文档内容
专题 06 平行四边形常考几何模型专训（8 大题型）
题型一 平行四边形中的旋转模型
题型二 平行四边形中的翻折模型
题型三 平行四边形中的轴对称模型
题型四 平行四边形中的平移问题
题型五 平行四边形中的最值问题
题型六 平行四边形中的动点问题
题型七 平行四边形中的新定义问题
题型八 平行四边形综合
【经典例题一 平行四边形中的旋转模型】
【例1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，两张正方形的纸片 ， 的一个顶点 重
合，正方形纸片 绕点 旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上， 与边 相交于
点 ．
（1）若 ，则 （用含 的式子表示）；
（2）若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理；
（1）由正方形可得 ， ，即可得到 ，再在 中利
用三角形内角和求出 即可；（2）连接 交 于 ，由正方形 可得 ， ，利用勾股定理求出 ，
，最后根据 求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）连接 交 于 ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形 的边长 ，对角线 、 相交于点 ，
将直角三角板的直角顶点放在点 处，三角板两边足够长，与 、 交于 、 两点，当三角板绕点
旋转时，线段 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟
练掌握旋转的性质是解题的关键．证明 ，得到 ，要使 有最小值，即求 的
最小值，当 时， 有最小值，由等腰三角形的性质可求出．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
， ， ，
，
， ，
，
故要使 有最小值，即求 的最小值，当 时， 有最小值，
， ， ，
，
线段 的最小值为 ．
故答案为： ．
2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知矩形 中， ， ，将矩形 绕
点 逆时针旋转得到矩形 ，点 ， 的对应点分别为点 ．(1)如图1，当点 落在边 上时，求 的长；
(2)当点 ， ， 在一条直线上时，设 与 的交点为 ，求 的长；
(3)如图2，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据两边之和大于第
三边确定h的最大值成为解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，由勾股定理可得
，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：连接 ，根据矩形的性质可得 ， ， ，再运用勾
股定理可得 ，然后根据折叠的性质可得 、 ，最后由勾股定理可得
，即 ，再证明 可得 ，即 ，最后根据勾股定理
列方程求解即可；
（3）如图：连接 ，作 于点M，由折叠性质和矩形的性质可得 ，
， ，然后根据中点的定义以及勾股定理可得 ；当 与 共线且
时， 面积最大，先求出 ，进而求得面积的最大值．【详解】（1）解：∵矩形 中， ， ，
∴ ，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 落在边 上，
∴
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，点 ， ， 在一条直线上，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
（3）解：如图：连接 ，作 于点M，
∵将矩形 绕点 逆时针旋转得到矩形 ，
∴ ， ， ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
当 与 共线且 时， 面积最大，
，
，
∴ 的最大值为 ．
3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在 和 中， ， ， ．(1)如图①，当点D在 内部时，求证： ．
(2)将 绕点A旋转，当点D落在线段 上时，若 ．
①如图②，连接 ，若 ，求线段 的长；
②如图③，M，N分别为 ， 的中点，连接 ，判断线段 与 的关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，
【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）①同理证明 得到 ， ，根据等腰直角三角形的性质得到
， ，进而得到 ，结合已知可得 ，然后
再利用等腰直角三角形的性质证得 ，在 中，利用勾股定理求得 即可求解；
②连接 ，取 中点F，连接 、 ，根据三角形的中位线的性质得到 ，
，证明四边形 为平行四边形得到 ， ，再根据等腰直角三角形的性质和
平行四边形的判定与性质证明四边形 是平行四边形，得到 ， ，进而可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①同（1），证明 ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ，则 ；
②连接 ，取 中点F，连接 、 ，
∵M，N分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线， ，
∴ ， ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
由①知 ， ， ，
∵点F是 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线性质、平行四边形
的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形 ，
直线 经过点A，并绕点A旋转，作点 关于直线 的对称点 ，直线 交直线 于点F，连接 、
．
【操作发现】
（1）如图1，若 ，则 ________， ________ ．
【拓展应用】
（2）如图2，当直线 在正方形 的外部时
①判断 的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
②求证： ．
【答案】（1） ；45（2）① 的度数是定值， ；②证明见解析．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌
握正方形和轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据轴对称的性质可得
，从而可得 ， ，然后根据等腰三角形的性质可得， ，由此即可得；
（2）①设 ，先根据正方形的性质可得 ，再根据轴对称的性质可得
，从而可得 ， ，然后根据等腰三角形的性质可得
， ，由此即可得；
②连接 ，先根据正方形的性质和勾股定理可得 ，再证出 ， ，然后
根据勾股定理和等量代换即可得证．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由轴对称的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；45．
（2）①解：设 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由轴对称的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
所以 的度数是一个定值，这个定值为 ．
②证明：如图，连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质得： ，
∴ ，
由（2）①已证： ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【经典例题二 平行四边形中的翻折模型】
【例2】（2025·河北沧州·一模）如图，矩形 中，点 分别为边 上两动点，且 ，
．沿 翻折矩形，使得点 恰好落在边 （含端点）上，记作点 ，翻折后点 对应点为点
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2【答案】C
【分析】本题主要考查折叠问题、勾股定理，连接 ，由翻折可得 ，则
，要求 的最小值，即求 的最小值，以此得出当点G与点B重合时，
最小，设 则 根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵以 翻折后，点D与点G重合，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形， ，
当 的最小时， 最小，
当点G与点B重合时， 最长， 最小，
设 则
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的最小值为 ．
故选：C．
1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片 中，将矩形纸片翻折，使点B落在
对角线 上的点F处，折痕 交 于点 ，若 ，则 的长度为 ．【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据矩形的性质易得 ，由折叠的性质
可得 ，得到 ，利用勾股定理求出 ，设
