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第 04 讲 正方形的性质和判定
【题型1 正方形的概念和性质】
【题型2正方形的判定】
【题型3正方形的性质与判定综合】
考点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图
形，有两条对称轴）
【题型1 正方形形的概念和性质】
【典例1】（2023秋•顺德区期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别
在边BC和CD上，则∠CEF＝（ ）
A．75° B．60° C．50° D．45°
【变式1-1】（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的
一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
【变式1-2】（2023秋•淄川区期末）如图所示，在正方形 ABCD中，O是对角线AC、BD
的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-3】（2023秋•西宁期末）如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，
点A（0，4），点D（4，3）在BC边上，将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°
得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于点M，则点M的坐标是 ．
【变式1-4】（2023秋•磐石市期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是
另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的
面积为 ．
考点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型2正方形的判定】
【典例2】（2023•秦都区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【变式2-1】（2023春•黄岩区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判
断不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
【变式2-2】（2023春•楚雄州期末）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
【变式2-3】（2023春•江都区期末）小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和
特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件：
①AB＝AD；
②AC＝BD；
③AC⊥BD；
④AC平分∠DAB中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【变式2-4】（2023春•迁安市期末）如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到
正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：
①a→c→d
②a→b→c
③b→d→c，
则正确的添加顺序是（ ）
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
【题型3正方形的性质与判定综合】
【典例3】（2023春•秦淮区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3 ，点E
为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻
边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式3-1】（2023春•建昌县期末）如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点 D，∠B＝
90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
【变式3-2】（2023春•青海月考）如图，已知菱形ABCD，E、F是对角线BD所在直线上
的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的周长．
【变式3-3】（2022春•赣县区期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE＝BF＝CM＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式3-4】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形 ABCD中，点E，F分别在BC，CD边
上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若 ，BE＝1，求四边形ABCD的面积．
【变式3-5】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交
BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2 ，求四边形AFDE的面积．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•沈丘县期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（2023•陵城区校级一模）如图，在正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，连接
AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（2023春•许昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是90° B．四边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．（2023•江津区二模）如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（
）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
5．（2022秋•周村区期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条
件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
6．（2023秋•于洪区期末）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图
1），测得对角线 ，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，
则图2中对角线AC的长为（ ）A．20cm B． C． D．
7．（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，1），
B（2，0）均在坐标轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）
8．（2023春•方城县期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AB上，AE⊥DP于点E，
CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023春•青秀区校级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ABE，连接DE，则
∠EDB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．22.5° D．30°
10．（2023春•五莲县期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E
为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
二．填空题（共5小题）
11．（2023春•泰兴市期末）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，
EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，已知EG＝1，EF＝3，则BE的长度为．
12．（2023秋•白银期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，AF⊥AE交
CD的延长线于点F，则四边形AECF的面积为 ．
13．（2022秋•锦江区期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得
AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为
．
14．（2023春•孝义市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一
个条件使它是正方形，你添加的条件是 ．
15．（2023春•西丰县期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O
作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的 ；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 （填序号）．
三．解答题（共3小题）
16．（2023秋•礼泉县期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．
17．（2022春•醴陵市期末）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且
AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．
18．（2022 春•桂林期末）如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
