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二次函数章末检测卷
考试范围：第22章 ；考试时间：120分钟；姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）若抛物线 是关于x的二次函数，
那么m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．2或3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义列方程计算即可；
【详解】
∵ 是关于x的二次函数，
∴ 且 ，
∴ ， 且 ，
∴ ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
2．(本题4分)（2022·河南信阳·九年级期末）已知抛物线 上的两点 和 ，如果
，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线的对称轴为 ，且开口向下，在 时，y随x的增大而增大，且 ，即可求解．
【详解】
解：函数的对称轴为 ，抛物线开口向下，
函数在 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
而 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是：找到二次函数的对称轴，利用函数增减性进行比较．
3．(本题4分)（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x2 4x 1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ 2， 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
解：∵ ，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，-5），
∴当 时，y随x的增大而增大，
故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）抛物线 抛物线 的相同点是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
【答案】D【解析】
【分析】
根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．
【详解】
解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），
抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0），
∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．
5．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 ，且 ，则图象一
定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ， ， ，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，且二次
函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．
【详解】
解：∵二次函数 中 ， ， ，
∴二次函数的解析式为 ，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴，
∴二次函数 的图象 经过三、四象限；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系．
6．(本题4分)（2022·河南驻马店·九年级期末）要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2（x﹣1）2+3，则抛物线
y＝2x2必须( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
由x到x-1是函数图像向右平移1个单位，在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位
【详解】
解：函数中的由x到x-1是函数图像向右平移1个单位，
在函数末尾+3是函数图像向上平移3个单位
故选B
【点睛】
本题考查二次函数的平移问题，记住左加右减，上加下减是本题关键．
7．(本题4分)（2022·江苏淮安·九年级期末）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的
某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x
＜3.25．
【详解】
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未
知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．8．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线 与直线 相交于点
和 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
抛物线 与直线 相交于点 和 ，
则 的解集为： 或 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
9．(本题4分)（2022·云南红河·九年级期末）如图，已知抛物线 的对称轴为 ，且其
与x轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③方程
的两个根是 ， ；④ ；⑤当 时，y随x的增大而增大；⑥抛物线上
有三点 ， ， ，则 ．其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称性求得抛物线与 轴的另一个交点为 ，可得 ，即可判断①③，根据抛物线与 轴有2
个不同交点可得 ；根据 时，可得 ，根据对称轴为直线 ，则 时，
y随x的增大而增大；根据离对称轴越远函数值越大，比较三点 ， ， 与 的距离即
可求解．
【详解】
解： 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且其与x轴的一个交点坐标为 ，则抛物线
与 轴的另一个交点为 ，
即
，故①不正确，③正确；
∵抛物线与 轴有2个不同交点；
∴ ，故②正确；
∵ 时，可得 ，故④不正确
∵抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随x的增大而增大；故⑤不正确
抛物线上有三点 ， ， ，对称轴为 ，
又
．故⑥正确，
故正确的有②③⑥．
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛
物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10．(本题4分)（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M
从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以
1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y
（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分当0≤x≤1时，M点在BC边上，1＜x≤2时，M在CD边上，2＜x≤3时，M点在AD边上，三种情况分别
求出对应的表达式，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得BN=x，AN=AB-BN=3-x
①当0≤x≤1时，M点在BC边上，BM=3x，
则△AMN的面积= BM•AN
∴ ；
②1＜x≤2时，M在CD边上，则△BPQ的面积= AN•BC ，
∴
可得y= •x•3= ；
③2＜x≤3时，M点在AD边上，AM=9﹣3x，
则△BPQ的面积= AM•AN，
∴ ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·浙江·九年级专题练习）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过
（0，3），则二次函数解析式是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
设出二次函数的顶点式解析式 ，把（0，3）代入计算即可；
【详解】
解：设二次函数解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握待定系数法是解本题的关键．
12．(本题5分)（2022·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点
A，过点A作x轴的平行线交抛物线 于点B、C，则线段BC的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出A点坐标，代入 ，求出B、C坐标，求差即可．
【详解】
解：抛物线 与y轴交于点A，
则点A的坐标为（0，3），
过点A作x轴的平行线交抛物线 于点B、C，
则 ，解得， ，
则线段BC的长为 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用二次函数的性质求出点的坐标．
13．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是_________．
【答案】﹣1≤x≤3
【解析】
【分析】
首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3，
故答案是：﹣1≤x≤3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标．
14．(本题5分)（2019·福建·厦门市金尚中学九年级期中）将函数y＝x2﹣x﹣2的图象位于x轴下方的部分
沿x轴翻折至其上方后，所得的图形是函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象，已知过点D（0，4）的直线y＝kx+4恰好
与y＝|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为_____．
【答案】1﹣2 或﹣2．
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的解析式，求出将图像进行翻折后抛物线的解析式和自变量的取值范围，将一次函数
和二次函数的解析式进行联立，根据直线与抛物线的交点的个数，通过△求取k的值，然后求取交点横坐
标看是否符合题意即可解决.
