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专题 07 二次函数综合题（综合题）
易错题专训
一．选择题
1．（2022•香洲区校级一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，
0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2
；
④图象上有两点P（x，y）和Q（x，y），若x＜1＜x，且x+x＞2，则y＞y，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0．
②错误．当a＝﹣1时，b＝3
③错误．△MCE的周长的最小值为2 +2．
④正确．设x关于对称轴的对称点x′，由题意推出x＜1＜x′＜x，因为函数图象在x＞1时，y随x
1 1 1 1 2
增大而减小，所以y＜y．
2 1
【规范解答】解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．
② ＝ ＝1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．
③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），∴CE′＝2 ，
∴△MCE的周长的最小值为2 +2，故③错误．
④设x关于对称轴的对称点x′，
1 1
∴x′＝2﹣x，
1 1
∵x+x＞2，
1 2
∴x＞﹣x+2，
2 1
∴x＞x′，
2 1
∵x＜1＜x，
1 2
∴x＜1＜x′＜x，
1 1 2
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y＜y，∴④正确．
2 1
故选：A．
【考察注意点】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二
次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
2．（2021•历下区三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P
以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数
关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解
析式为y＝﹣ t2+ t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为 ；④若△PQC与△ABC相似，
则t＝ 秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【易错思路引导】①正确．利用图中信息，求出AB，再利用勾股定理求出AC即可．
②正确．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC•sinC＝ （14﹣2t），y＝ •BQ•PH＝ •t• （14﹣2t）＝﹣ t2+ t（4≤t≤7）．
③错误．当点P与A重合时，PQ的值最大．根据题意求得PQ的最大值 ．
④正确．分两种情形讨论求解即可．
【规范解答】解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝ ＝ ＝6cm，故①正确，
∵ •BC•AD＝ •AB•AC，
∴AD＝ （cm），
由题意当点P运动到A时，S ＝ （cm2），
△BPQ
∴ ×BQ× ＝ ，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝ ＝ （cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝ ﹣4＝ （cm），
∴PQ＝ ＝ ＝ （cm），
∴PQ的最大值为 ，故③错误．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC•sinC＝ （14﹣2t），
∴y＝ •BQ•PH＝ •t• （14﹣2t）＝﹣ t2+ t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果 ＝ ，则△CPQ∽△CAB，
∴ ＝ ，
∴t＝ ．
如果 ＝ 时，△CPQ∽△CBA，
∴ ＝ ，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝ s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
【考察注意点】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，
解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会读懂图象信息解决问题，属于中考选择题
中的压轴题．
3．（2021•覃塘区模拟）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的
横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【易错思路引导】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y＝kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y＝﹣kx+b与抛物线交点横坐标分
别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【规范解答】解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0
时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
【考察注意点】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函
数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命
题⑤的关键．
4．（2018•桐梓县一模）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C，与x轴的另一个交
1点为A．若四边形ACAC为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
1 1 1
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
【易错思路引导】利用矩形性质得出要使平行四边形ACAC是矩形，必须满足AB＝BC，即可求出．
1 1
【规范解答】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∴x＝± ，
∴A（﹣ ，0），B（ ，0），
∴AB＝2 ，BC＝ ＝ ．
要使平行四边形ACAC是矩形，必须满足AB＝BC，
1 1
∴2 ＝ ．
∴4×（﹣ ）＝b2﹣ ，
∴ab＝﹣3．
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．
故选：B．
