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第 04 讲 点与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1. 理解点与圆的位置关系，能够准确的运用勾股定理
①点与圆的位置关系
求点到圆心的距离。
②确定圆的条件
2. 学会过已知点画圆。
③反证法
3. 学会应用反证法证明结论。
④三角形的外接圆与外心
4. 认识确定三角形的外接圆与外心。
知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r 点在 。
（2）如图2：d r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 。
题型考点：①点与圆的位置关系的判断。
【即学即练1】
1．已知 O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（ ）
A． O内 B． O上 C． O外 D．无法确定
⊙
【即学即练2】
⊙ ⊙ ⊙
2． O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与 O的位置关系为（ ）
A．点A在 O上 B．点A在 O内 C．点A在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙
【即学即练3】
⊙ ⊙ ⊙
3．已知 O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O外 B．点P在 O上 C．点P在 O内 D．无法确定
⊙ ⊙
【即学即练4】
⊙ ⊙ ⊙
4．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与 O的位置
关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O外
C．点P在 O上 D．点P在 O上或在 O外
⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙
知识点02 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：
①由不在 上的三点可以确定唯一的圆。
②确定 与 能确定唯一的圆。
③已知圆的 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
5．下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【即学即练2】
6．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
知识点03 反证法
1. 反证法：
先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成
立，这种方法叫做 。
【即学即练1】
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【即学即练2】
8．用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角．
知识点04 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是圆的 内接
三角形 ，圆是三角形的 外接圆 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边的 垂直
平分线 的交点。所以到三角形三个顶点的距离 相等 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
9．如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（ ）
⊙ ⊙A．27° B．31.5° C．37° D．63°
【即学即练2】
10．如图，△ABC内接于 O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若 O的半径为2，则CD
的长为 ．
⊙ ⊙
【即学即练3】
11．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
题型01 点与圆的位置关系
【典例1】若 P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与 P的位置关系是（ ）
A．在 P内 B．在 P上 C．在 P外 D．无法确定
⊙ ⊙
【典例2】
⊙ ⊙ ⊙
如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作 B，则点C与 B的
位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 B内 B．点C在 B上 C．点C在 B外 D．无法确定
【典例3】
⊙ ⊙ ⊙
已知 O的面积为25 ，若PO＝5.5，则点P在 ．
【典例4】
⊙ π
已知点P是线段OA的中点，P在半径为r的 O外，点A与点O的距离为8，则r的取值范围是（ ）
A．r＞4 B．r＞8 C．r＜4 D．r＜8
⊙
【典例5】
已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使
得点A，P在 C内，点B在 C外，则半径r的取值范围是（ ）
⊙ ⊙
A． B． C．3＜r＜4 D．r＞3
题型02 反证法
【典例1】
用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中
（ ）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于或等于45°
D．每一个内角都大于或等于45°
【典例2】
用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b
【典例3】
小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确
性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，
求证： ．
证明：
【典例4】
用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平
分．
题型03 三角形的外接圆与外心求角度
【典例1】
如图，△ABC内接于 O，E是 的中点，连接 BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为
（ ）
⊙A．70° B．65° C．60° D．55°
【典例2】
如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．160° C．150° D．130°
【典例3】
如图，△ABC内接于 O，∠C＝40°，连接OB，则∠ABO的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．80°
【典例4】
如图，等腰△ABC内接于 O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则
∠BDC的度数为（ ）
⊙
A．10° B．20° C．30° D．40°
题型04 三角形的外接圆与外心求长度
【典例1】
如图，AD是 O的直径，△ABC是 O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则 O的直径AD＝
．
⊙ ⊙ ⊙【典例2】
如图，△ABC 是圆 O 的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD 是直径，AD＝10，则 AC 的长为
（ ）
A． B． C．5 D．5
【典例3】
如图， O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若 O的半径为4，则弦BC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B． C． D．
【典例4】
如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O于点E，垂足为点D．AE、CB的延长线交于点F，若
BF＝4，AB＝8，则BC的长是（ ）
⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．61．下列语句中，正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作圆
B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．三角形的外心到三角形各边距离相等
2．在同一平面内，已知 O的半径为2cm，OP＝5cm，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O圆外 B．点P在 O上
⊙ ⊙
C．点P在 O内 D．无法确定
⊙ ⊙
3．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（ ）
⊙
A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点
C．三条中线交点 D．三条高的交点
4．如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ACO＝55°，则∠ABC的大小为（ ）
⊙
A．60° B．70° C．40° D．35°
5．如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，点D是 上一点，连接OA，AD，BD，若∠OAC＝40°，则∠D
的度数为（ ）
⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
6．如图，△ABC是 O的内接三角形，∠C＝30°， O的半径为2cm，若点P是 O上的一点，PB＝
AB，则PA的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 cm B．2 cm C． cm D．2cm
7．如图，E是△ABC的外接圆 O弧BC的中点，连接BE，OE，若∠BAC＝68°，则∠OEB＝（ ）
⊙A．68° B．65° C．56° D．55°
8．如图，在直角坐标系中， A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是 A上
的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（ ）
⊙ ⊙
A． ≤OP≤ B．2≤OP≤4 C． ≤OP≤ D．3≤OP≤4
9．在△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm．以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，点B与 A的位
置关系是 ．
⊙
10．如图，△ABC内接于 O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙
11．如图，△ABC内接于 O，∠ABC外角的平分线交 O于点D，射线AD交CB延长线于点E．若
∠BAC＝28°，BC＝BD，则∠E的度数为 °．
⊙ ⊙
12．如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为边AB上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于F，连接AF，
则AF的最小值为 ．13．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
14．已知△ABC内接于 O，AB＝AC，∠ABC＝72°，D是 O上的点．
（1）如图1，求∠ADC和∠BDC的大小；
⊙ ⊙（2）如图2，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．
15．【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第61页第14题．
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F．求
证：OE＝OF；
▱
【结论应用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，则四边形ADFE的面积为 ，EF的最小值
为 ．
