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专题22.1.2 二次函数y=ax²图像和性质（知识解读）
【直击考点】
（1） y=ax²（a≠0）的图像
（2） y=ax²（a≠0）的图像的性质
（3） y=ax²（a≠0）的实际应用
【学习目标】
1. 会用描点法画出二次函数 的图像，并结合图像理解抛物线、
对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
2. 掌握二次函数 的图像和性质，并解决简单的应用；
【知识点梳理】
考点 1 y=ax²的图像画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0
为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，
并注意变化趋势。
考点2 y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越小
y = ax² a【典例分析】
【考点1 y=ax²的图像】
【例1】（2021秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象．
．
【变式1-1】（2021春•思明区校级期中）画函数y＝ 的图象．
【变式1-2】在同一坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y＝ x2．
（2）y＝﹣x2．【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，画出y＝3x2和y＝﹣ x2的图象．
【例2】（2021秋•淮阴区期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象
是（ ）
A． B．C． D．
【变式2-1】（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数 y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的
图象的大致位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2021秋•立山区期中）如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y
＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2021秋•惠民县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝mx2与一
次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【考点2 y=ax²的图像的性质】
【例3】（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式3-1】（2021秋•衢州期末）抛物线y＝﹣ x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向右 D．向左
【变式3-2】（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
【变式3-3】（2021秋•海州区期末）函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而
．
【例4】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么 a ，a ，a ，a
1 2 3 4
的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
【变式4-1】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；
②y＝ x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序
号） ．【变式4-2】（2019秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么 a a
1 2
（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【变式4-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y
＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
【考点3 y=ax²的实际应用】
【例5】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB时，宽
20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时
才能到达拱桥顶？【变式5-1】（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建
立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
【变式5-2】（2017秋•沧州期末）如图， O的半径为2，C 是函数y＝2x2的图象，C 是
1 2
函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的⊙面积为 ．
【变式5-3】（2021秋•宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时
AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小
时水能漫到拱桥顶？专题22.1.2 二次函数y=ax²图像和性质（知识解读）
【直击考点】
（4） y=ax²（a≠0）的图像
（5） y=ax²（a≠0）的图像的性质
（6） y=ax²（a≠0）的实际应用
【学习目标】
3. 会用描点法画出二次函数 的图像，并结合图像理解抛物线、
对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
4. 掌握二次函数 的图像和性质，并解决简单的应用；【知识点梳理】
考点 1 y=ax²的图像画法：
（2）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0
为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，
并注意变化趋势。
考点2 y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越小
y = ax² a
【典例分析】
【考点1 y=ax²的图像】
【例1】（2021秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象．
【答案】略
【解答】解：列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
描点、连线：．
【变式1-1】（2021春•思明区校级期中）画函数y＝ 的图象．
【答案】略
【解答】解：列表：
描点、连线：
【变式1-2】在同一坐标系中画出下列函数的图象．
（1）y＝ x2．
（2）y＝﹣x2．【答案】略
【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2
﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
2 0 2
y＝ x2
描点、连线可得图象为：
．【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，画出y＝3x2和y＝﹣ x2的图象．
【答案】略
【解答】解：y＝3x2和y＝﹣ x2的图象如图所示．
【例2】（2021秋•淮阴区期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜
0，所以B选项错误；
C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞
0，所以C选项错误；
D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞
0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．【变式2-1】（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数 y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的
图象的大致位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵a＜0，
∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下；
一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•立山区期中）如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y
＝kx﹣2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），
∴排除B选项，
A选项中，抛物线开口向上，k＞0，直线从左至右下降，k＜0，错误，不符合题意．
C选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右下降，k＜0，正确，符合题意．
D选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右上升，k＞0，错误，不符合题意．故选：C．
【变式2-3】（2021秋•惠民县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函
数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），
∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；
A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经
过第一、二、三象限可知m＜0，结论矛盾，A选项不符合题意；
C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经
过第一、二、三象限可知m＜0，结论一致，C选项符合题意；
故选：C．
【考点2 y=ax²的图像的性质】
【例3】（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故选：A．
【变式3-1】（2021秋•衢州期末）抛物线y＝﹣ x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向右 D．向左【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣ x2中，﹣ ＜0，
∴抛物线开口向下，
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 ．
【答案】向上
【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上．
【变式3-3】（2021秋•海州区期末）函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而
．
【答案】减小
【解答】解：
∵y＝ax2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【例4】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么 a ，a ，a ，a
1 2 3 4
的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
【答案】a ＞ a ＞ a ＞ a
1 2 3 4
【解答】解：如图所示：①y＝a x2的开口小于②y＝a x2的开口，则a ＞a ＞0，
1 2 1 2
③y＝a x2的开口大于④y＝a x2的开口，开口向下，则a ＜a ＜0，
3 4 4 3
故a ＞a ＞a ＞a ．
1 2 3 4
故答案为：a ＞a ＞a ＞a
1 2 3 4
【变式4-1】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝ x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序
号） ．
【答案】①③②
【解答】解：①y＝3x2，
②y＝ x2，
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y＝ x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
【变式4-2】（2019秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么 a a
1 2
（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解答】解：如图所示y＝a x2的开口大于y＝a x2的开口，开口向下，则a ＜a ＜0，
1 2 2 1
故答案为：＞．
【变式4-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y
＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．【答案】 a ＞ b ＞ d ＞ c
【解答】解：因为直线 x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，
b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【考点3 y=ax²的实际应用】
【例5】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB时，宽
20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时
才能到达拱桥顶？
【答案】（1） （2）5小时
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得 ．∴y＝ ；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
∴ ＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
【变式5-1】（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建
立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
【变式5-2】（2017秋•沧州期末）如图， O的半径为2，C 是函数y＝2x2的图象，C 是
1 2
函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的⊙面积为 ．
【答案】 2
【解答】解π：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，
∵ O的半径为2，
⊙∴图中阴影部分的面积为： ×22＝2 ．
故答案为：2 ． π π
【变式5-3】（2π021秋•宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时
AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小
时水能漫到拱桥顶？
【答案】（1）y＝﹣ x2； （2）4小时
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2．
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ，
解得a＝﹣ ，b＝﹣1，
∴y＝﹣ x2；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.25＝4（小时）．
所以再持续4小时到达拱桥顶．
