文档内容
第 08 讲 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
（2 个知识点+2 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1：二次函数 的图象和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y
a0 向上 h，0 x=h
随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0．
xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y
a0 向下 h，0 x=h
随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0．
知识点2：二次函数 的图象和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y
a0 向上 h，k x=h
随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k．
xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y
a0 向下 h，k x=h
随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k．
要点归纳：
y a(xh)2+k(a≠0）
二次函数 的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，
借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
题型强化
题型一、y=a（x-h）²的图象和性质
1．（22-23九年级上·广西贺州·期中）二次函数 的开口方向是 ．
【答案】向下
【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质【分析】本题考查了二次函数的性质，当 时，开口向上，当 时，开口向下．根
据二次项系数的符号，直接判断抛物线开口方向．
【详解】解：因为 ，所以抛物线开口向下．
故答案为：向下．
2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线 上的两点 和
，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，
对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，然后根据 、 到对称轴的距离的大小即可判
断．
【详解】解： ，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
和 ，
，
，
故选：C．
3．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐
标．
(1)
(2)(3) ．
【答案】(1)开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为
【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线 ，
∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ；
（3）解：∵抛物线 ，
∴开口向上，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题
的关键．
题型二、y=a（x-h）²+k 的图象和性质
4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数 为常数，
，顶点坐标是 ，据此求解即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：A．
5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线 的部分图象如图所示，若
，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线的对称轴为 ，则抛物
线与 轴另一个交点为 ，再根据图象即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解
题的关键．
【详解】∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
由图象可知抛物线与 轴的一个交点为 ，
∴ 关于 对称的点为 ，即抛物线与 轴另一个交点为 ，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
6．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线 的顶点坐标是 ，
且图象经过点 ，求a，h的值．【答案】 ， ．
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线 的顶点坐标是 ，
得到 ，再把点 代入 中即可求解，知道抛物线 的顶点
坐标为 ，对称轴是直线 是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是 ，
∴ ，
又∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴
分层练习
一、单选题
1．二次函数 图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题
的关键．
【详解】解：二次函数 图象的对称轴是直线 ，
故选A．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．此
题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线 的顶点坐标为 ．
【详解】解：∵ 是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ．
故选：D．
3．对于二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当 时，y随x的增大而增大
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由 ，抛物线开口向上，而对称轴为直
线x=1，可得答案；
【详解】解：∵二次函数 ，
由于 ，抛物线开口向上，
而对称轴为直线x=1，
所以当 时，y随x的增大而增大．
故选D
4．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值
的大小是解本题的关键．
由抛物线 ，对称轴为直线 ，可得当 时， 随 的增大而
减小，再结合 ，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线 ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，，
，
故选：A．
5．对于函数 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是
C．最大值为0 D．交y轴于点
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质即可一一判断．
【详解】解：对于函数 的图象，
∵ ，
∴开口向下，对称轴 ，顶点坐标为 ，函数有最大值0，
时， ，
交y轴于点 ，
故A、C、D正确，
故选：B．
