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专题 18.4 正方形的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用正方形的性质求角度】......................................................................................................................1
【题型2 利用正方形的性质求线段长】..................................................................................................................2
【题型3 利用正方形的性质求面积】......................................................................................................................4
【题型4 利用正方形的性质求坐标】......................................................................................................................5
【题型5 利用正方形的性质证明】..........................................................................................................................6
【题型6 添加条件使四边形是正方形】..................................................................................................................8
【题型7 证明四边形是正方形】..............................................................................................................................9
【题型8 利用正方形的性质与判定求角度】.......................................................................................................10
【题型9 利用正方形的性质与判定求线段长】...................................................................................................12
【题型10 利用正方形的性质与判定求面积】.......................................................................................................13
【知识点1 正方形的性质】
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每
条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将
正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 利用正方形的性质求角度】
【例1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
E、F分别为AC、BD上一点，且OE=OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE=25°，则∠CBE的度数为
（ ）A．50° B．55° C．65° D．70°
【变式1-1】（2023春·江苏·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN,∠MCE=35°，则
∠ANM等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【变式1-2】（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）如图，正方形ABCD中，CE∥BD，
BE=BD，则∠CDE= ．
【变式1-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
边长为4，等腰直角三角形EOF绕点O转动，当E、A、D三点共线时，OE与AB的交点G恰好是OE的中
点，则线段EF的长为（ ）
A．12 B．4√5 C．8 D．2√10
【题型2 利用正方形的性质求线段长】
【例2】（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2√2，P为对角线BD上动
点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）A．2 B．4 C．√2 D．1
【变式2-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是AD边上的一
点，AM:MD=1:2．将ΔBMA沿BM对折至ΔBMN，连接DN，则DN的长是 ．
【变式2-2】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，
HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，求BG的长．
【变式2-3】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长
线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG
交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）4 √10 √5
A． B． C．1 D．
3 3 3
【题型3 利用正方形的性质求面积】
【例3】（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2√5，N为AD上一点，连接
BN，AM⊥BN于点M，连接CM，且CM=CB，若AM=2，则△BCM的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2√5
【变式3-1】（2023春·重庆永川·八年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD内一点，且AE=1，
BE=√5，若∠AED=135°，则正方形ABCD的面积是 ．
【变式3-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，
点A ，A ，A ⋅⋅⋅分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．
1 2 3
【变式3-3】（2023春·山东日照·八年级校考期中）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的
各边延长一倍得到新正方形A B C D ，把正方形A B C D 边长按原法延长一倍后得到正方形
1 1 1 1 1 1 1 1A B C D ，如图（2）；以此下去…，则正方形A B C D 的面积为（ ）
2 2 2 2 4 4 4 4
A．25 B．125 C．625 D．3125
【题型4 利用正方形的性质求坐标】
【例4】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐
标为(0,2)，顶点B在x轴上，对角线AC、BD相交于点M，若OM=3√2，则点C的坐标为 ．
【变式4-1】（2023春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点
A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B'
处，则B'点的坐标为（ ）
3 3
A．(2，2) B．( ，3) C．(2，4−2√3) D．( ，4−2√3)
2 2
【变式4-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，正方形AOBC边长为6，对角线AB、OC相交
于点D，x轴上有一点E(2,0)，动直线l绕着点D旋转，与x轴相交于点P，且满足∠DEA−∠PDA=45°，点P坐标为 ．
1
【变式4-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线y= x+1与x轴、y
2
轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，点C的坐标是 ．在y轴上有一个
动点M，当△MDC的周长最小的时候，点M的坐标是 ．
【题型5 利用正方形的性质证明】
【例5】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点
A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E
作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
(1)求证：GF=GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【变式5-1】（2023春·天津·八年级校联考期中）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延
