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专题22.1.3 二次函数y=ax²+c（a≠0）图像和性质（知识解
读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会用描点法画出二次函数 y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
2. 掌握二次函数 y=ax²+c（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c
（a≠0）之间联系。
【知识点梳理】
考点 1 y=ax²+c的图像考点 2 y=ax²+c的图像的性质
y=ax²+c的图像和性质列表如下：
考点3 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系
【典例分析】【考点1 y=ax²+c的图像】
【例1】（2021•思明区校级期中）画出函数y＝x2﹣1的图象．
【变式1-1】（2019秋•海沧区校级月考）建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2+3图象．
【变式1-2】（2021•翔安区模拟）画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【变式1-3】画出抛物线y＝2x2+2的图象．
【考点2 y=ax²+c的图像的性质】
【例2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【变式2-1】（2021九上·包河月考）抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，1） C．（0，－1） D．（－2，0）
【变式2-2】（2021九上·宣城期中）抛物线y＝﹣2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（﹣2，1）
【变式2-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，
正确的是（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【例3】（2020九上·蒙城期末）关于二次函数 y=−x2−2 下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值-2 B．有最小值-2
C．对称轴是 x=1 D．对称轴是 x=−1
【变式3-1】（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
1
【变式3-2】（2021九上·澄海期末）二次函数y=− x2+5有最 值为
2
．
【变式3-3】（2021九上·北京市月考）若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，
m)，B(2，n)，则m n(填“<”“＝”或“>”)．
【例4】（2021九上·哈尔滨月考）已知a＜﹣1，点（a﹣1，y）、（a，y）、（a+1，
1 2
y）都在函数y＝x2+5的图象上，则y、y、y 按从小到大排列为 ．
3 1 2 3
【变式4-1】（2021秋•青县月考）一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中
的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式4-2】（2021秋•河西区校级月考）与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开
口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
【变式4-3】（2020九上·密山期末）已知二次函数y＝2x2＋2021，当x分别取x，x
1 2
（x≠x ）时，函数值相等，则当x取2x＋2x 时，函数值为
1 2 1 2
【考点3 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系】
【例5】（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2 相交于
A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【变式5-1】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【变式5-2】（2021九上·深圳期中）已知
y=(m+2)xm2+m−4+1
是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的
增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大
而减小？
【变式5-3】二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．
（1）求a、m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．专题22.1.3 二次函数y=ax²+c（a≠0）图像和性质（知识解
读）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会用描点法画出二次函数 y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物
线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
4. 掌握二次函数 y=ax²+c（a≠0）性质，掌握 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间联系。
【知识点梳理】
考点 1 y=ax²+c的图像
考点 2 y=ax²+c的图像的性质
y=ax²+c的图像和性质列表如下：
考点3 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系【典例分析】
【考点1 y=ax²+c的图像】
【例1】（2021•思明区校级期中）画出函数y＝x2﹣1的图象．
【答案】略
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
【变式1-1】（2019秋•海沧区校级月考）建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2+3图象．
【答案】略
【解答】解：列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
描点、连线画出函数图象：【变式1-2】（2021•翔安区模拟）画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【答案】略
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．
【变式1-3】画出抛物线y＝2x2+2的图象．
【答案】略
【解答】解：y＝2x2+2，列表得：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 10 4 2 4 10
描点，连线，如图：【考点2 y=ax²+c的图像的性质】
【例2】（2021九上·长春月考）抛物线y＝2x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【答案】D
【解答】【解答】解： ∵ 抛物线 y=2x2−3 ，
∴ 该抛物线的顶点坐标为 (0,−3) ，
故答案为：D．
【变式2-1】（2021九上·包河月考）抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，1） C．（0，－1） D．（－2，0）
【答案】B
【解答】【解答】解：抛物线 y=−2x2+1 的顶点坐标为 (0,1) ，
故答案为：B
【变式2-2】（2021九上·宣城期中）抛物线y＝﹣2x2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（﹣2，1）
