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第 04 讲 点与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 理解点与圆的位置关系，能够准确的运用勾股定理
①点与圆的位置关系
求点到圆心的距离。
②确定圆的条件
2. 学会过已知点画圆。
③反证法
3. 学会应用反证法证明结论。
④三角形的外接圆与外心
4. 认识确定三角形的外接圆与外心。
知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r 点在 圆外 。
（2）如图2：d ＝ r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 圆内 。
题型考点：①点与圆的位置关系的判断。
【即学即练1】
1．已知 O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（ ）
A． O内 B． O上 C． O外 D．无法确定
⊙
【解答】解：∵ O的半径为5cm，OA＝5cm，
⊙ ⊙ ⊙
∴点A在 O上．
⊙
故选：B．
⊙
【即学即练2】
2． O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与 O的位置关系为（ ）
A．点A在 O上 B．点A在 O内 C．点A在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
⊙ ⊙ ⊙
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
⊙
∴点A在 O内．
故选：B．
⊙
【即学即练3】
3．已知 O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O外 B．点P在 O上 C．点P在 O内 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
⊙ ⊙ ⊙
∴d＞r，
⊙
∴点P与 O的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
⊙
【即学即练4】
4．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与 O的位置
关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O外
C．点P在 O上 D．点P在 O上或在 O外
⊙ ⊙
【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），
⊙ ⊙ ⊙∴OP＝ ＝5，
而 O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
⊙
∴点P在 O上．
故选：C．
⊙
知识点02 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：
①由不在 同一直线 上的三点可以确定唯一的圆。
②确定 圆心 与 半径 能确定唯一的圆。
③已知圆的 直径 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
5．下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
6．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项正确，
故选：B．
知识点03 反证法
1. 反证法：
先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 反证法 。
【即学即练1】
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【解答】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于 60°”时，首先应假设：这个三角形中每
一个内角都小于60°，
故选：C．
【即学即练2】
8．用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角．
【解答】证明：假设同一三角形中最多有一个锐角，
则另两个角为直角或钝角，
故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即△ABC中至少有两个角是锐角．
知识点04 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是圆的 内接
三角形 ，圆是三角形的 外接圆 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边的 垂直
平分线 的交点。所以到三角形三个顶点的距离 相等 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
9．如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
⊙ ⊙
A．27° B．31.5° C．37° D．63°
【解答】解：∵AD是 O的直径，
∴∠ABD＝90°，
⊙∵∠C＝∠D＝63°，
∴∠DAB＝90°﹣63°＝27°，
故选：A．
【即学即练2】
10．如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若 O的半径为2，则CD
的长为 ．
⊙ ⊙
【解答】解：连接CO，OB，
则∠O＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵ O的半径为2，
∴BC＝2，
⊙
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝ BC＝ ，
故答案为： ．
【即学即练3】
11．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【解答】解：∵OA＝OB，∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：C．
题型01 点与圆的位置关系
【典例1】
若 P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与 P的位置关系是（ ）
A．在 P内 B．在 P上 C．在 P外 D．无法确定
⊙ ⊙
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
⊙ ⊙ ⊙∴OP＝ ＝5，
又 P的半径r＝4，
∴OP＞r，
⊙
∴原点O在 P外，
故选：C．
⊙
【典例2】
如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作 B，则点C与 B的
位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 B内 B．点C在 B上 C．点C在 B外 D．无法确定
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
⊙ ⊙ ⊙
∴BC＝ AC＝2 ，
∵以点B为圆心，3为半径作 B，
∴R＜d，
⊙
∴点C在 B外．
故选：C．
⊙
【典例3】
已知 O的面积为25 ，若PO＝5.5，则点P在 ．
【解答】解：设圆的半径为R，
⊙ π
根据题意得2 R2＝25 ，解得R＝5，
∵PO＝5.5，
π π
∴PO＞R，
∴点P在 O外．
故答案为 O外．
⊙
【典例4】
⊙
已知点P是线段OA的中点，P在半径为r的 O外，点A与点O的距离为8，则r的取值范围是（ ）
A．r＞4 B．r＞8 C．r＜4 D．r＜8
⊙
【解答】解：∵点P是线段OA的中点，点A与点O的距离为8，
∴OP＝4，
∵P在半径为r的 O外，
∴r＜4．
⊙
故选：C．【典例5】
已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使