【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，
灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
5．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P
为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝ ；②抛物线的最大值为 ；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为 ．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【易错思路引导】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即
可；求出直线AC的解析式，设P（t，﹣ t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
【规范解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+2，
∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
故①正确；
当x＝ 时，抛物线有最大值 ，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），∴AB＝5，AC＝2 ，BC＝ ，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+2，
设P（t，﹣ t+2），
∴OP＝ ，
∴当t＝ 时，OP有最小值为 ，
故④正确；
故选：D．
【考察注意点】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函
数的解析式是解题的关键．
6．（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿
折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设
P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线
的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；② ；③当0＜t≤5时， ；④当
秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
【易错思路引导】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q
到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长
度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【规范解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝ ＝ ＝4，
∴cos∠ABE＝ ＝ ，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝ ＝ ，
∴PF＝PBsin∠PBF＝ t，
∴当0＜t≤5时，y＝ BQ•PF＝ t• t＝ t2，故③小题正确；
当t＝ 秒时，点P在CD上，此时，PD＝ ﹣BE﹣ED＝ ﹣5﹣2＝ ，PQ＝CD﹣PD＝4﹣ ＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达
点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
7．（2021•济南一模）如图 1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿
BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t
秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下
列结论：
①AE＝6cm；
②当0＜t≤10时，y＝ t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；④若△ABE与△QBP相似，则t＝ 秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】①观察图2得出“当t＝10时，点P、E重合，点Q、C重合；当t＝14时，点P、D重
合”，结合矩形的性质以及线段间的关系即可得出AE＝6，即①正确；②设抛物线OM的函数解析式为y
＝ax2，由点M的坐标利用待定相似法即可求出结论，由此得出②成立；③通过解直角三角形求出线段
AB的长度，由此可得出点H的坐标，设直线NH的解析式为y＝kt+b，由点N、H点的坐标利用待定系数
法即可得出直线NH的解析式，由此得出③成立；④结合①的结论可得出当0＜t≤10时，△QBP为等腰
三角形，结合③可得出△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，由此可得出④不成立．综上即可得出
结论．
【规范解答】解：①观察图2可知：
当t＝10时，点P、E重合，点Q、C重合；
当t＝14时，点P、D重合．
∴BE＝BC＝10，DE＝14﹣10＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝6，
∴①正确；
②设抛物线OM的函数解析式为y＝ax2，
将点（10，40）代入y＝ax2中，
得：40＝100a，解得：a＝ ，
∴当0＜t≤10时，y＝ t2，②成立；
③在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，BE＝10，AE＝6，
∴AB＝ ＝8，
∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），设直线NH的解析式为y＝kt+b，
∴ ，解得： ，
∴直线NH的解析式为y＝﹣5t+110，③成立；
④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，
△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，
∴当t＝ 秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．
综上可知：正确的结论有3个．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了二次函数图象、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是结合
函数图象逐项分析4条结论是否成立．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，
利用待定系数法求出函数解析式是关键．
二．填空题
8．（2022•江夏区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1
﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；
