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专题15.28 分式（全章直通中考）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2018·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A． B． C． D．
2．（2019·山东临沂·统考中考真题）计算 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知 ，则分式 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2020·贵州毕节·统考中考真题）已知 ，下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川南充·中考真题）已知 ，且 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且7．（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的
取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
8．（2021·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关
于y的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．（2017·广西北海·八年级统考期末）对于实数a和b，定义一种新运算“（”为： ，
这里等式右边是实数运算，例如： ，则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·重庆·中考真题）若数a使关于x的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且
使关于y的分式方程 =1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2019·黑龙江绥化·统考中考真题）若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
12．（2011·四川广安·中考真题）如果分式 的值为0，则x的值应为 ．
13．（2020·四川南充·统考中考真题）若 ，则 ．14．（2023·四川成都·统考中考真题）若 ，则代数式 ，的值为
．
15．（2020·四川眉山·统考中考真题）关于 的分式方程 的解为正实数，则 的取值范
围是 ．
16．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式 与 的最简公分母是 ，方程
的解是 ．
17．（2021·福建·统考中考真题）已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 ．
18．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据： ， ， ， ，
．记 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·四川雅安·统考中考真题）
（1）计算：
（2）先化简，再求值： ．其中20．（8分）（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
21．（10分）（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中a的值从
不等式组 的解集中选取一个合适的整数．
22．（10分）（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式： ， ， ，
……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
23．（10分）（2020·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式：
第 个等式：第3个等式：
第 个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第 个等式____________；
写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示），并证明．
24．（12分）（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新
时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，
着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积
平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，
已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完
成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施
工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，
已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工
的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
参考答案：
1．D【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原
式的即是答案．
解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
2．B
【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
解：原式
.
故选B．
【点拨】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及
平方差公式的运用．
3．A
【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
解： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
4．B
【分析】各项根据合并同类项、单项式除以单项式以及积的乘方与幂的乘方运算法则求出结果，即可
作出判断．
解：A. 不能进行运算，故此选项错误；
B. ，计算正确，故此选项符合题意；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项错误．
故选：B．
【点拨】此题考查了合并同类项、单项式除以单项式以及积的乘方与幂的乘方运算，熟练掌握运算法
则是解答此题的关键．
5．B
【分析】先将分式进件化简为 ，然后利用完全平方公式得出 ， ，代入计
算即可得出结果．
解：
，
，
∵，
∴
，
∴
，
∵a>b>0
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵a>b>0
，
∴
原式
∴ =
，
故选：B．
【点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范
围．
解：方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
7．D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
解：去分母得 ，
解得 ，
由方程的解为正数，得到 ，且 ， ，
则m的范围为 且 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中
考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
8．B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到 解得 ，再解分式方程得
到 ，根据分式方程的解是正整数，得到 ，且 是2的倍数，据此解得所有符合条件的整
数a的值，最后求和．
解：
解不等式①得， ，
解不等式②得，
不等式组的解集为：解分式方程 得
整理得 ，
则
分式方程的解是正整数，
，且 是2的倍数，
，且 是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5,
故选： ．
【点拨】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相
关知识是解题关键．
9．B
【分析】根据题目中定义的新运算，将 转换为分式方程，求解即可．
解：根据题意∵ ，
即 ，
去分母得： ，
解得： ，
将 代入公分母 ，
∴ 是原分式方程的解，
故选：B．
【点拨】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题
的关键．10．B
【分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得
答案．
解： ，
解①得x≥-3，
解②得x≤ ，
不等式组的解集是-3≤x≤ ．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤ ＜0
∴-8≤a＜-3，
=1，
3y-a-12=y-2．
∴y= ，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y= 有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，
故选B．
【点拨】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
11．
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.
解：由题意，得x-4≠0，
解得：x≠4，
故答案为 .【点拨】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义是解题的关键.
12．
【分析】考查分式的意义．要使分式有意义，分母不等于0．
解：解:根据题目已知条件 =0，x-3≠0；
所以3x2-27=0，x≠3；
所以3x2=27，
解得x= ；
所以x=-3．
故答案为:-3．
13．
【分析】 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 ，代入化简即可
得到结果．
解：
故答案为：-2
【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得 ，再将 变形，即可得到答案．
解： ，
，
，
，
，
，，
故原式的值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
15． 且
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
解：
方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，
解得
，
，且
故答案为： 且
【点拨】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方
程无解的判断方法是解题的关键．
16． x=-4
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
解：∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ，
方程 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，变形得： ，
解得：x=2或-4，∵当x=2时， =0，当x=-4时， ≠0，
∴x=2是增根，
∴方程的解为：x=-4．
【点拨】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
17．4
【分析】由条件 变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
解：由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件 ，变形为x-
y=xy，然后整体代入．
18．
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
解： ；
；
；
，
，
当 时，
原式
，故答案为： ．
【点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
19．（1）4；（2） ， ．
【分析】（1）根据负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质计算，最后
将字母的值代入求解即可
解：（1）
；
（2）
．
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，算术平方
根的性质是解题的关键．
20． ， ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到
最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．
解：= ，
当 时，
原式= = ．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查
了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．
21． ，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
解：原式
；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的整数解有： ，
∵ ，
∴ ，原式 ．
【点拨】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，
是解题的关键．
22．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母
的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为 ．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为 ，用分式的加法计算式子右边即可证明．
（1）解：∵第一个式子 ，
第二个式子 ，
第三个式子 ，
……
∴第（n+1）个式子 ；
（2）解：∵右边= =左边，
∴ ．
【点拨】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分
母的变化规律．
23．（1） ；（2） ，证明见分析．
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
解：（1）由前五个式子可推出第6个等式为： ；
（2） ，证明：∵左边= =右边，
∴等式成立．
【点拨】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式
表示出来．
24．（1）乙队单独完工需要27个月才能完成任务；（2）甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．
【分析】（1）设乙单独完成需要 个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰
好完成任务．”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得： ，可得 ，结合 ， ，可得 ，结合 都
为正整数，可得 为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
（1）解：设乙单独完成需要 个月，则
，
解得： ，
经检验 是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ 都为正整数，
∴ 为3的倍数，
∴ 或 或 ，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为： （万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为： （万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为： （万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为 万元．
【点拨】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等
关系与不等关系是解本题的关键．