，则 ，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：矩形纸片 中， ，
∵将矩形纸片折叠，使点 落在对角线 上的点 处，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了
几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形 的对角线 的
垂直平分线与边 、 分别交于点 、 ．求证：四边形 是菱形．请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点 重合，
点 的对称点为 ，直线 分别交矩形 的边 、 于点 、 ，若 ， ，求折痕
的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点重合，点 的对称点为 ，直线 分别交平行四边形 的边 、 于点 、 ，若 ，
， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由对角线互相平分的四边形是平行四边
形可证四边形 是平行四边形，即可证平行四边形 是菱形；
（2）连接 ， ，求解 ，证明 垂直平分 ，设 ，则
，由勾股定理得： ，可得 ，结合菱形的面积公式可得答案；
（3）如图3，过点A作 ，交 延长线于点N，证明 ， ，求解
，设 ，则 ，再利用勾股定理求解 ，进一步可得答案．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）如图2，连接 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∵将矩形 沿直线 翻折，使点C的对称点与点A重合，
∴ 垂直平分 ，
由（1）得：四边形 是菱形，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，过点A作 ，交 延长线于点N，
∵将平行四边形 沿直线 翻折，使点C的对称点与点A重合，
则由（1）可知：四边形 是菱形，
∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角
形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）正方形纸片 中， ，
．
(1)将正方形 对折，使点 与点 重合．展开铺平，折痕为 ．将 边沿 翻折得到 ，延长
交 于 ．求证： 为 的三等分点．
(2)若 ，点 为射线 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得 ．直线 与直线 交于
点 ．若 ，求 的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) 的长为 或【分析】（1）根据正方形和折叠的性质得到 ， ，设
， ， ，
，在 中由勾股定理得到 ，代入计算即可求解；
（2）第一种情况，同（1）可得，当点 在 上时， ，设 ，则
， ，在 中， ，代入计算；第二种情
况，如图所示，点 在线段 的延长线上时， ，则 ，设
，则 ， ，在 中， ，代入
计算；由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵四边形 是正方形，折叠的性质，
∴ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，即 ，∴ 为 的三等分点；
（2）解：第一种情况，同（1）可得，当点 在 上时， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
第二种情况，如图所示，点 在线段 的延长线上时， ，则 ，
∵折叠，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识，
数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
4．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践
折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，
折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题.
问题情境
如图1，在长方形纸片 中， ， ， ，点 是线段 上
的动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形.
（1）如图2，连接 ，当点 落在 上时， 的长为________________.
深入探究
（2）如图3，点 是 的中点，连接 .当点 落在 上时，求 的长.
拓展应用
（3）如图4，点 是 的中点，连接 ， .
① 的最小值为________________；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长.
【答案】（1）4；（2） ；（3）① ；② 或6
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得到 ，再根据勾股定理求出 ，即可求出答案；
（2）连接 ，设 ，根据折叠的性质得到 ， ，由勾股定理得到 ，再利用勾股定理得到 ，即可求出答案；
（3）①根据两点之间，线段最短，当点 落在 上时， 的值最小，根据折叠的性质得到
， ，由勾股定理得到 ，即可得到答案；
②分当 时，当 时，两种情况进行讨论．
【详解】解：（1） 是由 沿 翻折所得到的图形，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）连接 ，设 ，
是由 沿 翻折所得到的图形，
，
， ，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，在 中， ，
，
解得 ，
；
（3）①根据两点之间，线段最短，当点 落在 上时， 的值最小，
设 ，
是由 沿 翻折所得到的图形，
，
， ，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
；
②当 时，
是由 沿 翻折所得到的图形，
，
，设 ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
；
当 时，点 在 上时，
，
， ，
，
，
，
，
；
综上所述， 的长为 或6．
【经典例题三 平行四边形中的轴对称模型】
【例3】（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，四边形 是平行四边形， 与 关于
对称， 交 于点 ．(1)仅用无刻度直尺作 的中线 ；
(2)在（1）所作图形中，求证 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】此题考查了平行线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图是解题的
关键．
（1）根据平行线四边形的对角线互相平分作图即可；
（2）证明 ，根据等腰三角形三线合一即可证明结论．
【详解】（1）如图， 即为所求；
（2）证明：由对称，可得 ．
四边形 是平行四边形，
，
，
．
，
由（1）可知 为中线，
．
1（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践
如图，在等腰直角 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接 ，以 为直角边
在 的右侧构造等腰 ， ，连接 ．特例感知
（1）如图1，请判断 与 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
拓展应用
（2）点F与点C关于 对称，连接 ， ， ，如图2．已知 ，设 ．
① 的面积为_______（用含x的代数式表示）；
②当 时，请直接写出 的长度．
【答案】（1） , （2）① ② 或
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
（1）利用等腰直角三角形的性质，根据 证明 ，即可得到结论；
（2）①连接 交 于 ，根据勾股定理求出 的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示 ，
然后根据对称得到四边形 是正方形，即可得到 解题即可；② 作 于 ， 连
接 ，表示 ， 长，利用勾股定理求出 长，然后根据 求出x值即可．
【详解】（1） ， ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， 即 ；
（2）解：①连接 交 于 ， 则 ， ，，
，且 ， ，
，
∵点 与点 关于 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
，
，
∴四边形 是正方形，
，
∴故答案为： ；
②过 作 于 ， 则 是等腰直角三角形，
，
，
连接 ，由直角三角形性质得 ，
，
，
，
，则 ，
，
，
解得 或
或 ．
2．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）请按以下要求完成尺规作图．
(1)如图1，菱形 中，点 在对角线 上，请作出一对以 所在直线为对称轴的全等三角形，使交
于点 ，交 于点 ， ．你有几种解法？请在下图中完成；（保留必要作图痕迹，不
写作法）