③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ①②④ ．（只需填写序号）
【易错思路引导】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标
公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【规范解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣ ）2+ ，顶点坐标是（ ， ）；此结论正确；②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝ ，x＝1，x＝
1 2
﹣ ﹣ ，
|x﹣x|＝ + ＞ ，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ，此结论正确；
2 1
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是： ，在对称
轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时， ＝ ﹣ ＞ ，即对称轴在x＝ 右边，因此函
数在x＝ 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都
经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经
过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
【考察注意点】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐
标特征．
9．（2020•浙江自主招生）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过
点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y＝x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，
且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 （ 3 ， ），（ ， ）
．
【易错思路引导】由于AH的长度没有确定，所以只要以点Q为直角顶点的三角形与△AOH相似，那么两者就有可能全等；当点Q为直角顶点时，若∠POQ＝30°或∠POQ＝60°时，都符合解题要求，那么可根
据∠POx的度数求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可得点P的坐标．
【规范解答】解：在Rt△AOH中，∠AOH＝30°；
由题意，可知：当∠POQ＝30°或∠POQ＝60°时，以点Q为直角顶点的△POQ与△AOH全等，
故∠POx＝60°或∠POx＝30°；
①当∠POx＝60°时，k＝tan60°＝ ，所以，直线OP：y＝ x，联立抛物线的解析式，有：
OP
，
解得 ， ，
∴P（ ，3），
1
∴A（3， ）；
1
②当∠POx＝30°时，k＝tan30°＝ ，所以，直线OP：y＝ x，联立抛物线的解析式，有：
OP
，
解得 ， ，
∴P（ ， ），
2
∴A（ ， ）．
2
故答案为：（3， ），（ ， ）．
【考察注意点】此题的难度并不大，抓住两个关键条件：①点Q为直角顶点，②以P、O、Q为顶点的三
角形与△AOH全等；由于题目没有明确告知AH的长，所以只要两者相似即可视作全等，这也为解题带来
了很大的便利．
10．（2020•浙江自主招生）如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，
分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ 或 1 或 3 ．
【易错思路引导】依题意，y＝2x2﹣8x+8，设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），则AB＝|t﹣（2t2﹣
8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB＝90°，PA＝AB
＝|t﹣2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，PB＝AB＝|t﹣2|；分别
列方程求t的值．
【规范解答】解：∵y＝2（x﹣2）2，
∴y＝2x2﹣8x+8，
∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB＝90°，此时PA＝AB＝|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，
解得t＝ 或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同
上．
故答案为： 或1或3．
【考察注意点】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据函数解析式表示A、B两点坐标，再表示
线段AB，根据题意，列方程求解．
11．（2022•香洲区模拟）已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的
是 ②④ ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．【易错思路引导】将m＝2，x＝2代入解析式可判定①，将x＝1代入解析式可得y＝0，可判断②，由抛
物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由m的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，
从而判断④．
【规范解答】解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
将x＝2代入y＝x2﹣4x+3得y＝4﹣8+3得y＝﹣1，
∴（2，﹣1）在抛物线上，①错误．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1＝x2﹣2x﹣mx+m+1＝x2﹣2x﹣m（x﹣1）+1，
∴当x＝1时，y＝1﹣2+1＝0，
∴抛物线经过定点（1，0），
∴②正确．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝1+ ，
当m＞0时，1+ ＞1，
∴当x＞1+ 时，y随x增大而增大，③错误．
点A（﹣3，0），B（1，0）关于直线x＝﹣1对称，
当﹣4≤m＜0时，﹣1≤1+ ＜1，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣1与点B之间，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与线段AB有2个交点，④正确．
故答案为：②④．
【考察注意点】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数
与方程及不等式的关系．
12．（2022•槐荫区模拟）已知，直线y＝ x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣ x交于点B，以AB为边向
