文档内容
专题 22.1 二次函数图象与系数的关系
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 知识点总
结
一、二次函数图象与系数的关系
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛
物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a
与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决
定抛物线与y轴交点位置．
◆ 典例分析
【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点
B(4,0)，则下列结论中：①abc>0；②4a+b>0；③M(x ,y )与N(x ,y )是抛物线上两点，若
1 1 2 2
0y ；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m−3)(m+3)0，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得b
对称轴在直线x=2右侧，即− >2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据
2a
对称轴，得出b=−6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出
4b+c
a=− ，再根据AB≥3，得到y=a+b+c≥0，进而得出4b+5c≥0，再结合c<0，即可判断⑤结
16
论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．
【解题过程】
解：∵抛物线开口线下，与y轴交于负半轴，
∴a<0，c<0，
∵对称轴在x轴正半轴，
∴a、b异号，
∴b>0，
∴abc>0，①结论正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点B(4,0)，
b
∴对称轴在直线x=2右侧，即− >2，
2a
( b )
∴2− − <0，
2a
4a+b
∴ <0，
2a
∵a<0，
∴4a+b>0，②结论正确；
M(x ,y )与N(x ,y )是抛物线上两点，且0− 时，y随x的增大而减小；
2a 2a
∴无法判断y 和y 的大小，③结论错误；
1 2
∵抛物线的对称轴是直线x=3，
b
∴− =3，即b=−6a，
2a
∴ a(m−3)(m+3)−b(3−m)
=a(m−3)(m+3)+6a(3−m)
=a(m−3)(m+3−6)=a(m−3) 2，
∵a<0，(m−3)≥0，
∴a(m−3) 2≤0，
∴ a(m−3)(m+3)≤b(3−m)，④结论正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点B(4,0)，
∴当x=4时，y=16a+4b+c=0，
4b+c
∴a=− ，
16
∵AB≥3，
∴点A的横坐标00，
∴4b+3c>0，⑤结论正确；
∴正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选：B．
◆ 学霸必刷
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=−1对称，与x轴
的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）
A．abc<0 B．b=2a
C．4a−2b+c>0 D．a−b≤m(am+b)（m为任意实数）【思路点拨】
本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位
置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线x=−1，00，
∵对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，
原题结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
故选项正确，不符合题意；
C．∵对称轴为直线x=−1，00 ②am2+bm≤a−b（m为任意实数） ③3a+c<1
c
④若M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤−3．其中正确的结论有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，
x=−1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x +x =−2即可
1 2
判段④，即可求解．
【解题过程】
解：∵二次函数图象开口向下
∴a<0
∵对称轴为直线x=−1，
b
∴x=− =−1
2a
∴b=2a<0
∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0
b
∴ <0，故①错误，
c
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1,
∴当x=−1时，y取得最大值，最大值为a−b+c
∴am2+bm+c≤a−b+c（m为任意实数）
即am2+bm≤a−b，故②正确；
∵x=1时，y<0
即a+b+c<0
∵b=2a
∴a+2a+c<0即3a+c<0
∴3a+c<1，故③正确；
∵M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，
1 2
∴M,N关于x=−1对称，
x +x
∴ 1 2=−1即x +x =−2故④不正确
2 1 2
正确的有②③
故选：B
3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴
交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若
8 4
−20；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，∴bc>0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴3a+2c<0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，a>0，
∴y=a+b+c最小值，
ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，
故③正确；
④∵−20，即可判断A；将抛
4ac−b2
物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到 >1，结合a<0即可判断B；由点(3，0)在抛物线上得
4a
c
到3a+b=− ，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．
3
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，
b
∴a<0，c<0，− >0，
2a
∴b>0，
∴ab<0，故A正确，不符合题意；
∵ y=ax2+bx+c=a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2 ，抛物线的顶点在第一象限，经过点(1，1)，对称轴为直线
2a 4a
m+3
x= >1，
2
4ac−b2
∴ >1，
4a
∵a<0，
∴4ac−b2<4a，故B正确，不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)，
∴9a+3b+c=0，
c
∴3a+b=− ，
3
∵c<0，c
∴− >0，
3
c
∴3a+b=− >0，故C错误，符合题意；
3
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1，1)，(m，0)，(3，0)，
m+3
∴对称轴为直线x= ，
2
1+2+m m+3
∵ = ，
2 2
∴ (1，1)和(2+m，1)关于对称轴对称，
∴点(2+m，1)必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；
故选：C．
5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交
点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a−2b+c=0；