(2)如图2，点 是菱形 内部一点，请作出一条过点 的直线，交射线 ，射线 于点 ，且
，聪明的你肯定有多种不同作法？请在下图中完成两种作法，并选择其中一种证明： ．
（保留必要作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【分析】（1）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可；
（2）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，以点 为圆心，以大于 ，小于 的长为半径画弧交 于点 ，交
于点 ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴点 即为所求点的位置；
如图所示，连接 并延长，分别交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴点 即为所求点的位置；
（2）解：方法一，如图所示，连接 交于点 ；
连接 并延长交 于点 ；
以点 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 ；
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 ；
连接 ，并向两边延伸，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 即为所求点的位置；
方法二，如图所示，
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 ，连接 ；
以点 为圆心，以 为半径画弧交于点 ；
连接 并向两边延时交 于点 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴点 即为所求点的位置．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
（三线合一）的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
3．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图， 中， ， ， 于点 ，点
在 的延长线上，连接 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证： ；
(3)当 时，连接 ， ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)补图见解析
(2)证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰
三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据题意画图即可；
（2）设 与 交于点 ，分别证明 、 为 、 中点，利用中位线可证；
（3）过点 作 交 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与
交于点 ，先证 ，得 ，推出 ，再证 ，推出 ，推出 ，再证 ，最后在 中，利用 求证．
【详解】（1）解：补全图形如图：
（2）解：如图，设 与 交于点 ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴M，D分别为 的中点
∴ ，
即： ；
（3）解： ，证明如下：
如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与
交于点 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， 于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
即： ，
即： ．
4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形 是矩形，点 在 边上，点 在 延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝
BF．
(1)下列条件：①点 是 的中点；② 平分 ；③点A与点 关于直线 对称．请从中选择一个
能证明四边形 是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积是多少．
【答案】(1)②（答案不唯一），见解析
(2)
【分析】（1）选择条件：②，易得四边形 为平行四边形，再推出 可得
，进而证明邻边相等，因此邻边相等的平行四边形是菱形；选择条件：③易得四边形
为平行四边形，由点 与点 关于直线 对称，得到 ， ，证明
，求得 ，因此对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形；
（2）通过已知条件证得 为直角，根据勾股定理得 ，再求解 ，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：我选择条件：②，
理由如下：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连 交 于点G，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
当点 是 的中点，只能证明四边形 是平行四边形，不能证明四边形 是菱形．
故不选择①；
（2）解：∵四边形 是矩形，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 的面积是 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【经典例题四 平行四边形中的平移问题】
【例4】（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图， 中， ， ， ．将
沿射线 方向平移 ，得到 ，A， ， 的对应点分别是D，E，F，连接 ．求证：
四边形 是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键．
根据平移的性质可得 ， ，再在 中利用勾股定理求出 ，根据四条边
都相等的四边形是菱形得到结论．
【详解】证明：由平移变换的性质得：
， ，
， ， ，
，
，
四边形 是菱形．
1．（23-24八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形 和 的斜边 和 在同一直
线上， ，并连接 ， ．【操作思考】
（1）在 沿直线 平移过程中，求证： ；
【拓展探究】
（2）如图2，若四边形 为菱形， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形
的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键．
（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）设 ，根据勾股定理，建立方程求解即可．
【详解】（1）证明： ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
；
（2）解： ， ， ，
，
如图2，连接 交 于点 ，△ 平移的过程中，四边形 能成为菱形，
四边形 能成为菱形，
， ， ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
整理得 ，
解得： 或 （舍去），
．
当 时，四边形 能成为菱形．
2．（2025·河南周口·一模）综合与实践
学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究．
【模型感知】
（1）她把边长为3的正方形纸片 沿着对角线 剪开，如图1．然后固定纸片 ，把纸片
沿剪痕 的方向平移得到 ，如图2．连接 ， ， ，在平移过程中：
①四边形 的形状始终是________（点 与点 重合时除外）；②求 的最小值．
【拓展探究】
（2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形 ， ，将 沿射线 的方向平移得
到 ，连接 ， ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）①平行四边形；② ；（2）
【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；
②作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，当 共线时，
有最小值，再证明 是等腰直角三角形，且 共线，在直角
中，利用勾股定理即可求解．
（2）同理可得 是等边三角形，且 共线，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）①∵纸片 沿剪痕 的方向平移得到 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案是：平行四边形；
②∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ = ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，当 共线时， 有最小值，
