专题 22.1 二次函数图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②
9a+3b+c<0；③2c<3b；④a+b>m(am+b)(m≠1)；⑤若方程|ax2+bx+c)=1有四个根，则这四个
根的和为2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
b
①由二次函数图像性质知，开口向下，则a<0．再结合对称轴x=1，有− =1，即b=−2a，则b＞0．
2a
据二次函数图像与y轴正半轴相交得c>0；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
b
则当x=3时， y<0，即可判断；③− =1，得b=−2a，当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，所以
2a
2a−2b+2c<0，把a替换成b计算；④x=1时函数有最大值，所以当x=1时的y值大于当x=m(m≠1)时
的 y值，即a+b+c>m(am+b)+c，所以a+b>m(am+b)(m≠1)成立；⑤当ax2+bx+c=1时，有
b
ax2+bx+c−1=0， 此 时 有 x +x =− ， 当 ax2+bx+c=−1时 ， 有 ax2+bx+c+1=0， 此 时 有
1 2 a
b 2b
x +x =− ，则有x +x +x +x =− ，即可判断．
3 4 a 1 2 3 4 a
【解题过程】
解：∵图像开口向下，
∴a<0，∵对称轴x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc<0，
故①正确；
由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，
∴当x=3时，y<0，
即9a+3b+c<0，
故②正确；
∵根据图像可知，当x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
∴2a−2b+2c＜0，
∴结合b=−2a，有−3b+2c＜0，
∴2c<3b，
故③正确；
∵x=1时，有y=a+b+c，且此时y值达到最大，
又∵x=m(m≠1)时，有y=am2+bm+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b>m(am+b)(m≠1)成立，
故④正确．
根据|ax2+bx+c)=1有四个根，
可得ax2+bx+c=1和ax2+bx+c=−1各有两个根，
b
当ax2+bx+c=1时，有ax2+bx+c−1=0，此时有x +x =− ，
1 2 a
b
当ax2+bx+c=−1时，有ax2+bx+c+1=0，此时有x +x =− ，
3 4 a
2b
则有x +x +x +x =− ，
1 2 3 4 ab
∵− =1，
2a
2b
∴− =4，
a
即：|ax2+bx+c)=1的四个根和为4，
故⑤错误．
综上：①②③④正确，
故选：C．
1
1．（2023·四川广元·统考二模）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的部分图象如图．对称轴为x= ，且经过
2
( 1 ) (5 )
点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a−2b+c>0；④若 − ,y ， ,y 是抛物线上
2 1 2 2
1 1
的两点，则y >y ；⑤ b+c>m(am+b)+c（其中m≠ ）．正确的结论有（ ）
1 2 4 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
1
抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x= ，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：
2
b=-a；根据二次函数的对称性可得出4a-2b+c＜0；当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物
1 1
线开口向下，对称轴是x= ，可知当x= 时，y有最大值．
2 2
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，b 1
∵对称轴x=− = ，即b=-a，
2a 2
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
又可知b=-a，
∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0，
故②正确；
1
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），且对称轴为直线x=
2
∴点（2，0）关于对称轴的对称点为（-1，0），
∴当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
故③不正确；
1 1 ( 1) 5 1
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x= ，且 − − =1, − =2，
2 2 2 2 2
∴y＞y，
1 2
故选④正确；
1
∵抛物线开口向下，对称轴是x= ，a=-b，
2
1 1 1 1
∴当x= 时，抛物线y取得最大值y = a+ b+c= b+c，
2 max 4 2 4
1
当x=m时，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠ ，
2
∴ymax＞ym，
故⑤正确，
综上，结论①②④⑤正确，
故选：C．
2．（2023·山东青岛·统考二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；
②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax2+bx＝ax2+bx，且x≠x，则
1 1 2 2 1 2
x+x＝2．其中正确的个数为（ ）
1 2A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
b
根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可
2a
判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到
抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax2+bx＝ax2+bx 先移项，再分解因式得到（x﹣x）[a
