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专题 15.2 分式的乘法和除法之六大考点
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【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 分式乘法】........................................................................................................................................1
【考点二 分式除法】........................................................................................................................................3
【考点三 分式乘除混合运算】........................................................................................................................4
【考点四 分式乘方】........................................................................................................................................5
【考点五 含乘方的分式乘除混合运算】........................................................................................................7
【考点六 分式乘除混合运算中化简求值】....................................................................................................9
【过关检测】...........................................................................................................................................11
【典型例题】
【考点一 分式乘法】
例题：（2023秋·八年级课时练习）计算 ．
【答案】
【分析】利用分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的乘法，掌握分式乘法运算法则是解题的关键．
【变式训练】1．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．
2．（2023秋·广西玉林·八年级统考期末）计算： .
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则即可得．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．
3．（2023·吉林·模拟预测）计算 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可得解．
【详解】，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的乘法运算法则是解答本题的关键．
【考点二 分式除法】
例题：（2023秋·八年级课时练习）计算：（1） _____________；（2）
_____________．
【答案】
【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为： ；
（2）
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子 化到最简其结果为____________．
【答案】
【分析】第二个分式的分子和分母先分解因式，再化除法为乘法，然后约分即可．
【详解】解：
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 的结果是______．
【答案】
【分析】利用分式的除法运算法则计算即可得到结果．
【详解】解:
，
故答案为： ．【点睛】此题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解本题的关键．
【考点三 分式乘除混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： ．
【答案】2
【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题
关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；
（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．
【考点四 分式乘方】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方 ，积的乘方运算法则 是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算：（1） ； （2） ﹣a﹣1．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先计算分式的乘方，幂的乘方，再算分式的乘除，最后化为最简分式；
（2）先通分，利用公式展开，再合并同类项．
【详解】解：（1） ；= ，
= ，
= ；
（2） ，
= ，
= ，
= ，
= ．
【点睛】本题考查分式的加减，分式的乘方，幂的乘方，分式乘除混合运算，掌握分式的加减，分式的乘
方，幂的乘方，分式乘除混合运算是解题关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) (2)
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）根据分式的乘方运算法则计算即可；
（2）先计算分式的乘方，再计算分式的除法；
（3）根据分式的乘方运算法则计算即可；
（4）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则是解题的关键．
【考点五 含乘方的分式乘除混合运算】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；
（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） • ÷ ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ；（4）
【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；
（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；
（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；
（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．
【详解】解：（1）原式= ）= ；（2）原式= =1；
（3）原式= = ；
（4）原式= = ．
【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关
键．
【考点六 分式乘除混合运算中化简求值】
例题：（2023秋·广东肇庆·八年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】将除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）化简并求值： ，其中 ．
【答案】 ，9
【分析】先对各分式进行因式分解，然后将除法变为乘法，进行化简，再将 的值代入化简后的式子计
算即可．【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式乘除法的运算法则．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用分式的乘法法则进行化简，最后把 的值代入计算即
可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值．能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解题的关键．【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）下列运算结果为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过约分化简即可判定A、D，根据分式的乘法法则计算判定C，根据分式除法法则计算判定C．
【详解】解：A．原式 ，故此选项不符合题意；
B．原式 ，故此选项符合题意；
C．原式 ，故此选项不符合题意；
D．原式 ，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题词考查分式化简和分式乘除法，熟练掌握分式化简与分式乘除法法则是解题的关键．
2．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
【详解】解：A、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
B、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，本选项符合题意；
D、 ，原计算正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若x为正整数，则计算 的结果是（ ）
A．正整数 B．负整数 C．非负整数 D．非正整数
【答案】C
【分析】先化简分式，再由x为正整数即可判断；
【详解】解：原式=
=
∵x为正整数，
∴ ，
∴ ，
∴计算 的结果是非负整数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的化简，正确理解题意是解本题的关键．