得点A，P在 C内，点B在 C外，则半径r的取值范围是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C．3＜r＜4 D．r＞3
【解答】解：由AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在 C内，点B在
C外，得
⊙
3＜r＜4，
⊙
故选：C．
题型02 反证法
【典例1】
用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中
（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于或等于45°
D．每一个内角都大于或等于45°
【解答】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个钝角三
角形中每一个内角都大于等于45°，
故选：D．
【典例2】
用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步
应假设a≤b，
故选：B．
【典例3】
小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确
性，请帮他将步骤补充完整．
已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，
求证： ．
证明：
【解答】解：由命题的结论得：a∥b，
故答案为：a∥b，证明：假设a，b相交于点A，
则过A点有两条直线a，b都平行于c，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设是错误的，
所以a∥b．
【典例4】
用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平
分．
【解答】证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
题型03 三角形的外接圆与外心求角度
【典例1】
如图，△ABC内接于 O，E是 的中点，连接 BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为
（ ）
⊙A．70° B．65° C．60° D．55°
【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴EBC＝∠EAC＝∠EAB＝ ∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
【典例2】
如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．160° C．150° D．130°
【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心，∴∠A、∠BOC同对着 ，
∵∠A＝80°，
∴∠BOC＝2∠A＝160°，
故选：B．
【典例3】
如图，△ABC内接于 O，∠C＝40°，连接OB，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．80°
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝ ＝50°，
故选：B．
【典例4】
如图，等腰△ABC内接于 O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则
∠BDC的度数为（ ）
⊙
A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，
∴∠A＝∠BDC＝40°，
故选：D．
题型04 三角形的外接圆与外心求长度
【典例1】
如图，AD是 O的直径，△ABC是 O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则 O的直径AD＝
．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：如图，连接CD、OC．
∵∠DAC＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴AC＝CD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD＝90°，
⊙
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝CD＝4，
∴AD＝ AC＝4 ．
故答案为：4 ．
【典例2】
如图，△ABC 是圆 O 的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD 是直径，AD＝10，则 AC 的长为
（ ）A． B． C．5 D．5
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝10，
∴CD＝ AD＝5，
∴AC＝ ＝5 ，
故选：D．
【典例3】
如图， O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若 O的半径为4，则弦BC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B． C． D．【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∴∠ODB＝90°，BC＝2BD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ （180°﹣∠BOC）＝30°，
∵OB＝4，
∴OD＝ OB＝2，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝2BD＝4 ，
故选：C．
【典例4】
如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O于点E，垂足为点D．AE、CB的延长线交于点F，若
BF＝4，AB＝8，则BC的长是（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4，OD∥BC，
∴ED为△ABF的中位线，OD为△ABC的中位线，
∴ED＝ FB＝ ×4＝2，BC＝2OD，在Rt△AOD中，OD＝OE﹣ED＝OA﹣2，AD＝4，AD2+OD2＝OA2，
∴42+（OA﹣2）2＝OA2，
∴OA＝5，
∴OD＝3，
∴BC＝6．
故选：D．
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作圆
B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．三角形的外心到三角形各边距离相等
【解答】解：A、经过不共线的三点一定可以作圆，所以A选项错误；
B、等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以C选项错误；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
2．在同一平面内，已知 O的半径为2cm，OP＝5cm，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O圆外 B．点P在 O上
⊙ ⊙
C．点P在 O内 D．无法确定
⊙ ⊙
⊙【解答】解：∵ O的半径为2cm，OP＝5cm，
∴点P到圆心的距离大于圆的半径，
⊙
∴点P在 O外．
故选：A．
⊙
3．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（ ）
A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高的交点
【解答】解：点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的三条垂直平分线交点，
故选：A．
4．如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ACO＝55°，则∠ABC的大小为（ ）