1 1 2 2 1 2
b
（x+x）+b]＝0，而x≠x，则a（x+x）+b＝0，即x+x＝﹣ ，然后把b＝﹣2a代入计算得到x+x＝2
1 2 1 2 1 2 1 2 a 1 2
可对⑤进行判断．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
b
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
2a
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；∵ax2+bx＝ax2+bx，
1 1 2 2
∴ax2+bx﹣ax2﹣bx＝0，
1 1 2 2
∴a（x+x）（x﹣x）+b（x﹣x）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x﹣x）[a（x+x）+b]＝0，
1 2 1 2
而x≠x，
1 2
b
∴a（x+x）+b＝0，即x+x＝﹣ ，
1 2 1 2 a
∵b＝﹣2a，
∴x+x＝2，所以⑤正确．
1 2
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选：C．
3．（2023春·广东广州·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点
(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点
( 1 ) (7 )
A(−3,y )、点B − ,y 、点C ,y 在该函数图象上，则y <y <y ；⑤若方程
1 2 2 2 3 1 3 2
4a b
a(x+1)(x−5)=−3的两根为x 和x ，且x <x ，则x <−1<5<x ；⑥ + =−4， 其中正确的结论
1 2 1 2 1 2 b a
有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
b
利用对称轴方程得到− ＝2，则b＝−4a，于是可对①进行判断；利用x＝−3时，y＜0可对②进行判断；
2a
利用图象过点（−1，0）得到a−b＋c＝0，把b＝−4a代入得到c＝−5a，则8a＋7b＋2c＝−30a，然后利用a＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A、B、C点到对称轴的距离的大小得到y＜y＜
1 2
y．则可对④进行判断．根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线
3
解析式为y＝a（x＋1）（x−5），所以方程a（x＋1）（x−5）＝−3的两根x 和x 为抛物线y＝a（x＋1）
1 2
（x−5）与直线y＝−3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断； 根据b＝−4a，可对⑥进行
判断．
【解题过程】
b
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝− ＝2，
2a
∴b＝−4a，即4a＋b＝0，所以①正确；
∵x＝−3时，y＜0，
∴9a−3b＋c＜0，即9a＋c＜3b，所以②错误；
∵抛物线经过点（−1，0），
∴a−b＋c＝0，而b＝−4a，
∴a＋4a＋c＝0，则c＝−5a，
∴8a＋7b＋2c＝8a−28a−10a＝−30a，
∵a＜0，
∴8a＋7b＋2c＞0，所以③正确；
7
∵点A（−3，y）到直线x＝2的距离最大、点C（ ，y）到直线x＝2的距离最小，抛物线开口向下，
1 2 3
∴y＜y＜y．所以④错误．
1 2 3
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（−1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x−5），
∴方程a（x＋1）（x−5）＝−3的两根x 和x 为抛物线y＝a（x＋1）（x−5）与直线y＝−3的交点的横坐
1 2
标，
∴x＜−1＜5＜x；所以⑤正确；
1 2
∵b＝−4a，
4a b
∴ + =(−1)+(−4)=−5，故⑥错误；
b a
故选A．
4．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物a−b
线与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：① <0；②
c
1
4ac+2b=−1；③a=− ；④当b>1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N
4
（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a<0，b>0，c>0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B
（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（−2，0）和点B（2c，0），再结合
c 1 1
韦达定理可得x•x＝ ＝（−2）×2c＝-4c，可得a＝- ，即可判断③正确；根据a＝- ， 4ac+2b＝-1，可
1 2 a 4 4
1
得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝- x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1），继而可
4
求得A（−2，0），B（4b+2，0）．所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝
1
90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形， PQ＝ AB＝2b+2，得P（2b，2b+2），且
2
2b+2<b2＋2b+1，解得b＞1或b＜−1，故可判断④正确．
【解题过程】
解：∵A（−2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a<0，b>0，c>0．
①：∵a<0，b>0，
∴a−b<0，
a−b
∴ <0．故①正确；
c②：把B（2c，0）代入解析式，得：4ac2+2bc＋c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b＋1＝0，