④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；
⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
由开口方向及与y轴的交点可判断，a<0，c>0，再根据“左同右异”的方法可判断b的符号，从而可判断
b
①；由对称轴x=− 可判断②；由图象得x =4和对称轴可求x =−2，可得抛物线与x的另一个交点为
2a 2 1
(−2,0)，代入即可判断③；设y =2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，并且与抛物线有两个交
1
点，可判断④；当x=1时，y =a+b+c，即可判断⑤．
❑
最大
【解题过程】
解：由图得：a<0，c>0，
∵对称轴在y轴右侧，∴b>0，
∴abc<0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴2a+b=0，
故②正确；
由图象得x =4，
2
∴1−x =4−1
1
解得：x =−2，
1
∴抛物线与x的另一个交点为(−2,0)，
∴a×(−2) 2+(−2)b+c=0，
即：4a−2b+c=0，
故③正确；
设y =2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，
1
与抛物线有两个交点，
∴方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；
故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
且a<0，
∴当x=1时，
y =a+b+c，
❑
最大
∴ am²+bm+c≤a+b+c，
故⑤正确；
综上所述：正确的有②③④⑤，共4个；
故选：C．
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为
1
x= ，且经过点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若
2( 5 ) (5 ) 1 1
− ,y , ,y 是抛物线上的两点，则y m(am+b)（其中m≠ ），其中说法正确的是
2 1 2 2 1 2 4 2
( )
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①，利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合
一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离
对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
b 1
抛物线对称轴为x=− = ，
2a 2
∴b=−a>0，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，
所以①正确；
1
对称轴为x= ，且经过点(2,0)，
2
抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和−1，
c
∴2×(−1)= ，
a
整理，得c=−2a，
∴−2b+c=2a+(−2a)=0，
所以②正确；
抛物线经过(2,0)，∴当x=2时，y=0，
∴4a+2b+c=0，
所以③错误；
∵a<0，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
1 5 5 1
∵ −(− )> − ，
2 2 2 2
∴y am2+bm+c，
2 4 2
1 1
整理，得 a+ b>am2+bm=m(am+b)，
4 2
∵b=−a，即a=−b，
1 1 1 1 1
∴ a+ b=− b+ b= b，
4 2 4 2 4
1
即 b>m(am+b)，
4
所以⑤正确．
其中说法正确的是①②④⑤．
故选：C．
7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x ,0)、(2,0)，
1
其中0＜x ＜1．下列四个结论：①abc<0；②a+b+c>0；③2a−c>0；④点(−2,y )，(4,y )都在抛
1 1 2
c
物线上，则有y >y ；⑤不等式ax2+bx+c<− x+c的解集为0＜x＜x ．其中正确结论的个数是
1 2 x 1
1
（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
b
本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，a＞0；对称轴在原点的右边，− ＞0，得到
2a
b＜0，c＞0，判断abc<0；结合图像，a+b+c＜0；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即
可．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
b
∵对称轴在原点的右边，− ＞0，
2a
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上，
∴c＞0，
∴abc<0；
故①正确；
结合图像，a+b+c＜0；
故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点(x ,0)、(2,0)，其中0＜x ＜1．
1 1
x +2 3
∴1＜ 1 ＜ ，4a+2b+c=0，
2 2
b 3
∴1＜− ＜ ，2b=−c−4a，
2a 2
∴−3a＜b＜−2a，2b=−c−4a，
∴2b＞−6a，b+2a＜0，
∴−4a−c＞−6a，
∴2a−c>0，故③正确；
∵点(−2,y )，(4,y )都在抛物线上，
1 2
∴y =4a−2b+c,y =16a+4b+c，
1 2
∴y −y =4a−2b+c−(16a+4b+c)=−6(2a+b)，
1 2
∵b+2a＜0，
∴−6(2a+b)＞0
∴y >y ；
1 2
故④正确；
c
设直线y=− x+c，根据题意，直线经过点(x ,0)和(0,c)，
x 1
1
c
故直线y=− x+c与y=ax2+bx+c的交点为点(x ,0)和(0,c)，
x 1
1
画草图如下，
c
故不等式ax2+bx+c<− x+c的解集为0＜x＜x
．
x 1
1
故⑤正确；
故选D．
8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像的一部分如图所示，该函
数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论： ①b>0；②a+c0，
2a
∴b>0，
∴结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(5，0)，且对称轴为直线x=2，
5+x
由 2=2，得x =−1，
2 2
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
即当x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴a+c=b，
∴结论②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(−1,0)，(5，0)，
∴多项式ax2+bx+c可因式分解为a(x+1)(x−5)，
∴结论③错误；
∵对称轴为直线x=2，且函数开口向下，
∴当x=2时，y有最大值，
由y=ax2+bx+c得，
x=2时，y=4a+2b+c，
x=m时，y=am2+bm+c，
∴无论m为何值时，
am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴am2+bm−4a−2b≤0∴结论④正确；
综上：正确的有①④．
故选：B
9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标
为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）
2 8
①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③−1≤a≤− ；④ ≤n≤4．
3 3
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟
练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．
①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；