右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣ x上移动．若抛物
线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ﹣ 2 ≤ h ≤ ．【易错思路引导】把x＝0代入y＝ x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y＝ x+2
与y＝﹣ x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y＝﹣
x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2﹣ h，最后，求得当抛物线恰好与
菱形的边AB、BC都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
【规范解答】解：把x＝0代入y＝ x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
将y＝ x+2与y＝﹣ x联立，解得：x＝﹣2，y＝1，
∴B（﹣2，1）．
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣ x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k＝﹣ h．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣ h．
如图1所示：
当抛物线经过点C（O）时，抛物线恰好与BC、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣ h得：h2﹣ h＝0，解得h＝0（舍去）或h＝ ．
如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝﹣2．
∴当﹣2≤h≤ 时，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点．
故答案为：﹣2≤h≤ ．
【考察注意点】本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物
线与菱形的边AB、BC恰好都有公共点时h的值是解题的关键．
13．（2021秋•蜀山区校级月考）如图，抛物线y＝﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），
与y轴交于点C，连接BC，AC．
（1）∠ACB的度数是 9 0 °；
（2）若点P是AC上一动点，则OP的最小值为 ．
【易错思路引导】（1）由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到
∠ACB是直角；
（2）当OP⊥AC时，OP取最小值，根据等面积求得OP即可．
【规范解答】解：（1）当y＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∵点B在点A的左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB＝5．
当x＝0时，y＝2，
∴点C坐标为（0，2），
∴BC＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，
∵BC2+AC2＝（ ）2+（2 2）＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：90；
（2）当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得 OA•OC＝ AC•OP，
∴ ×2×4＝ ×2 ×OP，
解得OP＝ ，
∴OP的最小值为 ．
故答案为： ．
【考察注意点】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题的关
键是根据三角形的面积得OP的长．
14．（2021秋•蒙城县月考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝
x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．则a+b＝ 1 ；若平移抛物线y＝
ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值是 ．
【易错思路引导】根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；因
为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只
能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为
（ ， +q），根据题意得出 +q＝ +1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣ + +1＝﹣ （p﹣1）2+ ，从而得出q的最大值．
【规范解答】解：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，
1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三
个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1，得
．
解得a＝﹣1，b＝2．
∴a+b＝﹣1+2＝1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（ ， +q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴ +q＝ +1，
∴q＝﹣ + +1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣ + +1＝﹣ （p﹣1）2+ ，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 ．故答案是：1； ．
【考察注意点】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，
二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
15．（2021•太和县一模）如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为
边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P
为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 30° ．
（2）等边△ABC的边长为 4 ．
【易错思路引导】（1）由△ABE≌△ACF得BE＝CF，用x的代数式表示S，得到E为BC中点时S最大，
从而可求∠FEC度数；
（2）根据△ECF的最大面积是2 列方程即可得答案．
【规范解答】解：过F作FD⊥BC于D，如图：
∵等边△ABC，等边△AEF，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AEF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF＝60°，