即4ac+2b＝-1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A（−2，0）和点B（2c，0），
∴x＝−2和x＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
1 2
c
由韦达定理可得：x•x＝ ＝（−2）×2c＝-4c，
1 2 a
1
∴a＝- ．故③正确；
4
④：如图，
1
∵a＝- ，4ac+2b＝-1，
4
∴c＝2b+1．
1
故原抛物线解析式为y＝- x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1）．
4
∵C（0，2b+1），OB＝2OC，
∴A（−2，0），B（4b+2，0）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
1 1
∴PQ＝ AB＝ [4b+2-（−2）]＝2b+2，
2 2
∴P（2b，2b+2），且有2b+2<b2＋2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜−1，这与b>1一致，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．对称轴是直线x=−1
4a+2b+c
，有以下结论；①abc<0；② >b；③c−a>1；④若抛物线上三点坐标为(−1−❑√3,y )，
4 1
2
(−1+❑√3,y )，(❑√3,y )，则y >y >y ；⑤b<− c，其中正确的结论是（ ）
2 3 3 2 1 3
A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②③⑤
【思路点拨】
b
①由抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，得a，c的正负，由对称轴x=− =−1，得b的正负，即可
2a
判断①；
4a+2b+c
②由x=−2时，y>0，得4a−2b+c>0，进而得 的取值范围，即可判断②；
4
③由函数图象与y轴的交点位置可知，c>1，进而得出c−a>1−a，即可判断③；
④由函数的性质得出y ，y ，y 的大小关系，即可判断④；
1 2 3
⑤由当x=1时，y<0，得a+b+c<0，把a换成b，则可得出b，c的关系式，即可判断．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a<0，c>0，
b
∵对称轴x=− =−1，即b=2a，
2a
∴b<0，
∴abc>0，
故①错误；
由图象知，当x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，∴4a+2b+c>4b，
4a+2b+c
∴ >b，
4
故②正确；
由函数图象与y轴的交点位置知，c>1，
∵a<0，
∴c−a>c，
∴c−a>1，
故③正确；
抛物线开口向下，对称轴是直线x=−1，
(−1+❑√3)+(−1−❑√3)
=−1，
2
∴y = y
1 2
又−1+❑√3<❑√3
∴y = y >y ，
1 2 3
故选④错误；
由图象知，当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，
∵b=2a，
3
∴ b+c<0，
2
2
∴b<− c
3
故⑤正确；
综上可知，②③⑤正确，
故选：D．
6．（2023·安徽六安·校考三模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像过点(−1,0)，
对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点
( 1 ) (7 )
A(−3,y )，点B − ,y 、点C ,y 在该函数图像上，则y <y <y ；（5）若方程
1 2 2 2 3 1 3 2
a(x+1)(x−5)=−3的两根为x 和x ，且x <x ，则x <−1<5<x ．其中正确的结论有（ ）
1 2 1 2 1 2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线
经过(-1， 0)和(5， 0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二
次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解题过程】
b
解：①正确：∵- =2 ，
2a
所以4a+b=0．故①正确．
②错误：∵x=-3时， y<0，
∴9a- 3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误．
③正确，由图像可知抛物线经过(- 1，0)和(5，0) ，
∴ a-b+c= 0
25a + 5b+c= 0
解得b= -4a，c= -5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a<0，
∴8a+ 7b+2c>0 ，故③正确．
1 7
④错误，∵点A(-3，y)、点B(- ，y)、点C( ，y)
1 2 2 2 3
∵3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ，
∴1.5< 2.5
点C离对称轴的距离近，
∴y>y，
3 2∵a<0 ， -3< -0.5<2，
∴y<y
1 2
∴y<y<y，故④错误．
1 2 3
⑤正确．
∵a<0 ，
3
∴(x+1)(x-5)=- >0 ，
a
即(x+1)(x-5)>0 ，
故x<-1或x>5 ，故⑤正确．
∴正确的有三个，
故选B．
7．（2023春·山东济南·九年级统考开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一
象限，且过点(0,1)和(−1,0)．下列结论：①ab>0；②b2−4ac>0；③0<a+b+c<2；④0<b<1；⑤当
时y>−1，x>0．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【思路点拨】
由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①错误；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0，由此判定②正确；
由抛物线过点(−1,0)，得出a−b+c=0，即a=b−1，由a<0得出b<1；由a<0，及ab<0，得出b>0，
由此判定④正确；
由a−b+c=0，及b>0得出a+b+c=2b>0；由b<1，c=1，a<0，得出a+b+c<a+1+1<2，由此判定
③正确；