【答案】B
【解答】【解答】解：抛物线 y=−2x2+1 的顶点坐标是 (0,1) ，
故答案为：B．
【变式2-3】（2021九上·奉贤期中）关于二次函数 y=−2x2+1 的图象，下列说法中，
正确的是（ ）．
A．对称轴为直线 x=1
B．顶点坐标为（-2，1）
C．可以由二次函数 y=−2x2 的图象向左平移1个单位得到；
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．
【答案】D
【解答】【解答】关于二次函数 y=−2x2+1 的对称轴为直线x=0，开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，顶点坐标（0，1），可以由二次函
数 y=−2x2 的图像向上平移1个单位得到．
故答案为：D．
【例3】（2020九上·蒙城期末）关于二次函数 y=−x2−2 下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值-2 B．有最小值-2
C．对称轴是 x=1 D．对称轴是 x=−1
【答案】A
【解答】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2，
∴a＝﹣1，开口向下，有最大值y＝﹣2，
∴选项A符合题意，选项B不符合题意；
∵二次函数y＝﹣x2﹣2的对称轴为直线x＝0，
∴选项C、D不符合题意，
故答案为：A
【变式3-1】（2021九上·海珠期末）函数y＝x2﹣5的最小值是 ．
【答案】-5
【解析】【解答】解：∵x2≥0，
∴x=0时，函数值最小为-5．
故答案为：-5．
1
【变式3-2】（2021九上·澄海期末）二次函数y=− x2+5有最 值为
2
．
【答案】大；5
1
【解答】【解答】解：由y=− x2+5可知：
2
1
a=− <0，开口向下，
2
∴二次函数有最大值，
又其对称轴为y轴，
∴当x=0时，y最大为5，
故答案为：大，5．
【变式3-3】（2021九上·北京市月考）若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则m n(填“<”“＝”或“>”)．
【答案】<
【解答】【解答】因点A(1，m)，B(2,n)在函数的图象上，则有 m=2×12−3=−1，
n=2×22−3=5
所以m＜n
【例4】（2021九上·哈尔滨月考）已知a＜﹣1，点（a﹣1，y）、（a，y）、（a+1，
1 2
y）都在函数y＝x2+5的图象上，则y、y、y 按从小到大排列为 ．
3 1 2 3
【答案】y <y <y
3 2 1
【解答】【解答】解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=x2+5的对称轴
为直线x=0，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴y＜y＜y．
3 2 1
故答案为：y＜y＜y．
3 2 1
【变式4-1】（2021秋•青县月考）一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴
交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，
0），与y轴交于点（0，﹣a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正
半轴，则a＜0，故C有可能；
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•河西区校级月考）与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开
口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
【答案】D
【解答】解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，
即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
即y＝x2+1，
故选：D
【变式4-3】（2020九上·密山期末）已知二次函数y＝2x2＋2021，当x分别取x，x
1 2
（x≠x ）时，函数值相等，则当x取2x＋2x 时，函数值为
1 2 1 2
【答案】2021
【解答】【解答】∵二次函数y＝2x2+2021的对称轴为y轴，x分别取x，x（x≠x ）
1 2 1 2
时函数值相等，
∴ x +x =0 ，
1 2
∴当x取2x+2x 时，函数值y=2021，
1 2
故答案为：2021．
【考点3 y=ax²（a≠0）与 y=ax²+c（a≠0）之间的关系】
【例5】（2020九上·梅河口期末）已知，直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2 相交于
A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (−3,m)
（1）求 a ， m 的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1 （2）（0，0）
【解答】（1）解：把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）解：抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【变式5-1】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝
﹣2时，y＝8．
（1）求a，b的值；
（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
{a=1
【答案】（1） （2）m＝40，n＝±4．
b=4
【解答】（1）解：∵点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，
∴13＝9a+b，
∵当x＝﹣2时，y＝8，
∴8＝4a+b，
{13=9a+b
，
8=4a+b
{a=1
解得： ；
b=4
（2）解：∵a＝1，b＝4，
∴函数解析式为y＝x2+4，
∵点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，
∴m＝36+4＝40，20＝n2+4，
∴n＝±4，
则m＝40，n＝±4．
【变式5-2】（2021九上·深圳期中）已知
y=(m+2)xm2+m−4+1
是关于x的二次函数.
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的
增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大
而减小？
【答案】（1）m=-3，m=2 （2）m=2 （3）m=-3
【解答】（1）因为函数为二次函数
∴m+2≠0，m2+m-4=2
∴m≠-2，m2+m-6=0∴m≠-2，（m+3）（m-2）=0
∴m=-3，m=2
（2）当m=2时，函数为y=4x2+1，有最低点，最低点为（0,1），且x≥0时，y随x的
增大而增大
（3）m=-3时，函数为-x2+1，有最大值，最大值为1，x≥0时，y随x的增大而减小.
【变式5-3】二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．
（1）求a、m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）a=1 （2）当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减
小（3）顶点坐标为(0,0), 对称轴x=0.
【解答】（1）解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1，
则P(1,1),
把P代入 y＝ax2 中得：1=a×1，
∴a=1;
（2）解： 由题（1）得y=x2,
∵a=1>0, 对称轴x=0,
∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小；
（3）抛物线的顶点坐标为(0,0), 对称轴x=0.