6．顶点为 且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线
中， 值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线
的形状开口方向和抛物线的形状与 值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解： 抛物线的顶点为 ，且开口方向，形状与函数 的图象相同，这个二次函数的解析式为 ．
故选：A．
7．抛物线 与坐标轴交点的个数（ ）．
A．必定是1个 B．必定是2 个
C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个
【答案】B
【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，正确利用函数解析式分析是解题关键．
直接利用抛物线解析式进而得出与坐标轴的交点个数．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴顶点在x轴上，即与x轴有1个交点．
当 时，与y轴的正半轴相交，当 时，与y轴的负半轴相交，即与y轴有1个交点，
∴与坐标轴交点的个数必定是2 个．
故选B．
8．设二次函数 图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，正确理解二次函数的对称轴是解题的关键．根据
二次函数 的对称轴是直线 ，即可求解．
【详解】 二次函数 图象的对称轴为直线 ，
直线l上的点的横坐标为 ．
故选C．
9．若 、 、 为二次函数y=3(x+1) 2的图象上的三点，则 、 、
的大小关系是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着
对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答．
【详解】解： 抛物线解析式为y=3(x+1) 2，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
点 离着对称轴最远，其次是点 ，点 离着对称轴最近，
．
故选：C．
10．对于抛物线 ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标是 ；④ 时， 随 的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐
标为 ，对称轴为直线 ，则在对称轴右侧， 随 的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，故①③正确，②错误，
∴当 时， 随 的增大而减小，故④正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
二、填空题
11．函数 图象的顶点坐标为 ．
【答案】(1,0)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：函数 图象的顶点坐标为 ，
故答案为：
12．抛物线 顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标公式，进行作答即可．
【详解】解：抛物线 顶点坐标为 ；
故答案为： ．
13．抛物线解析式为 ，则该抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式 的顶点
坐标为 是解题关键．根据顶点式直接作答即可．
【详解】解： 抛物线解析式为 ，
该抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为：
14．已知点 ， 在抛物线 上，则 （比较大小关
系）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由 可得抛物线开口向上，且抛物线上的点
距离对称轴x=1的距离越远， 的值也越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题
的关键．
【详解】解：∵ ，∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴x=1的距离越远， 的值也越大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．若 为二次函数 图象上三点，则 的大
小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的
对称轴为直线 ，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，而 到
直线 的距离最远， 到直线 的距离最近，
∴ ，
故答案为：
16．已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象
上，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理
解二次函数，当 时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当 时，距离对称轴越
远的点，函数值越小．先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的
距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口方向向上，对称轴是直线 ，∴ 距对称轴的距离是 ， 距对称轴的距离是3， 距对称轴的
距离是2，
∵ ，
∴
故答案为： ．
17．如果抛物线 的开口向下，且直线 不经过第四象限，那么
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数
的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】解： 抛物线 的开口向下，
，
直线 不经过第四象限，
，
，
故答案为： ．
18．在平面直角坐标系中，抛物线 （a、h为常数）与直线 （m为常
数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距
离相等，且 的面积为4，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面
积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键．
根据 轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与AB到x轴的距离相等，可知C为
顶点， ，对称轴为直线 ，得到 在x轴的上方， ，C到 的距离为4，根据 的面积为4，得到 ，设 ， ，得到
，即得 ．
【详解】∵抛物线 （a、h为常数）与直线 （m为常数）相交于A、B
两点，
∴ 轴，作图如下，
∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，
∴C为顶点， ，对称轴为直线 ，
∴C在x轴下方，到x轴的距离为2，
∴ 在x轴的上方，到x轴的距离为2，
∴ ，
∴C到 的距离为： ，
∵ ，
∴ ，
设点A在点B的左边，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
19．（1）求抛物线 的顶点坐标及对称轴方程；（2）当 为何值时， 随 的增大而增大
【答案】（1）顶点坐标为 ，对称轴方程为 ；（2）
【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐
的计算过程．
（1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程．
