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专题 24.3 正多边形与圆
目录
正多边形求线段长度...............................................................................................................................1
正多边形求角度........................................................................................................................................2
正多边形求面积........................................................................................................................................3
正多边形与坐标轴....................................................................................................................................4
正多边形与规律........................................................................................................................................5
综合运用......................................................................................................................................................6
正多边形求线段长度
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
正多边形的有关计算
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径
R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r，正多边形的中心角α，正多边形
的边长a。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角
就是正n边形的中心角都等于 ；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距
又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
【例1】如图，正方形ABCD内接于 O，点E为^BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，
BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ⊙ ）
A．7 B．5√2 C．√10 D．2√5
【变式训练1】如图，面积为18的正方形ABCD内接于 O，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙3 3
A． B． √2 C．3 D．3√2
2 2
【变式训练2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为1，则边心距OM的长
为（ ） ⊙ ⊙
√3 1
A．√3 B． C． D．2√3
2 2
【变式训练3】如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
正多边形求角度
【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数
为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
【变式训练1】如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是 O 的内接多边形，则
⊙∠BOM的度数是（ ）
A．36° B．45° C．48° D．60°
【变式训练2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在^AB上，则∠CME的度数为（
） ⊙
A．30° B．36° C．45° D．60°
【变式训练3】如图，在正六边形 ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与
BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
正多边形求面积
【例3】如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则S （
空白=
S
阴影
）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8√3 B．12√3 C．16 D．16√3
【变式训练2】如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积
是2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6 B．6+√2 C．2+4√2 D．8
【变式训练3】如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（ ）
A．2√2+2 B．4 C．2+√2 D．6
正多边形与坐标轴
【例4】如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）A．（−√3，1） B．（﹣1，√3） C．（﹣2，−√3） D．（−√3，2）
【变式训练1】如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CD∥x轴，若点E坐
标为（3，2），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【变式训练2】如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边
形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，2√3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2√3） D．（﹣1，√3）【变式训练3】如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，
将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐
标为（ ）
A．（﹣2，2√3） B．（﹣2，﹣2√3） C．（2，﹣2√3） D．（2，2√3）
正多边形与规律
【例5】如图是一长条型链子，其外型由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色
六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个
数为（ ）
A．348 B．238 C．354 D．355
【变式训练1】如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此
规律，则第n个正多边形的面积为（ ）
n+1 n+1 n(n+1) n(n−1)
A． B． a C． a D． a
3a 2 2 2
【变式训练2】如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，
围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为 1，则该图形外轮的周长为 ；
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，
设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．【变式训练3】如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x
轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每
次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为 ．
综合运用
【例6】阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星
家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容
如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图 1，若四
边形ABCD内接于 O，则有 ．
任务：（1）材料中⊙划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于 O，AB＝2，求对角线BD的长．
⊙
【变式训练1】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，
BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形 ABCD（如图
2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填
入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 …
一．选择题（共8小题）
1．如图，在拧开一个边长为 的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 ，则这个
正六边形的面积为
A． B． C． D．
2．有一个正 边形的中心角是 ，则 为
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图， 与正六边形 的边 ， 分别交于点 ， ，点 为劣弧 的
中点．若 ．则点 到 的距离是A．4 B． C． D．
4．如图，点 、 、 分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则 的
周长为
A．6 B． C． D．9
5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为 ，则该正多边形的边数是
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知一个正多边形的中心角为 ，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类
数（全等的三角形为同一类）是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，正六边形 内接于 ， 为 的中点，连接 ，若 的半径为
2，则 的长度为A． B． C．2 D．1
8．如图，正五边形 内接于 ，则正五边形中心角 的度数是
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
9．如图，如果 、 分别是圆 的内接正三角形和内接正方形的一条边， 一定是
圆 的内接正 边形的一条边，那么 ．
10．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 ．
11．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，
如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
12．如图，边长为2的正六边形 的中心与坐标原点 重合， 轴，将正六
边形 绕原点 逆时针旋转 次，每次旋转 ，当 时，顶点 的坐标为
．三．解答题（共3小题）
13．如图，正方形 是半径为 的 内接四边形， ．
求正方形 的边长和边心距．
14．已知，如图，正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的外接圆半径 、边
心距 、面积 ．
15．如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 为
的整数），过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长；
（3）连接 ，则 和 有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长 的值．