此时 的最小值 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 关于 的对称点 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，且 共线，
∴在直角 中， ，
∴ 的最小值= ．
（2）如图所示，，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ = ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，
当 共线时， 有最小值，此时 的最小值 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 关于 的对称点 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，且 共线，
∴在直角 中， ，
∴ 的最小值= ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称
的性质，作出点 关于 的对称点，是解题的关键．
3．（23-24九年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、
联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，
请你解答：
(1)观察发现：将 为 ， 为 的矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 ．如图
1，将 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 ， ，得到 ，过点C作
，交 的延长线于点E，则四边形 的形状是________．
(2)探究迁移：如图2，若将 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到 ，若B、A、 三点
在同一直线上，连接 ，取 的中点F，连接 并延长至点G，使 ，连接 ，得到四
边形 ，请你判断四边形 的形状，并加以证明．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将 沿着 的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移
到 点， 与 相交于点H，连接 ，求 的长．
【答案】(1)菱形(2)正方形，见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，从而得到 ，进而得到 ，可
得到四边形 为平行四边形，再由旋转的性质得： ，即可求解；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再由四边形 是矩形，可得 ，从而得到四边
形 是矩形，然后根据 ，即可解答；
（3）先求得 ，可得到 ，从而得到 ，进而得到 ，即可求
解．
【详解】（1）解： 四边形 为矩形，
，∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∵
四边形 为平行四边形，
∴
由旋转的性质得： ，
四边形 为菱形；
∴
故答案为：菱形
（2）解：四边形 是正方形，理由如下：
点F是 的中点，
∵
，
∴
，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴即 ，
，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵
四边形 是正方形．
∴
（3）解：在 和 中， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形的性质，旋转的性质和
平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答．
4．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形 ，点 分别在 上， 与
相交于点 ．
(1)如图1， ，求证： ；
(2)如图2，平移图1中线段 使点 与点 重合点 在 延长线上，连接 ，取 的中点 ，连接
，试探究线段 和 的数量关系并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）作 于 ，则 ，证明四边形 为矩形，得出 ，从而得出 ，证明 ，即可得出结论；
（2）在 上截取 ，证明 为等腰直角三角形，得出 ，证明
，得出 ，证明 ，结合 ，得出 为 的中
位线，即 ，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，作 于 ，则 ，
，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ,
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
证明：如图，在 上截取 ，，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、
等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2025·广东东莞·一模）数学活动
按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中 纸的面积为 ．将 纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将 纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将 纸长边对折、裁开，
便成 纸．
【操作与观察】
（1）将一张 纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是 和 ），线段 落在线段 上，
点 的对应点是点 ，观察发现点 恰好与点 重合，求证： 纸的长是宽的 倍．
【猜想与验证】
（2）利用图，请连接 ，求证： 是等腰直角三角形．
【类比与归纳】
（3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用 纸裁剪出的最大正方形的面积为 ．
【答案】（1）见详解（2）详解（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可知四边形 为正方形， ，再结合勾股定理即可求出
，即 纸的长宽之比为 ；
（2）由折叠可知 ， ．根据正方形的性质可求出 ，从而可
求出 ，进而可求出 ，即可证 是等腰直角三角形；
（3）根据题意可知 纸的长为 纸的宽， 纸的宽为 纸的长度的一半，结合 纸的长和宽的比，
即可得到 纸的长和宽的比；②根据长和宽的比，以及 纸的面积，求出 纸长和宽，推出当裁剪出的
正方形的边长等于 纸的宽时，面积最大，求解即可．
【详解】解（1）证明：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形 为正方形，
∴ ．
第二次折叠，得出 ，
∴ ，
即 纸的长是宽的 倍．（2）证明：由第二次折叠可知 ， ．
由（1）可知四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）∵将 纸沿长边对开便成了两张 纸，
∴ 纸的长为 纸的宽， 纸的宽为 纸的长度的一半，
∵ 纸的长宽之比
∴ 纸的长宽之比是 ．
同理可知： 纸的长宽之比是 ，
设 纸的宽为 ，则长为 ，
∵ 纸的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当用 纸可以裁剪出正方形的边长等于 纸的宽时，面积最大，为 ．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和
性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题关键．
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【阅读理解】亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在 中， ，若点 是斜
边 的中点，则 ．【牛刀小试】
（1）在图1中，若 ，其他条件不变，则 ___________；
【活学活用】
（2）如图2，已知 ，点 、 分别为 、 的中点， ， ．求
的长；
【问题解决】
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个运动公园，形状如图3中的四边形 ，其中，
， ， 千米，要在公园的 、 之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑
道铺设成本每米200元，当 最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？
【答案】（1） ；（2）5；（3）不够
【分析】（1）由 ， ，根据勾股定理求得 的长为10，再根据“直角三角形
上的中线等于斜边的一半”求出 的长即可；
（2）连接 、 ，因为 ，点 为 的中点， ，所以 ，
而点 是 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质得 ，则 ，在 中
即可根据勾股定理求出 的长；
（3）连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，先证明 是等边三角形，根据勾股定理求得