而BE＝x，
∴CF＝x，∠FCD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACF＝60°，∴FD＝CF•cos60°＝ x，
设等边△ABC边长是a，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x，
∴S ＝ CE•FD＝ （a﹣x）• x＝﹣ x2+ ax，
△ECF
当x＝ ＝ a时，S 有最大值为 ＝ a2，
△ECF
（1）△ECF的面积最大时，BE＝ a，即E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝30°，
故答案为：30°；
（2）当x＝ a时，S 有最大值为 a2，
△ECF
由图可知S 最大值是2 ，
△ECF的
∴ a2＝2 ，解得a＝4 或a＝﹣4 （边长a＞0，舍去），
∴等边△ABC的边长为a＝4 ，
故答案为：4 ．
【考察注意点】本题考查等边三角形及二次函数的综合知识，解题关键是证明△ABE≌△ACF，用x的代
数式表示△ECF的面积．
16．（2021•阜阳模拟）如图，二次函数y＝ 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左
侧），交y轴于点C．
（1）若在抛物线对称轴上存在一点P，使△ACP周长最小，则P点坐标为 （ 2 ， ） ；
（2）现有一长为2的线段DE在直线y＝ 上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得
三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t
的取值范围是 ﹣ ≤ t ≤ 2 ．【易错思路引导】（1）先求出点A，点B，点C坐标，当点C，点P，点B三点共线时，△ACP周长最小，
由待定系数法可求BC解析式，即可求点P坐标；
（2）分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．
【规范解答】解：（1）如图1，连接BP，
∵y＝ 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．
∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0， ），对称轴为x＝2，
∵点A，点B关于对称轴直线x＝2对称，
∴AP＝PB，
∵AP+CP+AC＝PB+CP+AC，且AC是定值，
∴当点C，点P，点B三点共线时，△ACP周长最小，
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
解得：
∴直线BC解析式为：y＝﹣ x+ ，当x＝2时，y＝
∴点P坐标（2， ），
故答案为：（2， ）；
（2）如图2，
∵线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等，
∴PA＝PB，或PB＝PC，或PC＝PA，
∵DE在直线y＝ 上移动，
∴点P的纵坐标为 ，
设点P（x， ），
若PA＝PC，
∴（x）2+（ ﹣ ）2＝（x﹣1）2+（ ）2，
∴x＝ ，
∴点P（ ， ），
∴PA＝PC＝1，PC＝ ，
∵PA+PB＜
∴不合题意舍去；
若PB＝PC，∴（x）2+（ ﹣ ）2＝（x﹣3）2+（ ）2，
∴x＝
∴点P（ ， ），
∴PB＝PC＝ ，PA＝1，
∵PA+PB＞PC
∴PA，PB，PC能组成三角形；
若PA＝PB，
∴（x﹣1）2+（ ）2＝（x﹣3）2+（ ）2，
∴x＝2，
∴点P（2， ），
∴PA＝PB＝ ，PC＝ ，
∵PA+PB＞PC，
∴PA，PB，PC能组成三角形；
∵点P在长为2的线段DE上，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为： ﹣2≤t≤2，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为：﹣ ≤t≤2，
故答案为：﹣ ≤t≤2．
【考察注意点】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角
形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三．解答题
17．（2022春•拱墅区校级期末）已知函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2．
1
（1）当k＝﹣1时，求函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
1
（2）试说明函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点．
1
（3）若函数y＝6kx+4，且当x≥0时，函数y和y均随x的增大而减小求k的取值范围．
2 1 2
【易错思路引导】（1）把k＝1代入y＝kx2+（3k+2）x+2k+2，即可求出结果；（2）Δ＝b2﹣4ac＝（3k+2）2﹣4k（2k+2）＝（k+2）2≥0，即可求解；
（3）先根据函数的增减性得出k＜0，进而判断二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴或在y轴左侧，
据此列出关于k的不等式求解即可．
【规范解答】解：（1）k＝﹣1时，y＝﹣x2﹣x，
∴函数的顶点坐标为（﹣ ， ），
令y＝0，则﹣x2﹣x＝0，
解得：x＝0，x＝﹣1，
1 2
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（0，0），
∴当k＝﹣1时，函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标为（﹣ ， ），与x轴的交点坐标为（﹣
1
1，0）和（0，0）；
（2）当k＝0时，y＝2x+2与x轴交于（﹣1，0），
当k≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝（3k+2）2﹣4k（2k+2）＝（k+2）2≥0，
∴函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点；
1
（3）∵当x≥0时，函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2和y＝6kx+4均随x的增大而减小，
1 2
∴6k＜0，解得：k＜0，
∴函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2的图象开口向下，且抛物线的对称轴在y轴或是y轴左侧，
1
∴ ，解得k≥ ，
∴ ．
【考察注意点】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标及抛物线与x轴的交点及函数的增减
性，熟记二次函数的性质是解题的关键．
18．（2022•东莞市校级一模）二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A
（1，0）、B（ ，0）．
（1）求a、b的值；
