的根为 ， ，根据根与系数的关系得到x +x ＝ ，x •x ＝
1 2 1 2 1 2
﹣ ，再然后分别计算出 + 和 • 的值，从而得到所求新方程．
【解答】解：（1）设原方程的根为x ，x ，则新方程的根为﹣x ，﹣x ．
1 2 1 2
因为x +x ＝﹣1，x •x ＝﹣2，
1 2 1 2
所以﹣x +（﹣x ）＝﹣（x +x ）＝﹣1×（﹣1）＝1．
1 2 1 2
（﹣x ）•（﹣x ）＝x x ＝﹣2，
1 2 1 2
所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；
故答案为x2﹣x﹣2＝0；
（2）设原方程的根为x ，x ，则新方程的根为 ， ，
1 2
因为x +x ＝ ，x •x ＝﹣ ，
1 2 1 2
所以 + ＝ ＝ ＝﹣3，
• ＝ ＝ ＝﹣2，
所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x +x
1 2 1 2
＝﹣ ，x x ＝ ．
1 2
20．（6分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商 1至3月份统
计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月平均增长率
相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．
【分析】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2＝3
月份的销售量，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，
根据题意列方程：150（1+x）2＝216，
解得：x ＝﹣220%（不合题意，舍去），x ＝20%．
1 2
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率是20%．
【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找出等量关系准确地列出方程是解决
问题的关键．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．
（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）在平面直角坐标系中，过点A 的直线l将四边形BB C C分成面积相等的两部分，请直接写出直线
2 1 1
l的函数表达式 ．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A B C ；
1 1 1
（2）根据旋转的性质即可画出△A B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）根据过点A 的直线l将四边形BB C C分成面积相等的两部分，进而可以写出直线l的函数表达式．
2 1 1
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）△A B C 如图所示，A 的坐标为（﹣2，﹣2）；
2 2 2 2（3）在平面直角坐标系中，
∵过点A （﹣2，﹣2）和（0，2）的直线l将四边形BB C C分成面积相等的两部分，
2 1 1
∴直线l的函数表达式y＝2x+2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求
一次函数解析式，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
22．（8分）如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段BP绕点P按逆时
针方向旋转60°至PQ的位置．
（1）求证：△ABP≌△CBQ；
（2）求∠BPC的度数．
【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2））由△ABP≌△CBQ，推出PA＝QC＝5，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°，推出△PBQ是等边三角形，
由PQ＝3，∠BPQ＝60°，在△PQC中，PC2+PQ2＝43+32＝52＝QC2，推出△PQC是直角三角形，推出
∠QPC＝90°，即可得出∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝150°．
【解答】（1）证明：∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS）；
（2）解：∵△ABP≌△CBQ，
∴PA＝QC＝5，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝3，∠BPQ＝60°，
∵在△PQC中，PC2+PQ2＝42+32＝52＝QC2，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠QPC＝90°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，熟记性质与等边三角形
的判断方法是解题的关键．
23．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3．
（1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式．
（2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标．
（3）已知点P（x ，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x ＜1，且m＞n，求x 的取值范围
0 0 0
（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）将点（﹣1，4），即可求该二次函数的表达式
（2）将2a+b＝3代入二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y＝[ax2+（3﹣2a）
x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2，可知恒过点（1，2）；
（3）通过y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，可求得对称轴为x＝﹣ ，因为x ＜1，且m＞n，所以只需判
0
断对称轴的位置即可求x 的取值范围．
0
【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3，∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为y＝3x2﹣3x﹣2；
（2）∵2a+b＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，
整理得，y＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2
∴当x＝1时，y＝﹣2，
∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，﹣2）；
（3）∵y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，
∴对称轴为x＝﹣ ，
∵x ＜1，且m＞n，
0
∴当a＞0时，对称轴x＝﹣ ＞1﹣ ，
解得：x ＜1﹣ ，
0
当a＜0时，对称轴x＝﹣ ＜1﹣ ，
解得：x ＞1﹣ （不符合题意，故x 不存在）
0 0
故x 的取值范围为：x ＜1﹣ ．
0 0
【点评】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数
法是解题的关键．
五．解答题（共2小题，满分10分）
24．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售
单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表
示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：
销售单价（元） 40+x销售量y（件）
销售玩具获得利润W（元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件
的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量为（600﹣10x）件，销售玩具获
得利润为﹣10x2+500x+6000；
（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；
（3）根据题意得方程组，求得4≤x≤6，根据二次函数的性质得到当4≤x≤6时，y随x增大而增大，
于是得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，
销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；
故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；
（2）列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，
解得：x ＝10，x ＝40．
1 2
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，
根据题意得 ，
解得：4≤x≤6，
W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，
∴当4≤x≤6时，y随x增大而增大，
∴当x＝6时，W最大值 ＝8640（元），
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，
特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接
BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；
（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，即可求函数解析式；
（2）求出C（0，5），D（2，9），即可求CD的长；
（3）先求直线BC的解析式为y＝﹣x+5，过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，设E（t，﹣t2+4t+5），
则F（t，﹣t+5），则S△BCE ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，所以当t＝ 时，S△BCE 有最大值 ；
（4）设Q（m，n），分三种情况讨论：①当BD为平行四边形对角线时，BD的中点（ ， ），CQ
的中点（ ， ），由中点重合可得Q（7，4）；②当BC为平行四边形对角线时，BC的中点（ ，
），DQ的中点（ ， ），由中点重合可得Q（3，﹣4）；③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（ ， ），CD的中点（1，7），由中点重合可得Q（﹣3，14）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+4x+c，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x2+4x+5；
（2）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∴CD＝2 ，
故答案为：2 ；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x+5，
过点E作EF⊥x轴交直线BC于点F，
设E（t，﹣t2+4t+5），则F（t，﹣t+5），
∴EF＝﹣t2+5t，
∴S△BCE ＝ ×5×（﹣t2+5t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，S△BCE 有最大值 ；
（4）设Q（m，n），
①当BD为平行四边形对角线时，
BD的中点（ ， ），CQ的中点（ ， ），
∴ ＝ ， ＝ ，∴m＝7，n＝4，
∴Q（7，4）；
②当BC为平行四边形对角线时，
BC的中点（ ， ），DQ的中点（ ， ），
∴ ＝ ， ＝ ，
∴m＝3，n＝﹣4，
∴Q（3，﹣4）；
③当BQ为平行四边形对角线时，
BQ的中点（ ， ），CD的中点（1，7），
∴ ＝1， ＝7，
∴m＝﹣3，n＝14，
∴Q（﹣3，14）；
综上所述：Q点坐标为（7，4）或（3，﹣4）或（﹣3，14）．
【点评】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是
解题的关键．