b
②根据抛物线开口方向得出a<0，由对称轴x=− 求得b与a的关系，代入3a+b，即可判定3a+b的符
2a
c
号；③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积x ⋅x =
1 2 a
，得到c与a的关系，然后根据c的取值范围，利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数
4
解析式得到n=a+b+c= c，根据c的取值范围，利用不等式的性质来求得n的取值范围．
3
【解题过程】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，
∴对称轴直线是x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴根据图象可得，当x>3时，y<0；故①正确；
②根据图象可得抛物线开口方向向下，则a<0；
b
∵对称轴x=− =1，
2a
∴b=−2a；
∴3a+b=3a−2a=a<0，即3a+b<0；故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(−1,0)，(3,0)，
即方程ax2+bx+c=0的解是x =−1和x =3，
1 2
∴x ⋅x =−1×3=−3，
1 2
c
即 =−3，
a
c
则a=− ；
3
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
c 2
∴−1≤− ≤− ；
3 3
2
即−1≤a≤− ；故③正确；
3
c
④∵a=− ；b=−2a
3
2
∴b=−2a= c，
3
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，
4
即n=a+b+c= c
3
∵2≤c≤3，
8 4
∴ ≤ c≤4，
3 3
8
即 ≤n≤4；故④正确；
3
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：C．
10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交( 1 )
于 − ,0 ，对称轴为直线x=1． 有以下结论∶ ① abc<0；②3a+c>0；③若点(−3,y )，(3,y )，
2 1 2
(0,y )均在函数图象上，则 y >y >y ；④若方程a(2x+1)(2x−5)=1的两根为x 、x ，且x 0，c<0，
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①错误；
由图可知，当x=−1时，y=a−b+c>0 ，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵点(−3,y )，(3,y )，(0,y )均在函数图象上，对称轴为直线x=1，开口向上，
1 2 3
∴|−3−1)>|3−1)>|0−1)，则 y >y >y ，故③错误；
1 2 3
(5 )
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为 ,0 ，
2
( 1)( 5)
∴抛物线解析式为：y=a x+ x− ，
2 2
( 1)( 5) 1
令a x+ x− = ，则a(2x+1)(2x−5)=1，
2 2 4
1
如图，作y= ，
4
1 5
由图形可知x <− < x >1，则y >y ．其中正确结论有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次
函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据抛物线与x轴的一个交点(−2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数
法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a<0，进而可得b<0，c>0，再结合二次函数的图象和性
质逐条判断即可．
【解题过程】
解：∵抛物线开口方向向下，
∴a<0，
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，
2
b 1
∴− =−
2a 2
∴b=a<0
∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，
∴c>0，
∴abc>0，故①错误；
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(−2,0)，
2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得：a+b+c=0，故②正确；
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c−3=0无实数根，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=3无交点，
( 1 )
∵抛物线的顶点坐标为 − ,m ，抛物线开口方向向下，
2
∴m<3，故③正确；
∵am2+bm=am2+am=a ( m+ 1) 2 − 1 a，
2 4
1 1 1
(a−2b)= (a−2a)=− a，
4 4 4
1 1 2
∴am2+bm− (a−2b)=a(m+ ) ，
4 2
1
又∵a<0，m≠− ，
2
( 1) 2
∴a m+ <0，
2
1 1
即am2+bm< (a−2b)（其中m≠− )，故④正确；
4 2
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线开口朝下，
2
1
∴可知二次函数，在x>− 时，y随x的增大而减小，
2
1
∵x >x >1>− ，
1 2 2
∴y 0，
b
∵− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确，
∵x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故②正确，
∵ y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，
c am
∴−1×m= ，am2+bm+c=0，则 =−1，
a c
(am b 1)
∴ + + ·mc=0，
c c m
b 1
∴ + =1，故③正确，
c mb
∵−1+m=− ，
a
∴−a+am=−b，
∴am=a−b，
∵ am2+(2a+b)m+b+c
=am2+bm+c+2am+b
=2a−2b+b
=2a−b
∵a<0，b>0
∴2a−b<0，故④正确，
−b±❑√b2−4ac
对于ax2+bx+c=0，可得：x= ，
2a
由函数图象交点可知x=m或x=−1，
|−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac)
∴m+1= − ，
2a 2a
|❑√b2−4ac)
∴m+1= ，
a
∴|am+a)= ❑√b2−4ac，故⑤正确，
故选：D．
13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(−1,0)下列
结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④−3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程
ax2+bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次
函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a<0，将点(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a−b+c=0，由图象可得对称
轴为x=2，可得b=−4a，代入上式可得c=−5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．
【解题过程】
解：将点(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
即a−b+c=0，
∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，
b
∴− =2，a<0，
2a
即b=−4a>0，
将b=−4a代入a−b+c=0，
可得c=−5a>0．
①∵b=−4a、c=−5a，