千米，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 的长为3千米，则根据“两点之
间，线段最短”可得到不等式 ，所以当 、 、 在同一直线上时， 的值最大，此时千米，再根据跑道铺设成本每米200元计算出跑道铺设的总成本，即可判断出管理部门预算
160万元是否够用．
【详解】（1）解：如图1，
， ，
，
点 是斜边 的中点，
，
故答案为： ．
（2）解：如图2，连接 、 ，
，点 是 的中点， ，
，
，
，
，
点 是 的中点， ，
， ，
，，
的长是5．
（3）解：如图3，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
千米， ，
是等边三角形，
千米，
（千米），
，
，
（千米），
，
千米，
，
千米，
如图4，当 、 、 在同一直线上时， 的值最大，此时 千米，
跑道铺设成本每米200元，元，
跑道铺设的总成本为 元，
，
管理部门预算160万元不够用．
【点睛】此题考查勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、
“两点之间，线段最短”等知识与方法，正确地作出辅助线构造直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【应用】
如图①，在 中，点P、Q分别是边 、 的中点，连结 ，若 ，则线段 的长为
________．
【探究】
如图②，在应用的条件下，点 为平面上的一点（ 与 不平行），点M为线段 的中点，连结 、
，当 时，求 的长．
【拓展】
如图②，在探究的条件下，若 ，当 的面积最大时，直接写出 的度数．
【答案】6； 6； 或
【分析】此题重点考查三角形的中位线定理的应用、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质．
应用：由点 、 分别是边 、 的中点，得 ，于是得到问题的答案；
探究：由 ，得 ，因为 ， ，所以 ，则
；拓展：作 交 的延长线于点 ，则 ，由“垂线段最短”证明当 时，
，此时 ，再分两种情况讨论，一是点 在直线 的下方，
设 交 于点 ，则 ， ，得 ， ，则
；二是点 在直线 的上方，延长 交 于点 ，则
， ，所以 ．
【详解】解：应用：∵ ，点 、 分别是边 、 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
线段 的长为6，
故答案为：6；
探究： ，
，
点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
∴ 是 中位线，
，
，
，
，
的长是6；
拓展：如图②，作 交 的延长线于点 ，
，且 ，当 时， ，
当 的面积最大时， ，
分以下两种情况讨论：
如图③，点 在直线 的下方，设 交 于点 ，
、 、 分别为 、 、 的中点，
∴ ， ，
， ，
；
如图④，点 在直线 的上方，延长 交 于点 ，
、 、 分别为 、 、 的中点，
∴ ， ，
， ，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在边长为2正方形 中，E为 边上一动点（点E不与
B，C重合），连接 ，以 为直角边作等腰直角三角形 ，其斜边 与正方形 边相交于点
N，连接 ．(1)求证： ；
(2)当E运动到 的中点时，求线段 的长度；
(3)如图2，连接 交 与点P，G是 的中点，连接 ， ，当 等于多少时， 的最小，
并求出最小值？
【答案】(1)见解析
(2)线段 的长度为 ；
(3) 的最小值为 ．
【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，再结合等角的余角相等，即可证明结论成立；
（2）设 ，则 ，延长 至 ，使 ，连接 ， ，证明 ，
推出 ， ，再证明 ，推出 ，在 中，利用
勾股定理列式计算即可求解；
（3）连接 ， ，先证明 ，得到 ，当 共线时， 有
最小值，最小值为 的长，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点E是 的中点，
∴ ，设 ，则 ，
延长 至 ，使 ，连接 ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长度为 ；
（3）解：连接 ， ，∵ 是等腰直角三角形，四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
∵G是 的中点，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理
的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断．
4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出（1）如图1，线段 ，P为线段 上的一动点， 于点A， 于点B．若 ，
，则 的最小值为_________；
问题解决
（2）为培养学生的劳动能力，五育并举．学校计划用栅栏在校园花园内建造学生自用地，围成的两块三
角形区域分别种植菠菜和生菜，且种植菠菜的面积是生菜的面积的2倍．小伟所在的数学建模社团想利用
所学的知识进行设计．如图2，建立平面直角坐标系，两条栅栏分别为 ， ．已知点 ， ，
，在四边形 内部确定一点P，使得 ．按照规划要满足 的值最小，请
求出 的值最小时点P的坐标．
【答案】（1） ，（2）
【分析】（1）根据两点之间线段最短找到点P，再根据勾股定理进行解答即可；
（2）过点C作 于点D，并在 上截取 ，在 的延长线上截取 ，过点E作 轴的
平行线交 于点P，则点P即为所求，证明四边形 为平行四边形，且 ， ，
，，再证明 ，则 为 的中点，即可求出答案．
【详解】（1）解：当 三点共线时， 取得最小值，过点D作 交 的延长线于
点E，连接 交 于点P，∵ 于点A， 于点B，
∴四边形 是矩形，
∴
∴
∴
故答案为：
（2）如图2，过点C作 于点D，并在 上截取 ，在 的延长线上截取 ，过点E
作 轴的平行线交 于点P，则点P即为所求，
∵ ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，且 ， ， ，
∴ 为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ 为 的中点，
∴
【点睛】此题考查了勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，
添加合适的辅助线是解题的关键．
【经典例题六 平行四边形中的动点问题】
【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上的两
个动点，分别从 、 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 ．
(1)若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形（ 、 相遇时除外）并说明理
由；
(2)在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析；
(2) 或 ．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质得到 ，由 ， 分别是 ， 中点，得到 ，再得到
，证明 ，得到 ， ， ，即可得出结论；
（2）分两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 中点，∴ ， ，
∴ ，
∵点 ， 的运动速度相同，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：如图1，连接 ，
∵ ， 分别是 ， 中点， ， ， ，
，
在矩形 中， ， ，
∴四边形 是矩形，
，
①如图1，当四边形 是矩形时， ，
， ，
，
，，
；
②如图2，当四边形 是矩形时，
同理可得： ， ，
，
；
综上，四边形 为矩形时， 或 ．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，则 ，由三角形外角性质得 ，所以 ，再利用勾股定理得 ，然后由 ，
求得 ，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知 ，
．
．
，
．
．
由勾股定理得， ，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知 ， ， ．
，
，
，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，点 在 延长线上，
，，
．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【模型建立】如图1，在 中，点E为边 上一动点，
连接 ．设 ， ， 的面积分别为 ， ， ．写出 ， ， 之间的数量关系，
并用两种不同的方法证明；
【模型应用】
如图2，在 中， ， ， ，点E为边 上的一动点，连接 ．过点B作
．求 的值；
【模型拓展】
如图3，点P为 内一点（点P不在 上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形
的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），写出 的面积，并说明理由．（用含 ，