由图象可知，当−1<y<0时，x<0；由此判定⑤错误．
【解题过程】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(−1,0)，∴c=1，a−b+c=0．
b
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=− >0，
2a
∴a与b异号，∴ab<0，∴原结论错误；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，正确；
④∵抛物线开口向下，∴a<0，
∵ab<0，∴b>0．
∵a−b+c=0，c=1，∴a=b−1，
∵a<0，∴b−1<0，b<1，
∴0<b<1，正确；
③∵a−b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b>0．
∵b<1，c=1，a<0，
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2，
∴0<a+b+c<2，正确；
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(−1,0)，
由函数图象可知，当−1<y<0时，x<0，原结论错误．
综上所述，正确的结论有②③④．
故选：C．
8．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(−2,0)
，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③
9a+3b+c>0；④8a+c=0；⑤若ax2+bx+c=−1有解x 、x ，满足x <x ，则x <−2，x >4；其中正
1 2 1 2 1 2
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】
根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交
点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0)，由当x=3时，y>0，可判断③；由当
x=−2时，y=0，可判断④；把ax2+bx+c=−1看为y=ax2+bx+c与y=−1的图象的交点问题，可判断
⑤；从而解决问题．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵该函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，故②不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点(−2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0)，
∴当x=3时，y=9a+3b+c>0，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，
∴4a−2b+c=0，
∵b=−2a，
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，故④正确；
函数图象与x轴的交点坐标分别为(−2,0)和(4,0)，
令y=−1，则ax2+bx+c=−1，
∴直线y=−1与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标分别为x 、x ，
1 2
∴由图象可知：x <−2，x >4，故⑤正确；
1 2
故正确的有4个，
故选：D．
9．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的一部分如图所示，已知图像经过点(−1,0)，其对称轴为直线x=1．下列结论：①abc<0；②b2−4ac<0；
③8a+c<0；④9a+3b+2c<0；⑤点C(x ,y )D(x ,y )是抛物线上的两点，若x <x ，则y <y ；⑥
1 1 2 2 1 2 1 2
若抛物线经过点(−3,n)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c−n=0(a≠0)的两根分别为-3，5；其中正确
的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
b
根据二次函数的性质和函数图像可得a＜0、− =1、c＞0、a−b+c=0，然后再进行适当变形即可
2a
解答．
【解题过程】
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，即b=−2a>0
2a
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴b2−4ac>0，故②错误；
∵抛物线经过点(−1,0)
∴a−b+c=0
∵b=−2a
∴a−(−2a)+c=0，即3a+c=0．
∴8a+c=3a+c+5a=5a＜0，故③正确；∵抛物线经过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，
∴抛物线也过点（3，0），
∴当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．
∵c＞0，
∴9a+3b+2c=9a+3b+c+c=c>0，故④错误；
∵对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，x <x ，则y <y ；当当x>1时，x <x ，则y >y ，故⑤错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
∵抛物线经过点(−3,n)，其对称轴为直线x=1，
∴根据对称性可知：抛物线必经过点(5,n)，
∴当y=n时，x=−3或5．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c−n=0(a≠0)的两根分别为−3，5，故⑥正确
综上，正确的结论有：①③⑥．
故选：B．
10．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其顶点坐标为
(−1,n)，且过点(0,1)．有以下四个结论：①4a−b+c>1；②3a+c<0；③一元二次方程
( 1 ) (7 )
ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根；④若点A(−2,y )、B − ,y 、C ,y 在该函数图象
1 2 2 2 3
上，则y <y <y ；⑤a−b≥m(am+b)（m为常数）．其中正确结论的个数是（ ）