【详解】
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1，x＝2，
1 2
则抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
把抛物线y＝x2+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2），
当直线y＝kx+4与抛物线y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）相切时，
直线y＝kx+4与函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象恰好有三个公共点，
即﹣x2+x+2＝kx+4有相等的实数解，整理得x2+（k﹣1）x+2＝0，△＝（k﹣1）2﹣8＝0，
解得k＝1±2 ，
所以k的值为1+2 或1﹣2 ．
当k＝1+2√2时，经检验，切点横坐标为x＝﹣ ＜﹣1不符合题意，舍去．
当y＝kx+4过（2，0）时，k＝﹣2，也满足条件，
故答案为1﹣2 或﹣2．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的翻折，一次函数和二次函数交点问题，解决本题的关键是正确理解题意，熟练
掌握函数与方程的关系，能够理解一次函数和二次函数的交点个数与方程根的个数的关系.
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2022·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，画出
的图象，并指出后三个图象与 的图象之间的关系．
【答案】作图见解析，答案见解析
【解析】
【分析】
先根据函数关系式先列表，再确定出各点，用光滑的曲线连线画出图象．
【详解】
解：（1）列表如下：
－
x …… －1 0 1 2 ……
2
…… 4 1 0 1 4 ……
…… 5 2 1 2 5 ……
…… 9 4 1 0 1 ………… 10 5 2 1 2 ……
（2）描点
（3）连线，如图所示．
函数 的图象是由函数 的图象向上平移1个单位长度得到的；
函数 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位长度长度得到的；
函数 的图象是由函数 的图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
【点睛】
本题是一道主要考查二次函数的题目，理解二次函数的图象和性质，平移规律是解答关键．
16．(本题8分)（2021·广西南宁·九年级期中）如图是二次函数 = －6 +21的图像，请回答以下问题：
(1)写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)当 取什么值时， 随 的增大而增大？
(3)当x取什么值时， 随 的增大而减小？【答案】(1)顶点坐标是（6，3），对称轴是直线 =6
(2) 6时， 随 的增大而增大
(3) 6时， 随 的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意可得 6时， 随 的增大而增大，即可求解；
（3）根据题意可得 6时， 随 的增大而减小，即可求解．
(1)
解： = －6 +21= ，
∴抛物线的顶点坐标为（6，3），对称轴是直线 =6．
(2)
解：∵ ，
∴抛物线线开口向上，
∴ 6时， 随 的增大而增大．
(3)
解： 6时， 随 的增大而减小．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
17．(本题8分)（2019·北京景山学校朝阳学校九年级阶段练习）在平面直角坐标系 中，直线
与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，过点 作 轴的垂线 ，直线 与直线 交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）如果抛物线 与线段 有唯一公共点，①求抛物线 的对称轴，
②求 的取值范围.
【答案】（1）(3,3);（2）①见解析；②见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；
（2）①将抛物线 化成顶点式，即可得抛物线的对称轴，顶点的坐标；
②分类讨论当n＞3时；当n=3时；当0＜n＜3时，抛物线y=nx2-4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，
求n的取值范围．
【详解】
解：（1）∵直线 与 轴交于点 .
∴点 关于 轴的对称点为 ， 为直线 .
∵直线 与直线 交于点 ，
∴点 的坐标为 ；
（2）①∵抛物线 ，
∴ .
∴抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 .
②∵点 ，点 ，
当 时，抛物线最小值为 ，与线段 无公共点；
当 时，抛物线顶点为 ，在线段 上.
此时抛物线与线段 有一个公共点;
当 时，抛物线最小值为 ，与直线 有两个交点.
如果抛物线 经过点 ，则 ，解得 .由抛物线的对称轴为直线 ，可知抛物线经过点 .
点 不在线段 上，此时抛物线与线段 有一个公共点 .
如果抛物线 经过点 ，则 ，解得 .
由抛物线的对称轴为直线 ，可知抛物线经过点 .
点 在线段 上，此时抛物线与线段 有两个公共点.
综上所述，当 或 时，抛物线与线段 有一个公共点.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．(本题8分)（2022·广东·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与z轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝ ，请求出该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)见解析；(2)顶点为（ ，﹣ ）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由根的判别式△＝b2﹣4ac＞0得到答案；
（2）结合题意，根据对称轴x＝﹣ 得到m＝2，即可得到抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6，再将抛物线解
析式为y＝x2﹣5x+6变形为y＝x2﹣5x+6＝（x﹣ ）2﹣ ，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m2+m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）＝1＞0，
∴抛物线与x轴有两个不相同的交点．
（2）解：∵y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∴对称轴x＝﹣ ＝ ＝ ，∵对称轴为直线x＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6，
∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点为（ ，﹣ ）．
【点睛】
本题考查根的判别式、对称轴和顶点，解题的关键是掌握根的判别式、对称轴和顶点的计算和使用.
19．(本题10分)（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图
所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于B，A（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）根据图象解答下列问题
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＜3的解集．
【答案】(1)x＝-1、x＝3
1 2
(2)x＜0或x＞2
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的对称性即可求解；
（2）根据二次函数的对称性和函数图象增减性即可求解；
(1)
解：A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则点B（3，0），
故ax2+bx+c＝0的两个根为x=-1、x=3；
1 2
(2)
点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），
则不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．【点睛】
本题主要考查二次函数图象及性质，掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
20．(本题10分)（2021·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过
点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足
ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-5≤y≤4；（3）-1