的代数式表示）
【答案】[模型建立]详见解析
[模型应用]
[模型拓展]
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
[模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；
方法二，如图1，过点 作 交 于点 ，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的
两个三角形的性质，进行等量代换即可得解；
[模型应用]如图2，过 作 交 的延长线于点 ，连 ，由[模型建立]的结论可得出
，再利用三角形面积公式即可得解；
[模型拓展]如图3中，连接 ，利用前面的结论进行恒等变形即可得解．
【详解】[模型建立]
解：方法一，设平行四边形 的高为 （ 与 之间的距离），
∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ 以 为底，高就是平行四边形 的高 ，
∴根据三角形面积公式可得 ，
同理可得， ，
∵ ，
∴ ；
方法二，如图1，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴四边形 和四边形 都为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
[模型应用]解：如图2，过 作 交 的延长线于点 ，连 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
由 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
[模型拓展]
如图3中，连接 ，
在 中， 点 是 的中点，
可设 ，同理， ，
，
，
，
∵ ，
∴ ．
3．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在四边形 中， 为对角线 上的动点，点 ， 分别在
， 上．
(1)【动手操作】
如图①，若四边形 为正方形， 为对角线 ， 的交点， ， 分别为 ， 的中点时，连
接 ， ，根据题意在图①中画出 ， ，则 为________________度；
(2)【问题探究】
如图②，四边形 为菱形， ， 为对角线 ， 的交点，且 ，探究线段
， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(3)【问题解决】
如图③，在（2）的条件下，若点 在对角线 上，菱形 的边长为8， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析，90；
(2) ，理由见解析；
(3)4或2．
【分析】（1）根据题意画出图形，根据已知证明四边形 是正方形；
（2）如解图②，取 的中点 ，连接 ．证明 ，得出 ，根据，即可得证．
（3）当点 靠近点 时，过点 作 于点 ，连接 ，作 交 于点 ．在
中，得出 ，由（2）可知， ，当点 靠近点 时，同理可得 ，进而即可求解；
【详解】（1）解：作图如解图①．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 为对角线 ， 的交点， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ；
（2）
理由如下：如解图②，取 的中点 ，连接 则
四边形 为菱形，
∴∴
，
，
为等边三角形，
， ， ，
∵
是等边三角形，
， ．
，
．
在 和 中，
，
，
，
（3）如解图③，当点 靠近点 时，过点 作 于点 ，连接 ，作 交 于点 ．
是等边三角形， ，
， ．
在 中， ，
．
由（2）可知， ，
；
如解图④，当点 靠近点 时，同理可得 ， ．，
．
综上所述， 的长为4或2．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，三角形中位线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，全等三
角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，
那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形 中， ， ， ．
(1)如图1，O为 的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，点P是边 上一个动点，当直线 是 的等腰分割线时，求 的长度．
(3)如图3，若将 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边 上的一点，如果直线 是
的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
【答案】(1)是
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形；
（2）设 ，①当 ，根据勾股定理列方程得： ，解出x即可，②当
时；可得 ；（3）分情况进行讨论：先分 是等腰三角形时，分三种情况讨论，当 时可求出点 ；
当 时，可求出 ，当 时，Q不在边 上，舍去．再分 是等腰三角形时，
同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为 或 ；
【详解】（1）解： ，O为 中点，
在 中， ，
和 是等腰三角形，
则直线 是 的等腰分割线；
故答案为：是．
（2）解： ①当 时， ，
设 ，
①当 ，
在 中， ，
，
解得： ，
即： ；
② 时， ；
即 的长为 或 ；
（3）解： ， ， ，
，
，，
，
①若 为等腰三角形，
如图1，当 时， ， ，
，
；
如图2，当 时，Q为 中点， ，
，
，
当 时，Q不在边 上，舍去．
②若 为等腰三角形．
如图3，当 时，
，
；
如图4，当 时， ，，
，
如图2，当 时，Q为 中点， ，
此时 ；
综合以上可得点Q的坐标为 或 或 或
故答案为： 或 或 或
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形等知识，
解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步
操作．解题的关键是正确理解题意，了解等腰分割线的意义．
【经典例题七 平行四边形中的新定义问题】
【例7】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与
正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度”
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为 ， ，若我们将菱形的“接近度”定义为 ，于是 越小，
菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为 时，“接近度”=________；
②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；(2)若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则：
①菱形的一个内角为 时，“接近度”=________；
②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；
(3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义
后面打“√”，不合理的定义后面打“×”．
①甲：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩
形越接近于正方形．________
②乙：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接
近于正方形．________
【答案】(1)① ②
(2)① ②
(3)①× ②×
【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关
键．
（1）①②根据菱形的“接近度”定义 ， 越小，菱形就越接近正方形，解答即可；
（2）①②根据菱形的“接近度”定义为 ，解答即可；
（3）①不合理，举例进行说明；
②根据矩形的“接近度”定义为 ，只有矩形的 越接近 ，矩形才越接近正方形，进行说明．
【详解】（1）解：①∵内角为 ，
∴与它相邻内角的度数为 ，
∴菱形的“接近度”： ，
故答案为： ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形，
故答案为： ；
（2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则：①当菱形的一个内角为 时，“接近度” ；
故答案为： ；
②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形，
故答案为： ；
（3）解：①×，
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但 却不相等.
故答案为：×；
②×， 理由如下：
越接近 ，矩形越接近于正方形；
∴当 时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的 越接近1，矩形才越接近正方形，
故答案为：×.
