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第 04 讲 数列求和
一、单选题
1．在数列 中， ， ，则数列 的前 项
和 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列 的前
2022项和为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
3．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是
根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根
弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数第1根弦在y
轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线 交于点 （ ， ）和 （ ，
），则 ( )
参考数据：取 .
A．814 B．900 C．914 D．1000
4．已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下
列结论错误的是（ ）
A． 的值为2
B．数列 的通项公式为
C．数列 为递减数列D．
5．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 是递增的等差数列， 是 与 的等比中项，且 .若
，则数列 的前 项和 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知数列 的通项公式 为数列 的前n项和，则
___________．
9．数列 的前 项和 ___________.
10．数列 满足 ，前16项和为540，则 __．
三、解答题
11．已知数列 满足 ，设 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 .
12．已知单调递减的正项数列 ， 时满足
． 为 前n项和．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .13．已知数列 的前 项和为 ，点 在曲线 上．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
14．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足
，其中 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和
一、单选题
1．各项都不为0的数列 的前 项和 满足 其中 数列 的前
项和为 若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．20
2．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的
前2021项的和为( )
A． B． C． D．
3．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物
理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数
列 的前2022项和为（ ）
A．2698 B．2697 C．2696 D．2695
4．已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项
和为 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5．记数列 中不超过正整数n的项的个数为 ，设数列 的前n项的和为 ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，
4，···， ， ，···，2，1，···的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．2021
7．已知函数 ，数列 满足 ，数列 的前
项和为 ，若 ，使得 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
8．数列 满足 ， ，则 前40项和为________．
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函数 ，
则 ______．
三、解答题
10．从条件① ，② ，③ ，中任选
一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列 的前 项和为 ，___________.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 使得 .
11．设数列 满足：对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
12．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，当 时，.
(1)计算： ， ；
(2)证明 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
13．已知数列 各项都是正数， ，对任意n∈N*都有 ．
数列 满足 ， （n∈N*）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足cn＝ ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切
n∈N*恒成立，求 的取值范围．
14．已知等比数列 的各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ，数
列 的前 项之积为 ，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，若数列 的前 项和 ，证明： ．
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前
n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．
已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是_______．
三、解答题
3．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
4．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的
等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
5．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是
公比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
6．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．
已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
7．（2011·全国·高考真题（理））等比数列 的各项均为正数，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设bn＝log a＋log a＋…＋log an，求数列 的前 项和 .
3 1 3 2 3
8．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
9．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
10．（2020·全国·高考真题（理））设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差
中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
11．（2019·天津·高考真题（理））设 是等差数列， 是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
12．（2019·天津·高考真题（文）） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，
已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
四、双空题
13．（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以
此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么
______ .