4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，
船在静水中的速度为 千米/时 ，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，
然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶
的时间即可解答．
【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是 千米/时，船在逆水中的速度是 千米/时，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间．
5．（2023秋·河北石家庄·八年级校联考阶段练习）下面是某同学化简分式 的部分计
算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为（ ）
．
① ② ③ ④
A．③②① B．③①② C．④②① D．④①②
【答案】C
【分析】先把除法化为乘法，再约分即可得到答案．
【详解】解：
；
故选C
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，熟记分式的除法的运算的运算法则是解本题的关键．
二、填空题
6．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 ．【答案】
【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键．
7．（2023秋·湖南邵阳·八年级校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】直接根据分式的乘方以及乘除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方以及乘除法混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）若分式 的值为正整数，则整数 的值为 ．
【答案】0或1
【分析】先把分式 进行约分，再根据分式的值是正整数，得出 的取值，从而得出 的值．
【详解】 ，
要使 的值是正整数，则分母 必须是4的约数，
即 或 或 ，
则 或 或 (舍去)，故答案为：0或1．
【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值，利用约分的方法进行分析是解决问题的关键．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）对实数 定义新运算 例如：
，化简 ．
【答案】 或 ．
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析，分别求出化简的结果，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
当 时，即 ，
=
= ；
当 ，即 ，
=
= ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了新定义的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知数列 ， ，……，
，……，设 ，则与 最接近的整数为 ．
【答案】4【分析】先求出 ，则 ，进而得出 ，则 ，把 代入进行计
算即可．
【详解】解：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
当 时， ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
三、解答题
11．（2023秋·山东泰安·八年级青云中学校考阶段练习）计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可；
（2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
12．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算．
13．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解：．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合
运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
14．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（3）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
（4）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序．最后结果分子、分母
要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
15．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】将分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，再将x值代入计算即可．
【详解】解：,
当 时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，正确化简分式是解题关键．
16．（2023秋·八年级课时练习）在解答题目“已知 ，求 的值”时，小明误
将 看成了 ，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？
【答案】见解析
【分析】根据分式的除法法则，对式子进行化简求值，即可．
【详解】解：
．
因为原式结果是常数2，与x的值无关，
所以小明误将 看成了 ，其结果仍然是正确的．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的乘除运算，平方差和完全平方公式的运用．
17．（2023秋·八年级课时练习）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】
【分析】先算乘方，然后计算乘除化简分式，最后代入数值计算解题．
【详解】解：．
当 ， 时，
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
18．（2023秋·八年级课时练习）计算： ．
原式 第一步
．第二步
回答：
(1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________；
(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________；
(3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________．
【答案】(1) ，
(2)约分
(3)二，
【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式，
即 ， ；
故答案为： ， ；
（2）解：第二步所使用的运算方法是约分；故答案为：约分；
（3）解：第二步出现错误，
，
故答案为：二， ．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合
运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收．为了选
育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田，王大伯家试验田是边长为 米 的正方形去掉一
个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家试验田是边长为 米的正方形，两块试验田的
榨菜最后都分别收获了1000kg．
(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)李大爷家的产量高；
(2) ．
【分析】（1）分别计算出两种试验田收获榨菜的单位面积产量，再去比较大小；
（2）利用分式的除法法则计算即可．
【详解】（1）解：王大伯家试验田的面积是： ，则单位产量为： ；
李大爷家试验田的面积是 ，
则单位产量为： ，
，
，
，
，
，
答：李大爷家的榨菜品种单位面积产量高；
（2）解：
，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小的方法是解题的关键．
20．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：
分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只
含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小
于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式，假分数 可以化成
（即 ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式_____形式；
(2)如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值；
(3)若分式 的值为m，则m的取值范围是 （直接写出结果）
【答案】(1)真分式；
(2)满足条件的整数x的值为： ，0，2，4
(3)
【分析】（1）根据题意作答即可；
（2）由题意知 ，由分式的值为整数，则 的值为 、 、1、3，计算求解
即可；
（3）由题意知 ，根据 ，确定 的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知， 的分子的次数小于分母的次数，为真分式，
，
故答案为：真分式， ；
（2）解：由题意知： ，
∵分式的值为整数，则 的值为 、 、1、3，
∴对应的 的值为 ，0，2，4，
∴满足条件的整数x的值为 ，0，2，4；（3）解：由题意知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义，分式的除法运算，不等式的性质等知识．解题的关键在于理解题意并正确的
运算．
