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专题22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质（专项训练）
1．抛物线 y=3x2 的对称轴是（ ）
A．直线 x=3 B．直线 x=−3 C．直线 x=0 D．直线 y=0
2．若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（ ）
A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)
3．抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
4．若二次函数 y=ax2 (a≠0) 的图象过点 (−2,−3) ，则必在该图象上的点还有（
）
A．(−3,−2) B．(2,3) C．(2,−3) D．
(−2,3)
5．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
6．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3）
C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大
7．二次函数 y=x2 ，当 −1≤x≤3 时，函数值y的取值范围是（ ）
A．1≤ y≤9 B．0≤ y≤9 C．0≤ y≤1 D．y≥0
8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（
）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1
9．若抛物线y=ax2经过点P(−√7,4)，则该抛物线一定还经过点（ ）
A．(4,−√7) B．(√7,4) C．(−4,√7) D．(−√7,−4)1
10．抛物线y=− x2 的开口方向是（ ）
3
A．向上 B．向下 C．向右 D．向左
11．已知点A（－2，y），B（1，y），C（3，y）在二次函数y=−2x2图象上，则
1 2 3
y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0时，y随x增大而增
大，∴二次函数 y=(a−1)x2的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故答案为：B.
9．若抛物线y=ax2经过点P(−√7,4)，则该抛物线一定还经过点（ ）
A．(4,−√7) B．(√7,4) C．(−4,√7) D．(−√7,−4)
【答案】B
【解答】解：由抛物线y=ax2可知抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线y=ax2经过(−√7,4)，
∴点(−√7,4)关于y轴的对称点(√7,4)也在抛物线上，
∴它也经过点(√7,4)．
故答案为：B．
1
10．抛物线y=− x2 的开口方向是（ ）
3
A．向上 B．向下 C．向右 D．向左
【答案】B
1 1
【解答】解：∵y=− x2 中，a=− <0，
3 3
∴二次函数的图像开口向下，
故答案为：B.
11．已知点A（－2，y），B（1，y），C（3，y）在二次函数y=−2x2图象上，则
1 2 3
y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、
三、四象限，当 a<0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除
C ；
故答案为： D ．
13．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D． k﹣1
【答案】B
【解答】解：当a＞0时，
y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在
第一、二、三象限，当a＜0时，
y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在
第二、三、四象限，
故答案为：A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B．
14．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而 .
【答案】减小
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2（a＞0），
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小.
故答案为：减小.
15．若点A(−1,y )，B(2,y )在抛物线y=2x2上，则y ，y 的大小关系为：y
1 2 1 2 1
y （填“＞”，“=”或“＜”）．
2
【答案】＜
【解答】解：∵若点A(−1,y )，B(2,y )在抛物线y=2x2上，
1 2
y=2×（-1）2=2，y=2×4=8，
1 2
∵2＜8，
∴y﹤y．
1 2
故答案为：﹤.
16．已知抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而
.
【答案】减小
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），
∴4＝4a，
即a＝1；
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴x＝0，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小..
故答案为：减小.1
17．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），
2
则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
1
【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
2
∴二次函数的图象是一条抛物线．
1
又∵ g＞0，
2
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．
故答案为：B．
18．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 y=2 ，与二次函数 y=x2 ，
y=ax2 分别交于A、B和C、D，若 CD=2AB ，则a为（ ）
1 1
A．4 B． C．2 D．
4 2【答案】B
【解答】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线 y=2 与二次函数 y=x2 交于A、B，
∴当 y=2 时， x2=2 ，得 x=±√2 ，
∴A(√2,2),B(−√2,2) ，
∴AB=2√2 ,
∵CD=2AB ，
∴CD=4 √2 ，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2 √2 ，
∴D（2 √2 ，2），
将点D的坐标代入 y=ax2 ，得8a=2，
1
解得a= ，
4
故答案为：B．
19．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y
＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
1
【答案】 ≤a≤3
9
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
1
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
9
1
观察图象可知 ≤a≤3，
9
1
故答案为： ≤a≤3．
9
34．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为
圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 √2 ，则图中阴影部分的面积为
【答案】π
【解答】解：∵AB=2 √2 ，
1 1
∴BC= AB= ×2 √2 = √2 ，
2 2
∴点B的横坐标为 √2 ，
代入抛物线解析式得，y=（ √2 ）2=2，
∴OC=2，即圆的半径为2，
1 1
由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即为 ×π×22=π．
4 4
故答案为：π．
20．二次函数y=x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，点A ，A ，A ，…，A
0 1 2 3 2020
在y轴的正半轴上，点B ，B ，B ，…，B 在二次函数y=x2位于第一象限的图象
1 2 3 2020
上，△A B A ，△A B A ，…，△A B A 都是直角顶点在抛物线上的等腰直
0 1 1 1 2 2 2019 2020 2020
角三角形，则△A B A 的斜边长为 ．
2020 2021 2021【答案】4042
【解答】解：如图所示，过点B，B，B 分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E
1 2 3
∵△ABA，△ABA，△ABA…△A B A 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三
0 1 1 1 2 2 2 3 3 9 10 10
角形
∴∠BAA=∠BAA=∠BAA=45°
1 0 1 2 1 2 3 2 3
∴AB 所在直线的解析式为：y=x
0 1
{y=x
由 ，
y=x2
得B（1，1）
1
∴AA=2BC=2
0 1 1
∴A（0，2）
1
∴直线AB 为：y=x+2
1 2
{y=x+2
由 ，
y=x2得B（2，4）
2
∴AA=2BD=4
1 2 2
∴A（0，6）
2
∴直线AB 为：y=x+6
2 3
{y=x+6
由 ，
y=x2
得B（3，9）
3
∴AA=2BE=6
2 3 3
…
由上面AA=2，AA=4，AA=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角
0 1 1 2 2 3
形的斜边长依次加2
∴△A B A 的斜边长为A A :2021×2=4042
2020 2021 2021 2020 2021
故答案为：4042．
21．在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 的图象如图所示．已知A点坐标为 (1,1)
，过点A作 A A //x 轴交抛物线于点 A ，过点 A 作 A A //OA 交抛物线于
1 1 1 1 2
点 A ，过点 A 作 A A //x 轴交抛物线于点 A ，过点 A 作 A A //OA
2 2 2 3 3 3 3 4
交抛物线于点 A …，依次进行下去，则点 A 的坐标为 ．
4 99
【答案】(−50,2500)
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A（ − 1，1），
1
∵AA∥OA，
1 2
∴直线AA 为y=x+2，
1 2
{y=x+2 {x=−1 {x=2
解 ，得 或 ，
y=x2 y=1 y=4∴A（2，4），
2
∴A（ − 2，4），
3
∵AA∥OA，
3 4
∴直线AA 为y=x+6，
3 4
{y=x+6 {x=−2 {x=3
解 ，得 或 ，
y=x2 y=4 y=9
∴A（3，9），A（ − 3，9）,
4 5
A（4,16）,A（-4,16）
6 7
A（4,16）,A（-4,16）…，
8 9
A （n+1,（n+1）2）, A （-n-1,（n+1）2）
2n 7
∴点 A 的坐标为 (−50,2500) ．
99
故答案为： (−50,2500) ．