∴b2=(−4a) 2=16a2，4ac=4a×(−5a)=−20a2，
∴16a2>−20a2，
∴b2>4ac，
故①正确．
②∵b=−4a，
∴4a+b=4a−4a=0，
故②正确．
③∵b=−4a、c=−5a，
∴4a+c=4a−5a=−a，2b=−8a，
∵a<0，
∴−a<−8a，
∴4a+c<2b，
故③错误．
④∵b=−4a、c=−5a，
故−3b+c=−3×(−4a)−5a=12a−5a=7a，∵a<0，
∴7a≠0，
∴−3b+c≠0，
故④错误．
⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，
再将b=−4a、c=−5a代入上式，
化简可得a=−2，
∴b=−4a=8，c=−5a=10，
将a=−2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，
即−2x2+8x+5=0，
根据根的判别式Δ=82−4×(−2)×5=104>0，
可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，
故⑤错误．
综上作述，正确的结论有两个，
故选A．
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴的交
点在(0,−2)与(0,−3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：① a+b+c<0；②若点
M(0.5,y )、N(2.5,y )在图象上，则y 0,2−0.5=1.5,2.5−2=0.5，
∴y >y ，故结论②不正确；
1 2
∵x=2时，函数有最小值，
∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），
∴a(m2−4)+b(m−2)≥0，故结论③正确；
b
∵− =2，
2a
∴b=−4a，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为−1和5，
c
∴−1×5= ，
a
∴c=−5a，
∵−32，则y 0，b>0，则abc<0，故①正确；
1
由抛物线对称轴为直线x= ，
2
b 1
∴− = ，则b=−a，
2a 2
∴代入a−b+c=0得：c=−2a，
∴抛物线y=ax2−ax−2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x ,y )，
T T
∴ax2−ax−2a=ax+d，整理得：ax2−2ax−2a−d=0
∴(−2a) 2−4a(−2a−d)=0，解得：d=−3a，
∴直线y=ax−3a，代入得：x=1，
∴x =1，故③正确；
T
∵抛物线上的两点P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =ax 2−ax −2a，y =ax 2−ax −2a，
1 1 1 2 2 2
∴y −y =a(x +x )(x −x )−a(x −x )=a(x −x )(x +x −1)，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x 2，
1 2 1 2
即y −y >0，
1 2
∴y >y ，故④错误；
1 2
∵b2−4ac=(−a) 2−4a×(−2a)=a2+8a2=9a2>0，∴b2−4ac<−4a错误，
∴①②③正确；
故答案为：①②③．
16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两
点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线
上有两点P(x ,y )和Q(x ,y )，若x <12，则y >y ，④设x ，x 是方程ax2+bx+c=0
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的两根，若am2+bm+c=p，则p(m−x )(m−x )≤0．其中正确的结论是 （填入正确结论的序
1 2
号）．
【思路点拨】
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；通过取特殊值可判
断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解题过程】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c>0，
∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，即b=−2a，
2a
∵a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故结论①正确；
当x=1+❑√2时，y=a(1+❑√2) 2 −2a(1+❑√2)+c=a+c，
即当x=1+❑√2时，不能确定(a+c)与0的大小关系，故结论②错误；
∵a<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点P(x ,y )和Q(x ,y )在抛物线上，且x <12，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴x −1>1−x ，即x 到1的距离大于x 到1的距离，
2 1 2 1
∴y >y ，故结论③正确；
1 2∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x ，右边交点的横坐
1
标为x ，即x 0，m−x ≥0，
2 1 2
∴p(m−x )(m−x )≤0，
1 2
综上所述，p(m−x )(m−x )≤0，故结论④正确，
1 2
∴正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个
结论：
①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c) 2<4b2；
1
④方程cx2+bx+a=0的解为x =1,x =− ；
1 2 3
⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有 （填序号）．【思路点拨】
本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断a<0，c>0，
b>0，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．
【解题过程】
解：由图象可知：a<0，c>0，
b
∵− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①错误；
b
∵对称轴为x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∵a<0，c>0，
∴9a+6b+c=9a−12a+c=c−3a>0，故②错误，
∵抛物线与x轴的交点在−1与0之间，对称轴为x=1，另一个交点在2与3之间，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c<0，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，
∴(4a−2b+c)(4a+2b+c)<0，
∴(4a+c) 2−4b2<0，
∴(4a+c) 2<4b2，故③符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当x=1时，有最大值，
∴a+b+c>0，
若方程cx2+bx+a=0的解为x =1，则a+b+c=0，
1
∴④错误；
当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c>am2+bm+c，
∴a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，故⑤正确；
综上：正确的有③⑤，
故答案为：③⑤．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该
1
函数图象经过点(−2,0)，对称轴为直线x=− ．对于下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③
2
1 1
a+b+c=0；④am2+bm< (a−2b)（其中m≠− ）；⑤若A(x ,y )和B(x ,y )均在该函数图象上，
4 2 1 1 2 2
且x >x >1，则y >y ．其中正确结论有 ．（填写序号）
