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专题21 轴对称之将军饮马基础篇
1．如图， ，M，N分别是边 上的定点，P，Q分别是边 上的动点，记
，当 的值最小时，关于 ， 的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，
则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-
30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】
如图，作M关于 的对称点 ，N关于 的对称点 ，连接 交 于Q，交 于P，则
此时 的值最小．
易知 ， ．
∵ ， ，∴ ．
故选：B.
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交
AC，AB于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值
是（ ）
A．11 B．13 C．9 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，由于 ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公
式求出AD的长△，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，
故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴ ，
解得AD=9，∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM=AM，
∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+ BC=9+ ×4=9+2=11．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分别是边 ， 上的
动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小=__________
（度）．
【答案】50
【解析】
【分析】
作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，
连接MP，QN，可知此时 最小，此时
，再根据三角形外角的性质和平角的定义即
可得出结论．
【详解】
作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时 最小，即
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问
题是解题的关键，综合性较强．
4．如图，点 是 内任意一点， ，点 和点 分别是射线 和射线 上的动点，
，则 周长的最小值是______．
【答案】3
【解析】【分析】
根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到 周长
的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及 ，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点 、 ，连接 、 、 、
、 ，其中 分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、
N的位置是使得 周长的最小的位置．
由对称性可知： ，
，
为等边三角形
的周长= = =3
故答案为：3
【点睛】
本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理
“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
5．如图， 是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当
的周长最小时， 的度数为______．【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使 PCE
的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出C△P平
分 ，从而可求出 ．
【详解】
如图连接BP．
∵ 为等边三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∵ PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，
∴△当PE+BP最小时， PCE的周长最小，
∵PE+BP最小时为BE△的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高， 为等边三角形，
∴P点即为等边 角平分线的交点，
∴CP平分 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要
使 PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．
6．△如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，
使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
【答案】80
【解析】
【分析】
作点A关于BC、CD的对称点A、A，根据轴对称确定最短路线问题，连接A、A 分别交BC、
1 2 1 2
DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A+∠A，再根据轴对称的性质和角的和差关
1 2
系即可得∠MAN．
【详解】
如图，作点A关于BC、CD的对称点A、A，连接A、A 分别交BC、DC于点M、N，连接AM、
1 2 1 2
AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠A＝180°﹣130°＝50°，
1 2
∵点A关于BC、CD的对称点为A、A，
1 2
∴NA＝NA ，MA＝MA ，
2 1
∴∠A＝∠NAD，∠A＝∠MAB，
2 1
∴∠NAD+∠MAB＝∠A+∠A＝50°，
1 2
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是
解决本题的关键．
7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和
AB上的动点，当BM MN有最小值时， _____________°．
【答案】50【解析】
【分析】
在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC
的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；
【详解】
如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
∵AM=AM，
∴△AME≌△AMN，
∴ME=MN，
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；
故答案为：50．
【点睛】
本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结
合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．
8．如图，直线 ， 交于点O，点P关于 ， 的对称点分别为 ， ．若 ， ，则
的周长是______．【答案】15
【解析】
【分析】
根据对称的性质可知，OP=OP=OP=3，再根据PP=7即可求出 POP 的周长．
1 2 1 2 1 2
【详解】 △
∵P关于l、l 的对称点分别为P、P，
1 2 1 2
∴OP=OP=OP=4，
1 2
∵PP=7，
1 2
∴△POP 的周长=OP+OP+PP=4+4+7=15．
1 2 1 2 1 2
故答案为15
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
9．如图，等腰三角形 的面积是18，底边 长为4，腰 的垂直平分线 分别交 ，
于点E，F．若D为 的中点，G为线段 上一动点，则 周长的最小值为
___________．
【答案】11
【解析】
【分析】
连接 ，由于 是等腰三角形，点 是 边的中点，故 ，再根据三角形的面积公
式求出 的长，再再根据 是线段 的垂直平分线可知，点 关于直线 的对称点为点 ，
故 的长为 的最小值，由此即可得出结论．【详解】
解：连接 ，
ABC是等腰三角形，点 是 边的中点，
△ ，
∴S ABC= ，
△
解得 ，
EF是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点为点 ，
，
，
AM+DM≥AD，
的长为 的最小值，
的周长最短 ．
故答案为11．
【点睛】
本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题
10．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设
管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C
处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜
AC'＋C'B．请完成这个证明．（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A
和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON
＝40°，则∠APB＝ °．
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100
【解析】
【分析】
（1）如图②，连接 ，由轴对称的性质可得 再证明：
再利用三角形的三边关系可得结论；
（2）分别作点 关于 的对称点 连接 交 于 交 于 则 的周
长最短，再由轴对称的性质可得： 证明
再求解 从而可得答案．
【详解】
证明：（1）如图②，连接 ，
∵点A，点 关于l对称，点C在l上，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ＜ ，
∴AC＋BC＜ ；
（2）如图所示，点A、B即为所求，由轴对称的性质可得：
故答案为：100°．
【点睛】
本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质求解线段和或周长的最小值，同时考查线段的垂
直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ．(1)画出 关于 轴对称的 ；
(2)在 轴上找一点 ，使 的值最小（保留作图痕迹），并写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析， 的坐标为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A、B、C关于y轴的对称点A、B、C ，即可作
1 1 1
出 ；
（2）作出点B关于x轴的对称点B，连接BC，交x轴于P，点P即为所求做的点．
2 2
(1)
解：解：（1）如图所示， 即为 关于 轴对称的三角形．(2)
解：如图所示，点P即为所求做的点，点 的坐标为 ．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注
意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横
坐标互为相反数，纵坐标不变．
12．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的
周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解
【解析】
【分析】
作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于
N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．
【详解】
解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，
交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．
理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
根据两点之间线段最短，可知此时△PPP 的周长最短．
1 2
【点睛】
本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问
题，属于中考常考题型．
13．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，
点D为AB中点，△连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接 ，先根据等边三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合
一可得 垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质可得 ，同样的方法可得
，从而可得 ，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】
证明：（1） 在 中， ，
，
点 是 斜边 的中点，
，
是等边三角形；
（2）如图，连接 ，
和 都是等边三角形，
， ，
，
垂直平分 ，，
同理可得： 垂直平分 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角
形的性质是解题关键．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中
有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在图中作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标．
(2)在y轴上求作一点P，使得 最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．
(3)求 的面积．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点A、B，C ，再连接AB，
1 1 1 1 1
AC ，BC 即可；
1 1 1 1
（2）连接AC交y轴于点P，即可；
1
（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．(1)
解：如图所示， 就是所要求画的． ．
(2)
解：如图所示，点P就是所要求作的点．
(3)
解： ．
【点睛】
本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是
解题的关键．
15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（-4，1）、B（-3，3）、C（-1，2）．(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A₁B₁C₁；
(2)作△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)答案见详解；
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺
次连接A₁B₁C ；
1
(2)分别作出点A， B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
(3)作点B关于x轴的对称点B ，再连接B C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；
3 3
(1)
如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，
C₁再顺次连接A₁B₁C ；
1(2)
如图所示：分别作出点A， B， C关于y轴的对称点A，B，C ，再首尾顺次连接可得；
2 2 2
(3)
作点B关于x轴的对称点B ，再连接B C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最
3 3小；
【点睛】
本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及
最短路线问题．