1 3 2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拨】
根据顶点横坐标，与y轴交点，可得b=2a，c=1，从而判断①；再根据图象得到x=1时，函数值小于0
可判断②；再根据y=ax2+bx+c图象和直线y=n−1必有两个不同的交点可判断③；再根据二次函数图
象对称轴和开口方向，结合点的横坐标可判断④；最后根据函数的最大值，得到am2+bm+c≤a−b+c，
变形可判断⑤．
【解题过程】解：∵二次函数图象顶点坐标为(−1,n)，且过点(0,1)，
b
∴− =−1，c=1，
2a
∴b=2a，
又开口向下，
∴a<0，
∴4a−b+c=4a−2a+1=2a+1<1，故①错误；
由图可知：当x=1时，y=a+b+c=3a+c<0，故②正确；
由图象可知：当x=−1时，y=n，图象开口向下，
∴y=ax2+bx+c图象和直线y=n−1必有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故③正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=−1，开口向下，
( 1 ) (7 )
在A(−2,y )、B − ,y 、C ,y 三点中，
1 2 2 2 3
1 7
−2<−1<− < ，
2 2
∴点B离对称轴最近，点C离对称轴最远，
∴y >y >y ，故④错误；
2 1 3
∵图象顶点坐标为(−1,n)，即y=n为最大值，
∴当x=m时，am2+bm+c≤a−b+c，
∴a−b≥m(am+b)，故⑤正确；
综上：正确结论的个数为3个，
故选B．
11．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像，其顶
点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛
物线另一个交点(m,0)在−2到−1之间；④当x<0时，ax2+(b+2)x<0；⑤一元二次方程
1
ax2+(b− )x+c=0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x=1时，y=n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的
对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【解题过程】
解：∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，即抛物线的对称轴为x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，故结论①错误；
②当x=1时，y=n，
∴a+b+c=n，
∴b=−2a，
∴c−a=n，故结论②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，即对称轴为x=1，
又∵该抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，
∴抛物线另一个交点(m,0)在−2到−1之间，故结论③正确；
④将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像向下平移c个单位后图像过原点，
即可得抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图像，
画出直线y=−2x，如下图，根据图像可知，当x<0时，ax2+bx<−2x，
即ax2+(b+2)x<0，故结论④正确；
1
⑤一元二次方程ax2+(b− )x+c=0，
2
1 2
则Δ=(b− ) −4ac
2
根据图像可知：a<0,c>0，
∴−4ac>0，
1 2
∴Δ=(b− ) −4ac>0，
2
1
∴一元二次方程ax2+(b− )x+c=0有两个不相等的实数根，故结论⑤正确．
2
综上所述，结论正确的有②③④⑤，共计4个．
故选：C．
12．（2023春·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点
(1,2)，与x轴交点的横坐标分别为x ，x ，其中−1<x <0，1<x <2．下列结论：①abc>0；
1 2 1 2
②2a+b<0；③当x=m (1<m<2)时，am2+bm<2−c；④b>1．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【解题过程】
解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴ − >0，
2a
∴a，b异号，
∴b>0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0．
∴abc<0．故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点的横坐标为x ，x ，其中−1<x <0，1<x <2．
1 2 1 2
1 b
∴0< (x +x )<1，即0<− <1．
2 1 2 2a
∴0<b<−2a，
∴2a+b<0．故②正确；
③当x=m时，y =am2+bm+c，
1
当x=1时，y =2．
2
∵1<m<2，
∴点(m,y )，(1,2)都在对称轴的右侧，
1
根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小可得当x=m (1<m<2)时，am2+bm<2−c
．故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过点(1,2)，
∴a+b+c=2，
∴−a−b−c=−2．
∵由图象可得，当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴−2b<−2．解得b>1．故④正确．
综上所述，②③④都正确．
故选：C．
13．（2023·四川成都·统考一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(−1，0)，与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结
论：①abc<0；②9a+3b+c=0；③4ac−b2<2a；④2b=3a．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【思路点拨】
①由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B的范围，即可得出a>0、b<0、c<0，进而