1 2 1 2
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与x轴的一个交点(−2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x
轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b=a,c=−2a，再根据抛物线开口朝下，可得a<0，进而可
得b<0，c>0，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与x轴两个交点可以判断出②正确，根据
1 2 1 1 1 1 1 2
am2+bm=a(m+ ) − a， (a−2b)=− a，a<0，m≠− ，可以得到a(m+ ) <0，从而得到④
2 4 4 4 2 2
正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．
【解题过程】
1
解：∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(−2,0)，
2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，
把(−2，0)，(1，0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得：
{4a−2b+c=0)
，
a+b+c=0
{ b=a )
解得 ，
c=−2a
∴a+b+c=a+a−2a=0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∴b=a<0，c=−2a>0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y=0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，故②正确；
1 2 1 1 1 1
∵am2+bm=am2+am=a(m+ ) − a， (a−2b)= (a−2a)=− a，
2 4 4 4 4
1 1 2
∴am2+bm− (a−2b)=a(m+ ) ，
4 2
1
又∵a<0，m≠− ，
2
1 2
∴a(m+ ) <0，
2
1 1
即am2+bm< (a−2b)（其中m≠− )，故④正确；
4 2
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线开口朝下，
2
1
∴可知二次函数，在x>− 时，y随x的增大而减小，
2
1
∵x >x >1>− ，
1 2 2
∴y 0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(−6,y ),(5,y )，则
1 2
y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是 （请填写序
1 2
号）．【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌
握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出
3
a= b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设
2
(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点
1 2 1 2
的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【解题过程】
( 1 )
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为 − ,n ，
3
b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，即ab>0，
2a 3
由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，
∴b<0，
当x=0时，y=c>0，
∴abc>0，故①正确，符合题意；
1
②∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
b 1
∴− =− ，
2a 3
b 1
∴ = >0，
2a 3
3
∴a= b
2由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，
5
∴ b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；
2
1
③∵直线x=− 是抛物线的对称轴，
3
设(−6,y ),(5,y )两点横坐标与对称轴的距离为d ，d ，
1 2 1 2
| ( 1)) 17 | ( 1)) 16
则d = −6− − = ，d = 5− − = ，
1 3 3 2 3 3
∴d 1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线
4a
1
上，则t>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则01
4a
，根据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac−b2<4a,即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5 的右侧，得出(1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离，
根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b−1) 2−4ac=0，把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1
c 1 1
，即1−b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出 mn= =1，即 n= ，根据n≥3，得出 ≥3，
a m m
求出m的取值范围，即可判断④正确．
【解题过程】
解：①图象经过(1，1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x
轴的交点 都在(1，0)的左侧，
∵(n,0)中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1，1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1，
即b=1−a−c=1−(a+c),
∵a<0，c<0，
∴a+c<0,
∴b>0，故①错误；
c
②∵a<0，b>0，c<0， >0，
a
∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，
即mn>0，
∵n≥3，
∴m>0，
m+n
∴ >1.5，
2
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点(1，1)的上方或者右上方，4ac−b2
∴ >1，故②正确；
4a
③∵m>0，
m+n
∴当n=3时， >1.5，
2
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴(1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离，
∵a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t>1，故③正确；
④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b−1)x+c=0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴Δ=(b−1) 2−4ac=0．
∵把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c,
∴(a+c) 2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c) 2=0，
∴a−c=0，
即a=c,
∵(m,0)，(n,0)在抛物线上，
∴m,n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
c
∴mn= =1，
a
1
∴n= ，
m
∵n≥3，
1
∴ ≥3，
m
1
∴0