⊙
A．60° B．70° C．40° D．35°
【解答】解：∵∠ACO＝55°，OA＝OC，
∴∠AOC＝70°，
∴∠ABC＝70°÷2＝35°，
故选：D．
5．如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，点D是 上一点，连接OA，AD，BD，若∠OAC＝40°，则∠D
的度数为（ ）
⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
【解答】解：延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠OAC＝40°，
∴∠C＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．
6．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠C＝30°， O的半径为2cm，若点P是 O上的一点，PB＝
AB，则PA的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 cm B．2 cm C． cm D．2cm
【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵ O的半径为2cm，
∴OP＝2cm，
⊙
∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2× ＝ （cm），
∴AP＝2AH＝2 （cm）．
故选：B．
7．如图，E是△ABC的外接圆 O弧BC的中点，连接BE，OE，若∠BAC＝68°，则∠OEB＝（ ）
⊙
A．68° B．65° C．56° D．55°
【解答】解：如图，连接OB，则∠OEB＝∠OBE，
∵E是弧BC中点，
∴ ＝ ，
∵∠BAC＝68°，
∴∠BAE＝∠CAE＝ BAC＝34°，
∴∠BOE＝68°，
∴∠OEB＝ （180°﹣68°）＝56°．
故选：C．
8．如图，在直角坐标系中， A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是 A上
的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（ ）
⊙ ⊙
A． ≤OP≤ B．2≤OP≤4 C． ≤OP≤ D．3≤OP≤4
【解答】解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴B'A＝ ＝ ＝5，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴ ≤OP≤ ，
故选：A．
9．在△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm．以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，点B与 A的位
置关系是 点 B 在 A 上 ．
⊙
【解答】解：∵AB＝3cm，
⊙
∴以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，点B与 A的位置关系是点B在 A上．
故答案为：点B在 A上．
⊙ ⊙
10．如图，△ABC内接⊙于 O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则 O的半径为
．
⊙ ⊙
【解答】解：如图，连接CO和BO，∵∠A＝45°，CD⊥AB于点D，AB＝8，CD＝6，
∴∠ACD＝∠A＝45°，
AD＝CD＝6，
BD＝AB﹣AD＝8﹣6＝2，
∴ ，
∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，（同弧所对圆周角是圆心角的一半）
又∵CO＝BO，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为：
11．如图，△ABC内接于 O，∠ABC外角的平分线交 O于点D，射线AD交CB延长线于点E．若
∠BAC＝28°，BC＝BD，则∠E的度数为 4 0 °．
⊙ ⊙
【解答】解：∵BC＝BD，
∴ ＝ ，
∴∠BAC＝∠BAD＝28°，
∴∠DAC＝∠BAC+∠BAD＝56°，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DBC+∠DAC＝180°，
∵∠DBC+∠DBE＝180°，
∴∠DBE＝∠DAC＝56°，
∵BD平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠DBE＝112°，
∴∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BAD＝40°，
故答案为：40．
12．如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为边AB上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于F，连接AF，
则AF的最小值为 2 ﹣ 2 ．
【解答】解：如图，以BC为直径作 O，连接AO，OF，延长BF交AD于G，
⊙
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F在以BC为直径的 O上，
∵在△AFO中，AF≥AO﹣FO，
⊙
∴当点F在AO上时，AF有最小值，
此时：如图，∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝ ＝ ＝2 ，
∴AF＝2 ﹣2，
∵OF＝OB，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵AD∥BC，
∴∠AGF＝∠OBG，
∴∠AGF＝∠OBG＝∠OFB＝∠AFG，
∴AG＝AF＝2 ﹣2．
13．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ，
∴BD＝CD，
∵BD＝4，
∴BC＝ ＝4 ，
∴△ABC外接圆的半径为2 ．
14．已知△ABC内接于 O，AB＝AC，∠ABC＝72°，D是 O上的点．
（1）如图1，求∠ADC和∠BDC的大小；
⊙ ⊙
（2）如图2，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝∠BAC＝36°；
（Ⅱ）如图②，连接BD，∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ×72°＝36°，
∴∠ACD＝∠ABD＝36°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ODC＝90°﹣36°＝54°．
15．【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题．
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求
证：OE＝OF；
▱
【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 6 ，EF的最小值为 2. 4
．
【解答】【教材原题改编】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥DC，
∴∠EBO＝∠FDO，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF．
【结论应用】解：∵∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，
∴BD＝ ＝4，
∴△ABD的面积＝ AD•BD＝6，
∵△BEO≌△DFO，
∴四边形ADFE的面积＝△ABD的面积＝6，
当EF⊥AB时，EF的值最小，
∵△ABD的面积＝ AD•BD＝ AB•FE，∴3×4＝5FE，
∴EF＝2.4，
∴EF的最小值为2.4．
故答案为：6，2.4．