可得出abc>0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为
(3，0)，进而可得出9a+3b+c=0，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵坐标
4ac−b2
<−1，结合a>0可得出4ac−b2<−4a<2a，结论③正确；④由抛物线对称轴为x=1可得出
a
b=−2a，结论④错误．综上即可得出结论．
【解题过程】
解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两
点），
b
∴a>0，﹣− =1，c<0，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，结论①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(−1，0)，对称轴为直线x=1，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴9a+3b+c＝0，结论②正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两
点），
4ac−b2
∴抛物线顶点纵坐标 <−1，
a
∵a>0，∴4ac−b2<−4a<2a，结论③正确；
④∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，即b=−2a，结论④错误．
2a
综上所述，正确的结论有：②③．
故选：D．
14．（2023·全国·九年级假期作业）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于
A(x ，0)，B(x ，0)两点，若−2<x <−1，则下列四个结论：①3<x <4，②3a+2b>0，③
1 2 1 2
b2>a+c+4ac，④a>b>c，⑤a(m+1)(m−1)<b(1−m)．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和
x=−1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a−b+c<0，
即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值，且为a+b+c．又可求出
a(m+1)(m−1)−b(1−m)=am2+bm+c−(a+b+c)，结合对于任意实数m，都有y ≥ y =a+b+c，即
m 1
可得出a(m+1)(m−1)−b(1−m)≥0，即可判断⑤．
【解题过程】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x ，0)，B(x ，0)两点，且
1 2
−2<x <−1，
1
∴3<x <4，故①正确；
2
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，
b
∴其对称轴为直线x=1，即− =1，
2a
∴b=−2a，∴3a+2b=3a−4a=−a．
由图象可知该抛物线开口向上，
∴a>0，
∴3a+2b=−a<0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0．
由图象结合题意可知当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c<b．
∵a>0，
∴b=−2a<0，
∴a+c<0，
∴b2−4ac>a+c，即b2>a+c+4ac，故③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a>0，c<0，
∴a>c，
由③可知a−b+c<0，b=−2a，
∴3a+c<0，
∴c<−3a，
∴b>c，
∴a>b>c，故④错误；
由图象可知当x=1时，y有最小值，且为a+b+c．
∵a(m+1)(m−1)−b(1−m)=am2+bm−a−b=am2+bm+c−(a+b+c)，
又∵对于任意实数m，都有y ≥ y =a+b+c，
m 1
∴am2+bm+c−(a+b+c)≥0，即a(m+1)(m−1)−b(1−m)≥0，
∴a(m+1)(m−1)≥b(1−m)，故⑤错误．
故选B
15．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴分别
交于A，B两点，交y轴于点C．现有下列结论：①a+b+c>0；②b2−4ac>0；③3a+c<0；④
ax2+bx+a≥0．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据x=1时y=a+b+c>0，可判断①；根据抛物线与x轴有两个交点，可判断②；根据对称轴为直线
b
x=−1，可得− =−1，结合①可判断③；根据y=ax2+bx+a与x轴的交点位置，可判断④．
2a
【解题过程】
解：由图可知，当x=1时，y=a+b+c>0，
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，
∴ Δ=b2−4ac>0，
故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，
b
∴ − =−1，
2a
∴ b=2a，
∵ a+b+c>0，
∴ a+2a+c=3a+c>0，
故③错误；
由图可知，当x=−1时，y取最小值，最小值为a−b+c，
y=ax2+bx+a的图象相当于y=ax2+bx+c的图象上向平移(a−c)个单位，
∵ a−b+c+(a−c)=2a−b=0，
∴ y=ax2+bx+a的图象与x轴有且只有一个交点，又∵抛物线开口向上，
∴ ax2+bx+a≥0，
故④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选C．
16．（2023·山东青岛·统考一模）如图，是抛物线y =ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点
1
坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y =mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下
2
列结论：①2a+b=0； ②抛物线与x轴的另一个交点是（−2，0）；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的