长线上，且AE=CF．求证：(1)DE=DF；
(2)∠EDF=90°．
【变式5-2】（2023春·广西贺州·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，
连接DE ，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)如图2，连接FC、AC，若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
【变式5-3】（2023春·北京延庆·八年级统考期末）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为射线AB
上一个动点，连接CE，以点E为圆心，CE为半径画弧，与直线CA交于点F，连接EF．若∠BCE=α，
且0∘<α<45∘．(1)如图1，当点E在边AB上时，求∠AEF的度数（用含α的式子表示）；
(2)如图2，当点E在边AB的延长线上时，
①请你依题意补全图形；
②用等式表示线段AD,AE,AF之间的数量关系，并证明．
【知识点1 正方形的判定】
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
【题型6 添加条件使四边形是正方形】
【例6】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条
件能使其成为正方形，下列条件：①AC=BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2=BD2；④
∠ACD=∠ADC，其中符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【变式6-1】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，已知 ▱ABCD的对角线交于点O，下列结论中
不一定正确的是（ ）
A．当AB=AD时，它是菱形
B．当AC=BD时，它是矩形C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当∠ABC=90°时，它是正方形
【变式6-2】（2023春·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E
是边BC的中点，连接EF．
（1）求证：2EF=CD；
（2）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是矩形；
（3）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；
（4）当EF与BC满足_____时，四边形ABCD是正方形．
【变式6-3】（2023春·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD：
(2)当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
(3)在满足（2）的条件下，当 ABC满足条件__________时，四边形BECD是正方形．
【题型7 证明四边形是正方△形】
√5−1
【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期末）宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩
2
形纸片ABCD是黄金矩形，宽AB=2，折叠纸片，使点A落在BC上的点E处，得到折痕BF；再次折叠纸
片，使点C落在EF上的点G处，得到折痕EH．(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)四边形GHDF是黄金矩形吗？请说明理由．
【变式7-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F
在AC上，AE=CF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)若∠BAC=∠DAC，DO=EO，求证：四边形EBFD是正方形．
【变式7-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，E，M分别为AD，AB的中
点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN．
(1)证明：四边形AMDN是菱形；
(2)若∠DAB=45°，判断四边形AMDN的形状，并说明理由．
【变式7-3】（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，
CE⊥BP于点E，BP=EC．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G．
①请求出AP与CF的数量与位置关系；
②求∠BGP的度数．【题型8 利用正方形的性质与判定求角度】
【例8】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）已知：BD是 ABC的角平分线，点E在AB边上，
BE=BC，过点E作EF ∥ AC，交BD于点F，连接CF，D△E．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形：
(2)如图2，当∠≝=90°，AC=BC时，求∠A的度数，并在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中
所有与∠A相等的角．
【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一
点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′= ．
【变式8-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图
（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜
四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其
中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知
某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ=24°，则∠DCP=
度．
【变式8-3】（2023春·广东广州·八年级期中）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝2√2，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【题型9 利用正方形的性质与判定求线段长】
【例9】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一
点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处．当△AEF为直角三角形时，AE= ．
【变式9-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
√6
A．2 B．√3 C． D．√2
2
【变式9-2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，
BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为121，则BE＝ ．【变式9-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，将△ABD
绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点B，D分别与点E，F对应，连结CF，此时四边形ABCF为平行四
边形．
（1）若AB=5，求AF的长．
（2）求∠CEF的度数．
【题型10 利用正方形的性质与判定求面积】
【例10】（2023春·上海静安·八年级统考期末）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是菱形；
(2)如果AD=3，BC=5，且EF⊥FG，求四边形EFGH的面积．
【变式10-1】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、△CBF、
△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接BG、DE，分别交AE、CG
于点M、N，则四边形GBED和四边形GMEN的面积比为（ ）A．5∶2 B．2∶1 C．√2:1 D．√3:1
【变式10-2】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD=5，DC=6，菱形
EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
(1)若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；
(2)若DG=4，求△FCG的面积；
(3)当DG为何值时，△FCG的面积最小．
【变式10-3】（2023春·八年级课时练习）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且点D
在△ABC内部，连接BD，CE，BD的延长交线段CE于点F．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)判断BF与CF的位置关系并证明；
(3)连接，若，求四边形的面积．