1．（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践
综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻
等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究．
(1)操作判断
如图1，在边长为2的正方形 中， 是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点 在射
线 上移动，三角板的一条直角边始终经过点 ，另一条直角边交射线 于点 ，当 点在 边上时，
四边形 是邻等对补四边形吗?说明理由．
(2)迁移探究
当 点在 边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时 的长．
【答案】(1)是邻等对补四边形，见解析
(2)能构成，此时 的长为2或
【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，理解正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是
解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）四边形 是邻等对补四边形，过点P作 于点E， 于点F，根据 及
正方形的性质得 ，想证明四边形 是正方形得 ，进而可证明
和 全等，则 ，由此可得出结论；
（2）依题意分两种情况讨论如下：①当点P在线段 上时，点Q在 边的延长线上， 时，四
边形 是邻等对补四边形，过点P作 于点E， 于点F，同①可证 和 全
等得 ，则 是等腰直角三角形，进而得 ，由此得 ，则四边
形 是邻等对补四边形，设 ，则 ， ， ，进
而可得 的长；②当点P在 的延长线上时， 时，四边形 是邻等对补四边形，过点
P作 交 的延长线于点E， 于点F，同①可证 和 全等得 ，则
是等腰直角三角形，进而得 ， ，则四边形 是邻等对补四边
形，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形 是邻等对补四边形，理由如下：
过点P作 于点E， 于点F，如图1所示：依题意得： ，
∵四边形 是正方形，且边长为2，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
即 是 的平分线，
又∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻等对补四边形；
（2）当Q点在 边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形，分两种情况讨论如下：
①当点P在线段 上时，点Q在 边的延长线上， 时，四边形 是邻等对补四边形，理
由如下：过点P作 于点E， 于点F，如图2所示：
同①可证： ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻等对补四边形，
设 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ， ，（不合题意，舍去），
由 ，
解得 ，
∴ ；
②当点P在 的延长线上时， 时，
四边形 是邻等对补四边形，理由如下：
过点P作 交 的延长线于点E， 于点F，如图3所示：
同①可证： ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴四边形 是邻等对补四边形，
此时 ，
综上所述：当以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形时， 的长为 或2．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考
小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于
是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务．
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认
的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一
套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载
了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
下面是上述命题的证明．
已知：如图1，在 中， ．
求证： ．
证明：如图2，由于 ，故在 边上截取 ，连接 ．
， ，（依据1）
是 的外角， ，（依据2）
， ．
， ， ．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________．
(2)如图3，在四边形 中， ， ．请猜想 和 的关系，并证明你的结论．(3)如图4，在四边形 中， ，连接 、 相交于点 ， 且 ，点 在
边上， ．求证： ．
【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2) ，证明过程见详解；
(3)证明过程见详解．
【分析】（1）根据证明过程写这两步的依据即可；
（2）连接 ，由 ，得 ，在 边上截取 ，连接 ，方法同（1），即可证明
结论；
（3）过A作 ，交 的延长线于N，得 ， ， ，进而得出 为
中点， ， ，由 ，即可得结论．
【详解】（1）解：如图2，由于 ，故在 边上截取 ，连接 ．
，
，（等边对等角）
是 的外角，，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
，
．
，
，
．
故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）证明：如图，连接 ，
，
，
由于 ，
在 边上截取 ，连接 ．
，
是 的外角，
，
，
．
，
，
．
（3）证明：过A作 ，交 的延长线于N，
，
四边形 是平行是边形， ，
， ，
，
，
为 中点，
， ，，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线间的平行线段
相等、三角形外角的性质、平行线的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键．
3．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三
角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
(1)如图1，四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若 ， ，则
______ ；
(2)如图2，四边形 中， ， ， ， ．
①试说明四边形 是“等腰四边形”；②如图3，点 在线段 上， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则
的最大值为______；
(3)若在“等腰四边形” 中， ， ，且 为“界线”，请直接写出
的度数为______．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3) 或 或 ．
【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得， ，根据等边对等角，三角形的内角和
定理可得， ， ，由此即可求解；
（2）①如图所示，连接 ，可得 是等边三角形，由 ，可得
，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证
，得到 ，如图所示，过点 作 ，
，当点 三点共线时， 时， 值
最大，由此即可求解；
（3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示， ，
可得 ， ；第二种情况：如图所示， ，可
得 ， 是等边三角形；第三种情况：如图所示， ，设
，如图所示，作 于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
连接 ，则 垂直平分 ， ，可证四边形 是矩形， 是等边三角形，
；由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，
∴ ，在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：①如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是“等腰四边形”；
②如图所示，连接 ，
由上述证明可得，四边形 是“等腰四边形”，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 ， ，
当点 三点共线时， 时， 值最大，
故答案为 ；
（3）解：第一种情况：如图所示， ，
∵四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是菱形，且 ，
∴菱形 是正方形，
∴ ，
∴ ；
第二种情况：如图所示， ，
∵四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，
∴ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
第三种情况：如图所示， ，
∵四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，
∴ ，
设 ，如图所示，作 于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点
，连接 ，则 垂直平分 ， ，
∴ ，
∵ ，即 ， ， ，即 ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等
腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是
解题的关键．
4．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的
两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1， ，四边形 是损矩形，