实数根；④当时1<x<4，有y <y ；⑤若ax 2+bx =ax 2+bx ，且x ≠x ；则x +x =1．则命题正确
2 1 1 1 2 2 1 2 1 2
的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【思路点拨】
先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断①，利用抛物线的对
称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶点的位置可判断③，利用二次函数图
像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据ax2+bx =ax2+bx
可得出y=y，利用对称性与
1 1 2 2 1 2
对称轴关系可判断⑤即可．
【解题过程】
解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴y =a(x-1) 2+3，
1
把B点坐标代入得a(4-1) 2+3=0，
1
解得a=− ，
31 1 2 8
抛物线y =− (x-1) 2+3=− x2+ x+ ，
1 3 3 3 3
直线y =mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，
2
{ m+n=3 )
∴ ，
4m+n=0
{m=−1)
解得 ，
n=4
直线y =−x+4，
2
2
b 3
①∵对称轴为x=− =− =1，则2a+b=0
2a ( 1)
2× −
3
故①正确；
②∵对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是(4,0)，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与x轴的另一个交点是(−2,0)，故②正确；
③∵把抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y=ax2+bx+c−3，
∴顶点坐标A(1,3)变为(1,0)，即抛物线与x只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故③正确；
④当1<x<4时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴y <y ，故④正确；
2 1
⑤若ax2+bx =ax2+bx ，即ax2+bx +c=ax2+bx +c
1 1 2 2 1 1 2 2
即y = y ，
1 2
则x ,x 关于函数的对称轴对称，
1 2
1
故 (x +x )=1，即x +x =2，故⑤错误，
2 1 2 1 2
∴命题正确的有①②③④四个．
故选：B．
17．（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0),B(4,0)，
交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③
a+b>am2+bm（m为任意实数）；④若点Q(m,n)是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大
时，m=1,n=a+b+c，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据二次函数图像与性质，由抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0),B(4,0)，得到对称轴x=1，从
而得到2a+b=0，①正确；由①中b=−2a，抛物线开口向下及抛物线交y轴的正半轴即可确定②错误；
根据二次函数最值即可得到a+b+c≥am2+bm+c，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，
得到S =2(am2−4am)=2a(m−2) 2−8a，利用二次函数图像与性质即可确定④错误．
△QBC
【解题过程】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0),B(4,0)，
−2+4 b
∴对称轴为直线x= =1，即x=− =1，
2 2a
∴2a+b=0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴x=1，开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b>am2+bm（m为任意实数），故③错误，不符合题意；
∵C(0,c)，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
{ t=c ) {
t=c
)
∴ ，解得 c ，
4k+t=0 k=−
4c
∴y=− x+c，
4
将点A(-2,0)代入y=ax2+bx+c，
∴c=−8a，
∴y=ax2−2ax−8a，
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，如图所示：
∵Q(m,n)，
∴P(m,2am−8a)，
∴PQ=n−2am+8a，
1
∴S = ×4×(n−2am+8a)=2(n−2am+8a)，
△QBC 2
∵n=am2−2am−8a，
∴S =2(am2−4am)=2a(m−2) 2−8a，
△QBC
∴当m=2时，△QBC的面积最大，故④不正确，不符合题意；
故选：A．
18．（2023·湖北鄂州·统考二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,2)，且与x轴交点
的横坐标分别为x ，x ，其中−2<x <−1，0<x <1，下列结论：①abc>0；②2a−b<0；③
1 2 1 2
4a−2b+c<0；④(a+c) 2<b2；⑤b2−4ac>−8a．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
①由−2<x <−1，0<x <1，且当x=−1时，y=2>0，可画出图象草图，进行判断即可；②可得
1 2
b
− >−1，进行化简即可；③由x=−2时，y<0，进行判断即可；④由(a+c) 2−b2
2a
=(a+b+c)(a−b+c)进行判断即可；⑤可求b=a+c−2，可化 b2−4ac+8a =(2+a−c) 2 =(2a−b) 2，进行判断即可．
【解题过程】
解：①∵ −2<x <−1，0<x <1，且当x=−1时，y=2>0，
1 2
二次函数的草图如下：
∴a<0，c>0，
∵−2<x +x <0，
1 2
b
∴− <0，
a
∴b<0，
∴abc>0，
