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专题 24.4 弧长和扇形面积
目录
弧长的计算..................................................................................................................................................1
弧长的应用..................................................................................................................................................1
扇形面积......................................................................................................................................................3
求圆心角度数.............................................................................................................................................5
求侧面积或全面积....................................................................................................................................6
求母线或高..................................................................................................................................................7
综合运用......................................................................................................................................................9
弧长的计算
n nπR
×2πR=
360 180
弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。L=
【例1】一条弧所对的圆心角是 144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为
（ ）
1 2 3 2
A． B． C． D．
3 5 4 3
4
【变式训练1】已知扇形的弧长是 ，圆心角120°，则这个扇形的半径是 ．
3
π
【变式训练2】如图，C是 O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度
为（ ） ⊙
1 2 4 8
A． B． C． D．
3 3 3 3
π π π π
【变式训练3】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转
2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当αB′D⊥AB时，^BB'的长是（
）α2√3 4√3 8√3 10√3
A． B． C． D．
3 3 9 9
π π π π
弧长的应用
【例2】某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
5π 8π 10π 5π
A． m B． m C． m D．（ +2）m
3 3 3 3
【变式训练1】如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳
索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ）
10π 5π 5π
A．5 cm B． cm C． cm D． cm
3 3 6
π
【变式训练2】小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图
2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，
∠ ADC ＝ ∠ BCD ＝ 120° ， 则 这 块 宣 传 版 面 的 周 长 为 （ ）7 7
A．（ +2）m B．（ +2）m
15 30
π π
7 6 7 14
C．（ π+ ）m D．（ π+ ）m
15 5 30 5
【变式训练3】如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧 OA和OB的夹角为120°，
OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（ ）cm．
A．6 +12 B．36 +12 C．18 +12 D．12 +12
π π π π
扇形面积
n nπR2
×πR2
=
nπR
×
R
=
1
lR
扇形的面积用S表示S= 360 360 S= 180 2 2
【例3】如果用70厘米的铅丝做成一个半径为20厘米的扇形，那么这个扇形的面积等于
平方厘米．
【变式训练1】把一个圆的面积按3：5剪成两个扇形，已知大扇形的面积比小扇形多104
平方厘米，大扇形的面积是（ ）平方厘米．
A．416 B．260 C．156 D．208
【变式训练2】一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30 cm2 B．60 cm2 π C．120 cm2 D．180 cm2
【变式训练π 3】一个垃圾填埋场，π它在地面上的形状为长π80m，宽60m的矩形，π有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6 ）m2 B．（840+9 ）m2 C．840m2 D．876m2
【例4】如图，在
π
矩形ABCD中，AB＝ π2，BC=√3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交
CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
π 3π 2π 3π
A． B． C． D．
3 5 3 4
【变式训练1】如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果
OC∥DB，图中阴影部分的面⊙积是2 ，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
π
√3 2√3
A． π B． π C．√3π D．2√3π
3 3
【变式训练2】如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的
面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【变式训练3】如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A，D 在半圆上，且
AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，则阴影部分的面积是
（ ）64π 64π 64π−8√5 32π
A． −8√3 B． C． D． −8√3
3 3 3 3
【例5】如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2
（1）求OE和CD的长⊙；
（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？
【变式训练1】如图，已知AB是 O的直径，点C，D在 O上，∠D＝60°且AB＝6，过
O点作OE⊥AC，垂足为E． ⊙ ⊙
（1）填空：∠CAB＝ 度；
（2）求OE的长；
（3）若OE的延长线交 O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的
面积S． ⊙
求圆心角度数
【例6】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的
底面圆周长为20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
π πA．120° B．135° C．150° D．160°
【变式训练1】圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【变式训练2】如图，圆锥体的高
ℎ
=2√2cm，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展
开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【变式训练3】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，
则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．108° B．120° C．144° D．150°
求侧面积或全面积
圆锥的侧面展开图是扇形。r 为底面圆的半径，a 为母线长。扇形的圆心角 α=
r
×3600
a
π π π
S侧= ar S全= ar＋ r2
【例7】若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保
留 ）
π【变式训练1】若一个圆锥的母线长为5cm，它的半径为3cm，则这个圆锥的全面积为
cm2
【变式训练2】已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是
．
【变式训练3】已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．60 B．65 C．90 D．120
【例8】如π图，圆锥底面圆的半π 径 AB＝4，母线长πAC＝12，则这个圆锥π的侧面积为
（ ）
A．16 B．24 C．48 D．96
【变式训练π 1】如图所示，圆锥的π底面半径为1，高为√π3，则圆锥的表面积为π（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式训π 练2】如图，圆锥底面π圆半径为 7cm，高为π24cm，则它侧面展开π图的面积是（
）175π 175π
A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
3 2
π π
求母线或高
【例9】在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径 15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一
个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径
是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式训练1】如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半
径r＝2，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥母线l的长为（ ）
θ
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式训练2】如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则
这个圆锥的高为（ ）A．4√2cm B．2√2cm C．2√3cm D．√3cm
【变式训练3】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的
扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
【变式训练4】如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别
裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为
（ ）
A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1
综合运用
【例10】如图，在 O中，AB=4√3，AD是 O的直径，AD⊥BC于F，∠A＝30°．
（1）求图中阴影⊙部分的面积； ⊙
（2）若用阴影扇形OBC围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．【变式训练1】如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格格点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平
面直角坐标系；
②用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接
AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；② D的半径＝ （结果保留
根号）； ⊙
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
一．选择题（共8小题）
1．如图，点 、 、 是半径为8的 上的三点．如果 ，那么 的长
为A． B． C． D．
2．如图，边长为 的正方形 的中心与半径为 的 的圆心重合， ， 分
别是 ， 的延长线与 的交点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中， ，以 为直径的 恰好经过点 ，交
于点 ，当点 为 的中点时，下列结论错误的是
A． 平分 B． C． D． 的长为
4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的
展直长度，即 的长为A． B． C． D．
5．如图，矩形 的边 ， ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于
点 ，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
6．如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ， ，若直径 ，
，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
7．已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是
A．24 B．48 C． D．8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转
“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”
是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面
半径是 ，高是 ；圆柱体底面半径是 ，液体高是 ．计时结束后如图（2）
所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为 ，则扇形的弧长为 ．
10．如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ，点 为半径
上一动点．若 ，则阴影部分周长的最小值为 ．
11．如图， 是 的弦， ，点 是 上的一个动点，且 ，若点 ， 分别是 ， 的中点，则 的半径是 ，图中阴影部分面积的最大值
是 ．
12．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸片
后，分别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆
锥的表面积为 ．（结果保留
三．解答题（共3小题）
13．如图， ， ， ， 是 上的四个点， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．14．如图，已知 中， ，将斜边 绕点 顺时针方向旋转至 ，使
，过点 作 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求弧 的长．
15．如图，已知扇形 的圆心角为 ，半径 为 ．求扇形 的弧长和面积．