则该损矩形的直径是线段 ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同
侧的两个角是相等的．如图1中： 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
；再比如 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
．
(1)请在图1中再找出一对这样的角来：____________ ____________．
(2)如图2， 中， ，以 为一边向外作菱形 ，D为菱形 对角线的交点，连
接 ，当 平分 时，判断四边形 为何种特殊的四边形？请说明理由．
(3)在第（2）题的条件下，若此时 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)四边形 为正方形；理由见解析
(3) ．
【分析】（1）以 为公共边，有 ；
（2）证明 ，则四边形 为损矩形，根据 ，可得结论；
（3）如图2，过点 作 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，得，根据平行线等分线段定理可得 ，从而得结论．
【详解】（1）解：由图1得： 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
；
故答案为： （或 ）；
（2）解：四边形 为正方形，
证明： ， 平分 ，
，
四边形 为菱形，
，即 ，
，
四边形 为损矩形，
由（1）得 ，
，
四边形 为正方形；
（3）解：过点 作 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
，
为等腰直角三角形，
，
， ， ，
，
，，
∵ ， ，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，等腰直角三角形的性质，菱形的
性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，作辅助线构建全等三角形是关键．
【经典例题八 平行四边形综合】
【例8】（2025八年级下·全国·专题练习） 已知正方形 中， ，点E在 上，且 ，
将 沿 对折至 ，延长 交 于H，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ，由“ ”可证
，可得 ；
（2）由勾股定理可求 的长即可；
（3）求解 ，结合三角形的面积关系可求解；
【详解】（1）证明：∵将 沿 对折至 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，且 ， ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明
是本题的关键．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图 ， 的面积是 ， 是 的中点，连接 ，
的面积是 ；
（2）如图 ，四边形 的面积是 ， 、 分别是一组对边 、 的中点，连接 ， ，则四
边形 的面积是 ；
（3）如图 ， 、 分别是一组对边 、 上的点，且 ， ，若四边形 的
面积是 ，连接 ， ，则四边形 的面积是 ；
（4）如图4，平行四边形 的面积是 ， ， ，点 从点 出发沿 以每秒 个单位长
的速度向点 运动，点 从点 出发沿 以每秒 个单位长的速度向点 运动． 、 分别从点 、
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形 的面积的值是否随着时间
的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）四边形 的面积的值不随时间 的变化而变化，值为1
【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积，属于综合题，解答本题关键是要掌握高相同，底
边在一条直线上的三角形的面积比等于底边之比．
（1）根据 和 ，高相同，底边相差一半可得出答案．
（2）连接 ，在 和 中，根据底边与高的关系可得出四边形 与四边形 的面积的
关系；
（3）连接 ，在 和 中，根据底边与高的关系可得出四边形 与四边形 的面积的
关系．
（4）根据同底等高的三角形的面积相等，结合（1）（2）（3）的结论即可做出解答．
【详解】解：（1） 和 ，高相同，底边相差一半，
又∵ 的面积是
∴ 的面积是 ．
（2）连接 ，
由图形可得 是 面积的一半， 是 面积的一半，
∴四边形 的面积 四边形 的面积 ．
（3）连接 ，由图形可得 是 面积的 ， 是 面积的 ，
∴四边形 的面积 四边形 的面积 ．
（4）四边形 的面积的值不随时间 的变化而变化；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 同底，
∴ ，
∵ 与 同底，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
与 的延长线相交于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)填空：①当 满足条件 时，四边形 是 形；
②当 满足条件 时，四边形 是正方形．
【答案】(1)证明见解析
(2)①菱；②
【分析】（1）由 ，得到两对内错角相等，再由 为中点，得到 ，利用 得到
与 全等，利用全等三角形对应边相等得到 ，再由 ，等量代换得到 ，利用
一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）①由 为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到 由邻边相等的平行
四边为菱形，即可得证；②添加条件为 ，由 ，根据①得到四边形
为菱形，再由 ，利用等腰三角形的三线合一得到 ，根据有一个角是直角的菱形为正方形
即可得证．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：①当 满足条件 时，四边形 是菱形，
理由如下：
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
∵ 是 的中点，
∴
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 为菱形；
故答案为：菱；
②当 满足条件 时，四边形 是正方形，
理由如下：
由①知当 满足条件 时，四边形 是菱形，
∵ ， 为 中点，
∴ 为 边上的中线，
∴ ，即 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴四边形 为正方形．
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，涉及中点定义、平行线性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的
判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握平
行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．(1)如图1，在四边形 中， ， ，问四边形 垂直四边形吗？请说明理由；
(2)如图2，四边形 是垂直四边形，求证： ；
(3)如图3， 中， ，分别以 、 为边向外作正方形 和正方形 ，连接
， ， ，已知 ， ，求 长．
【答案】(1)四边形 是垂直四边形，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意得出直线 是线段 的垂直平分线，再结合垂直四边形的定义判断即可得解；
（2）设 、 交于点E，由勾股定理得出 ，
，即可得证；
（3）连接 、 ，由正方形的性质可得 ， ， ， ，
，证明 ，得出 ，证明四边形 是垂直四边形，
由（2）得， ，求出 ，代入计算即可得解．
【详解】（1）解：四边形 是垂直四边形；理由如下：
∵ ，
∴点A在线段 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点C在线段 的垂直平分线上，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，即四边形 是垂直四边形；
（2）证明：设 、 交于点E，如图2所示：∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ；
（3）解：连接 、 ，如图3所示：
∵正方形 和正方形 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是垂直四边形，由（2）得， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， ，
，点 从点 出发沿 以每秒 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒
的速度向点 运动，设运动的时间为 秒，当点 运动到点 时，点 停止运动．过点 作
于点 ．
(1)填空： ， （用含有 的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若在某一时刻 ，平面内存在一点 ，使 四点构成的四边形是矩形，求出 的值．
【答案】(1) ；
(2)存在， 时，四边形 是菱形
(3) 的值为 或
【分析】（1）证明 是等边三角形，推出 ，可得结论；
（2）存在，当 时，四边形 是菱形，构建方程求解即可；
（3）分两种情形，当 时，当 时，存在一点 ，使 四点构成的四边形
是矩形，分别构建方程求解．【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
故答案为： ； ；
（2）存在某一时刻 ，使四边形 为菱形；理由如下：
，
四边形 是平行四边形，
当 时，四边形 是菱形，
，
解得： ，
时，四边形 是菱形；
（3）解：当 时，存在一点 ，使 四点构成的四边形是矩形，
如图1所示：
此时 为矩形的两条邻边，，
，
点 一定在 上，
，
四边形 为矩形，
此时点 在点 上，
，
，
；
当 时，存在一点 ，使 四点构成的四边形是矩形，如图2所示：
根据解析（2）可知，四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