（2）开口向下时在对称轴的左侧 随 的增大而增大，可得到答案．
【详解】解：（1） ，
抛物线顶点坐标为 ，对称轴方程为 ．
（2） ，
∴抛物线开口向下，
在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大．
20．抛物线 经过点 ．
(1)求 的值；
(2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为 ，对称轴为直线
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入 可求
出a=-1；
（2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴．
【详解】（1）解：把（1，-1）代入 得 =-1，
解得 ；
（2）∵抛物线解析式为 ，
∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．21．已知抛物线 经过点 ．
(1)求b的值；
(2)判断点 是否在此抛物线上？
【答案】(1)16
(2)不在
【分析】（1）只需把点A的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）只需考虑 时抛物线上所对应点的函数值是否等于8，即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线 经过点 ，
；
（2）解：∵当 时， ，
∴ 不在此抛物线上．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点
的坐标满足其解析式．
22．已知抛物线 ，当自变量x的值满足 时，与其对应的函数的最大值
是 ，求h的值．
【答案】h的值为8或2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根
据二次函数的性质，分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，顶点坐标为 ， ，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
∵当 时，与其对应的函数的最大值是 ，
∴ 在对称轴的同侧．
①当 ， 时，y取得最大值，
∴ ，解得 或 （舍去）．
②当 ， 时，y取得最大值，∴ ，解得 或 （舍去）．
综上所述，h的值为8或2．
23．已知二次函数 ．
(1)二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______．
(2)当 ______时，y有最小值是_____．
(3)当 时， ____．
(4)当x______时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)向上， ，
(2)4，
(3)7
(4)
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象
和性质才能比较熟练解决问题．
（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐
标；
（2）根据抛物线的顶点式即可回答；
（3）将 代入函数关系式求y的值；
（4）根据二次函数的图象与性质回答即可．
【详解】（1） 二次函数 ，
图象开口方向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
故答案为：向上， ， ；
（2） 二次函数 ，
∴当 时，y有最小值是 ，
故答案为：4， ；
（3）将 代入函数关系式 得： ，
故答案为：7；（4） 二次函数 ，图象开口方向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小．
故答案为： ．
24．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式
的方法和步骤．
（1）根据对称轴得出 ，则 ，把 代入求出k的值，即可得出抛
物线解析式；
（2）根据二次函数的性质得出当 时，y有最大值9，再求出当 时，x的值， 结
合当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，y有最大值9，
当 时， ，
解得： ，∵当 时，该二次函数值y取得的最小值为 ，
∴ ．
25．已知平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 ，其中 ．
若抛物线的对称轴为 ，
①m的值为_ ﹔
②当 时，有 （填“ ”，“ ”或“ ”） ．
当 时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出 的取值范围．
【答案】（1）1；②=；（2）
【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得 ，由对称轴公式 ，
得 ；
②把x=0分别代入 和 ，即可比较 与 大小；
（2）联立 、 的解析式得方程 ，△ ，题中 ，即抛
物线与直线相交，有2个交点，当 时和 时代入方程，即得 的值，可求出 的
范围．
【详解】解：（1）①由 ，
则对称轴 ，
，
②把x=0分别代入 与 得，
， ，
；
（2）联立 、 的解析式可得， ，
整理得， ，则△ ，
，
，
即就是没有直线与抛物线相切的情况．
当 时，代入方程，
得 ，
（负值舍去），
，
当 时，代入方程，
得 ，
，
又 ，
的取值为： ．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，
代入法求值、一元二次方程的判别式等．
26．在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 图象可得如下结论．
如果抛物线 与x轴有公共点的横坐标是 ，那么当x＝ 时，函数值是0，
因此 是方程 的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题
(1)若二次函数 （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 ， ，
，求二次函数的解析式；
(2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；
(3)在（1）的条件下，当 ， 时，对应的函数值为N，Q，若 求证：【答案】(1)
(2)
(3)见详解
【分析】（1）由根与系数的关系得 ，求出 ，即可求解；
（2）原函数解析式可化为 ，由不论m为何值，该函数的图象都会
经过一个定点得 ，即可求解；
（3）将 ， 代入可求得 ， ，①当 时，可得
，将其代入 化成关于 的二次函数，化成顶点式，由 的
性质即可求证；②当 时，可得 ，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
，
解得： ，
，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：
，
不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，不含 项，
，
解得 ，
当 时，
；
该函数图象始终过定点 ；
（3）证明：当 ， 时，
，
，
，
，
①当 时，
，
，
，
；
②当 时，
，，
，
；
综上所述： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，待定系数
法，函数图象过定点，二次函数 的性质等，掌握二次函数的性质，根于系
数的关系，能将函数图象过顶点转化为多项式不含某一项是解题的关键．