故此项正确；
b
②由①得：− >−1，
2a
∴b>2a，
∴2a−b<0，
故此项正确；
③∵当x=−2时，y<0，
∴a×(−2) 2−2b+c<0，
∴ 4a−2b+c<0，
故此项正确；
④∵当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0；
∵当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0；∴(a+c) 2−b2
=(a+b+c)(a−b+c)<0
∴(a+c) 2<b2，
故此项正确；
⑤当x=−1时，y=2，
∴a−b+c=2，
∴b=a+c−2，
b2−4ac+8a
=(a+c−2) 2−4ac+8a
=a2+c2+4+2ac−4a−4c−4ac+8a
=a2+c2+4−2ac+4a−4c
=(2+a−c) 2
=(a−b+c+a−c) 2
=(2a−b) 2，
∵2a−b<0，
∴(2a−b) 2>0，
∴b2−4ac+8a>0，
∴b2−4ac>−8a，
故此项正确；
综上所述：共有5项正确．
故选：D．
19．（2023秋·辽宁朝阳·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量
x与函数值y的部分对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … t m −2 −2 n …1
且当x=− 时，其对应的函数值y>0．有下列结论：
2
1 20
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=− ；④0<m+n< ；其
2 3
中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
利用待定系数法将点(0,−2)，(1,−2)代入解析式求出a+b=0，c=−2，再结合二次函数图象与已知信
1 b
息当x=− 时，y>0得出a>0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴x=− 进而判断③结论；由二次
2 2a
函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点(−1,m)，(2,n)代入解析式得出m+n=4(a−1)
，再由a<0判断④结论．
【解题过程】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），
当x=0时，y=c=−2，
当x=1时，y=a+b+c=−2，
∴a+b=0．
1
∵当x=− 时，其对应的函数值y>0，
2
∴二次函数开口向下，a<0．
∵ a<0，b>0，c<0，
∴abc>0．（①结论符合题意）
∵ x=−2时，y=t，
∴ −2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
b −a 1 −2+3 1
∵对称轴x=− =− = ， = ，（③结论不符合题意）
2a 2a 2 2 2
∴ −2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．（②结论符合题意）
∵x=−1时，y=a−b−2=m，
x=2时，y=4a+2b−2=n，
∴m+n=a−b−2+4a+2b−2=5a+b−4=4(a−1)．
∴m+n<−4．（④结论不符合题意）
∴正确的结论有2个．故选：C．
20．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与
函数值y的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
3
且当x= 时，对应的函数值y<0，有以下结论：
2
①abc>0； ②当x≤0时y随x的增大而增大；
1
③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根的，而且负实数根在− 和0之间；
2
20
④3m−n<− ；其中正确的结论是（ ）
3
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【思路点拨】
①将点(0,2)与点(1,2)代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②先求出抛物线对称轴为：
b 1 3
x=− = ，再根据当x= 时，对应的函数值y<0，函数过点(0,2)与点(1,2)，可以判断抛物线开口向
2a 2 2
1
下，即a<0，b>0，即当x≤ 时，y随x的增大而增大，即当x≤0时y随x的增大而增大；③函数过点
2
3 3
(1,2)且当x= 时，对应的函数值y<0，可知方程ax2+bx+c=0的正实数根在1和 之间，结合抛物线的
2 2
1
对称性可得关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在− 和0之间；④将点(−1,m)与点(2,n)代入解析式
2
得： { a−b+2=m ) ，进而可得3m−n=4a+4，再根据当x= 3 时，对应的函数值y<0，可得 3 a+2<0
4a+2b+2=n 2 4
8
，解得a<− ，问题随之得解.
3
【解题过程】
{ c=2 )
解：①将点(0,2)与点(1,2)代入解析式得： ，
a+b+c=2
可得：a+b=0，c=2，则a、b互为相反数，
∴abc<0，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
b 1
∴抛物线对称轴为：x=− = ，
2a 2
3
∵当x= 时，对应的函数值y<0，函数过点(0,2)与点(1,2)，
2
∴可以判断抛物线开口向下，即a<0，b>0，
1
∴当x≤ 时，y随x的增大而增大，
2
即当x≤0时y随x的增大而增大，
故②正确；
3
③∵函数过点(1,2)且当x= 时，对应的函数值y<0，
2
3
∴方程ax2+bx+c=0的正实数根在1和 之间，
2
1
∵抛物线对称轴为：x= ，
2
1
∴结合抛物线的对称性可得关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在− 和0之间，
2
故③正确；
{ a−b+2=m )
④∵将点(−1,m)与点(2,n)代入解析式得： ，
4a+2b+2=n
∵a+b=0，
{m=2a+2)
∴ ；
n=2a+2
∴3m−n=4a+4，
3
∵当x= 时，对应的函数值y<0，
2
9 3
∴ a+ b+2<0,
4 2
∵a+b=0，
3 8
∴ a+2<0，解得a<− ，
4 320
∴3m−n=4a+4<− ，
3
故④正确；