（2）P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠PAB＝∠OCA，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段
EF沿x轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．【易错思路引导】（1）把A（1，0）、B（ ，0）代入数y＝ax2+bx+3即可得出结果；
（2）先得出tan∠PAB＝ ，设P（x， ）（0＜x＜1或x＞ ），过点P作PD⊥x轴于点
D，根据解直角三角形得出tan∠PAD＝ ，得出P点坐标；
（3）作P关于x轴的对称点P，先求CP的解析式，得出当CE+PF值最小时，四边形CEFP的周长最小，
1 2 2
连接EP，根据两点之间线段最短可得：当C，E，P三点共线，CE+EP＝CP时，CE+EP最短，得出结论．
1 2 2 2 2
【规范解答】解：把A（1，0）、B（ ，0）代入数y＝ax2+bx+3得： ，
解得：a＝ ，b＝ ，
∴a的值为： ，b的值为： ；
（2）由y＝ ，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），由OA＝1，OC＝3，
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝ ，
∵∠PAB＝∠OCA，
∴tan∠PAB＝ ，
设P（x， ）（0＜x＜1或x＞ ），
过点P作PD⊥x轴于点D，∴AD＝OD﹣OA＝x﹣1，
在Rt△PAD中，
tan∠PAD＝ ，
∴x＝5，
∴x﹣1≠0，
当x＝5时， ，
∴P（5， ）．
（3）由题意得：OE＝ ，OF＝ +1，即F向左平移1个单位到点E，
将P（5， ）向左平移1个单位到P（4， ），
1
作P关于x轴的对称点P，则P（4，﹣ ），
1 2 2
连接CP，
2
设CP：y＝kx+b（k≠0），
2
把C（0，3），P（4，﹣ ）代入得：
2
，解得： ，
∴CP：y＝ ，
2
令y＝0，则0＝ ，∴x＝ ，即CP与x轴的交点为（ ，0），
2
∴当E（ ，0），F（ ，0）时，四边形CEFP的周长最短，
∵四边形CEFP的周长＝CP+EF+CE+PF，且CP，EF是定长，
∴当CE+PF值最小时，四边形CEFP的周长最小，
连接EP，
1
∵PP＝1＝EF，且PP∥EF，
1 1
∴四边形EFPP是平行四边形，
1
∴EP＝PF，
1
∵P，P关于x轴对称，E是x轴上的点，
1 2
∴EP＝EP，
1 2
∴EP＝PF，
2
∴CE+PF＝CE+EP，
2
根据两点之间线段最短可得：当C，E，P三点共线，CE+EP＝CP时，CE+EP最短，
2 2 2 2
即E（ ，0）时，四边形CEFP的周长最小，
∴ ，t＝6s，
即当t＝6s时，四边形CEFP的周长最小．
【考察注意点】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质及解直角三角形，
解题的关键是正确作出辅助线．
19．（2022秋•朝阳区校级月考）抛物线y＝ax2+ bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线
的对称轴为x＝1，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝m与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求m的值．
【易错思路引导】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝ax2+ bx+b，求出b的值，再由对称轴公式可求a的
值，从而确定函数的解析式即可；
（2）求出E（1﹣ ，m），F（1+ ，m），即可求EF＝2 ，再由△DEF是等腰直角三角形，
可得方程|m|＝ ，求出m的值即可．
【规范解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝ax2+ bx+b，
∴b＝﹣3，
∴y＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴D（1，0），
令x2﹣2x﹣3＝m，解得x＝1+ 或x＝1﹣ ，
∴E（1﹣ ，m），F（1+ ，m），
∴EF＝2 ，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴|m|＝ ，
解得m＝ 或m＝ ．
【考察注意点】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
20．如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，已
知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点；
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 0 ≤ x ≤ 3 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值；
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S ＝S ？（点P不与点B重合）若存在，请求出
△ACP △ACB
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【易错思路引导】（1）将点A坐标代入二次函数解析式求出m的值，将x＝0代入抛物线解析式可得点
C坐标，由点A，C坐标可得直线解析式．
（2）由抛物线开口方向及直线与抛物线交点坐标求解．
（3）由抛物线对称性求出点B坐标，过点B作BP∥AC交抛物线与点P，求出直线BP解析式，进而求解．
【规范解答】解：（1）将（3，0）代入y＝﹣（x﹣2）2+m得0＝﹣1+m，
解得m＝1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
将x＝0代入y＝﹣（x﹣2）2+1得y＝﹣3，
∴点C坐标为（0，﹣3），
将（3，0），（0，﹣3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为y＝x﹣3．
（2）由图象可得图象在A，C之间的部分抛物线在直线上方，
∴0≤x≤3时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值
故答案为：0≤x≤3．
（3）存在，理由如下，∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为（4，﹣3），
过点B作BP∥AC交抛物线与点P，连接AP，CP，
设直线BP解析式为y＝x+b，
将（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直线BP解析式为y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x＝4，x＝﹣1，
1 2
将x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，
∴点P坐标为（﹣1，﹣8）．
【考察注意点】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握
待定系数法求函数解析式，掌握一次函数图象与系数的关系
