文档内容
专题04 正方形的判定与性质重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 正方形的性质理解
题型二 根据正方形的性质求角度
题型三 根据正方形的性质求线段长
题型四 根据正方形的性质求面积
题型五 正方形折叠问题
题型六 根据正方形的性质证明
题型七 证明四边形是正方形
题型八 根据正方形的性质与判定求角度
题型九 根据正方形的性质与判定求线段长
题型十 根据正方形的性质与判定求面积
题型十一 根据正方形的性质与判定证明
题型十二 中点四边形
题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题
题型十四 四边形中的线段最值问题
题型十五 四边形的其他综合问题
【知识梳理】
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
【经典例题一 正方形的性质理解】
【例1】（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）关于正方形性质的描述：
①既是轴对称图形，也是中心对称图形；
②对边平行且相等，四条边相等；
③四个角相等，且都等于 ；
④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角．
其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）如图，四边形 为正方形，E为 上一点，
于点F，连接 ，设 ，若 ，则 可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线 、 、 、
分别过正方形 的四个顶点 、 、 、 ，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方
形的面积是 ．3．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形 中，延长 至点E，使得
，连接 ， ， 交 于点F．
(1)试探究 的形状；
(2)求 的度数．
【经典例题二 根据正方形的性质求角度】
【例2】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图， 为正方形 外一点，且 是等边三角形，
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，“笔尖”图案五边形 由正方形 和等边
组成，连接 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则
的度数是 ．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ，如图1，
其中E点在边 上，F、G分别在边 、 上，分别以 、 为折痕进行折叠并压平，点A、D的
对应点分别是点 和点 ．
甲同学的操作如图2，其中 ；
乙同学的操作如图3， 落在 所在直线上；
丙同学的操作如图4， 落在 上， 落在 上．
(1)求出图2中 的度数；
(2)直接写出图3中 的度数；
(3)直接写出图4中 的度数；
(4)若折叠后 ，直接写出 的度数（用含n的代数式表示）．
【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】【例3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形 中，分别以 为圆心，以相同长
度为半径作弧相交于点 ，作射线 交对角线 于点 ，若 ，则 （ ）．
A． B． C．2 D．
【变式训练】
1．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为6，点 是对角线 上一点，且
，则 的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2024下·八年级课时练习）如图，正方形 中， ，E是 的中点，点P是对角线 上
一动点，则 的最小值为 ．
3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在四边形 中，O是边 上的一点．若 ，
则O叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形________“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图1，在四边形 中，边 上的O是四边形 的“等形点”．已知 ， ，
，连接 ，求 的长；
(3)如图2，在四边形EFGH中， ．若边 上的O是四边形 的“等形点”，求 ．
【经典例题四 根据正方形的性质求面积】
【例4】（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）如图，正方形 和正方形 的
边长都是2，正方形 绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2022上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）一种包装盒的设计方法如图所示，四边形 是边长为
正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D
四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设 ，要使包装盒的侧面
积最大，则x应取（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，一个正方形 中有两个小正方形，如果它们的面积分
别为 ， ，则 （填“ ”或“=”或“ ”）．
3．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中 纸的面积为1
．将A0纸沿长边对开便成了两张 纸；将 纸沿长边对开便成了两张 纸；……；将 纸沿长边对开
便成了两张 纸．
【操作与观察】将一张 纸按下图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是 和 ），观察发现点B恰
好与点C重合，求A4纸的长宽之比．
【猜想与验证】利用上图，求证： 是等腰直角三角形．
【类比与归纳】①按照国际标准，类比上述研究可以得到 纸的长宽之比是______．
②用 纸可以裁剪出的最大正方形的面积为______．【经典例题五 正方形折叠问题】
【例5】（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，正方形 中， ，将 沿 对折至 ，
延长 交 于点G，G刚好是 边的中点，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【变式训练】
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，正方形 中， ，将 沿 对折至 ，延
长 交 于点G，G刚好是 边的中点，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
2．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，将对角线 长为 的正方形 折叠，使点B落
在 边的中点 处，点 落在 处，折痕为 ．连接 ，则 的长为 ．
3．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片 折叠，使边 ， 都落在对角线
上，展开得折痕 ， ，连接 ．
(1) _______°；
转一转：如图②，将图①中的 绕点A旋转，使它的两边分别交边 ， 于点P，Q，连接 ．
(2)猜想线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若正方形的边长为6， ，求 的长．
【经典例题六 根据正方形的性质证明】
【例6】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，边长为 的正方形
的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
【变式训练】
1．（2022·广东·模拟预测）如图，在正方形 中， ，延长 至点 ，使 ．过点 作
于点 ，同时使 ，且点 与点 分别在直线 的两旁，连接 和 ．已知 的中点为 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）如图，分别以 的边 为边向外作正方形 ，连接
，若 ， ，则 ．
3．（2023·山东泰安·统考三模）已知如图 ， 为正方形 的边 上任意一点， 于点 ，
在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ， 的平分线交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是等腰直角三角形；
(3)如图 ，若正方形 的边长为 ，连接 ，当 点为 的中点时，求 的长．
【经典例题七 证明四边形是正方形】
【例7】（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在四边形 中，对角线 垂直平分 ．关于四边形 的形状，下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则四边形 是矩形；
B．若 ，则四边形 是菱形；
C．若 ， ，则四边形 是正方形；
D．若 ， 则四边形 是正方形．
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（2023上·河南平顶山·九年级校考期中）如图，菱形 的对角线 相交于点O，点E，F同
时从O点出发在线段 上以 的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动
时间为 ．连接 ，已知 是边长为 的等边三角形，当 s时，四边形
为正方形．
3．（2023上·重庆铜梁·九年级重庆市巴川中学校校考期末）青青是一个爱思考的好孩子．学了正方形后，
她用尺规作图的方式从矩形里面作出了一个最大的正方形．她的操作思路是：在矩形 的边 上截
取 ，使 ，再作 的角平分线 交 于点 ，最后连接 ，则得到四边形 为正方
形．(1)用直尺和圆规根据青青的操作思路将图补充完整；（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)根据青青的操作思路将推理过程补充完整．（除题目给的字母外，不添加其它字母或符号）．
证明： 四边形 为矩形
①______
平分
②______
又
③______
又 ④______
四边形 为平行四边形
又
四边形 为正方形．
【经典例题八 根据正方形的性质与判定求角度】
【例8】（2022上·山东滨州·九年级统考期末）如图，将正方形 绕点A顺时针旋转 ，得到正方形
， 的延长线交 于点H，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2019上·九年级单元测试）如图， 是正方形 的边 上的一个动点， 的垂直平分线 交
对角线 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，则 的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
2．（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ．若点P满足 ，且
，则 ．
3．（2021下·浙江杭州·八年级期中）如图，在一正方形 中，E为对角线 上一点，连接 、 ．（1）求证： ．
（2）延长 交 于点F，若 ．求 的度数．
【经典例题九 根据正方形的性质与判定求线段长】
【例9】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，矩形纸片 中， ， ．
现将其沿 对折，使得点 在边 上的点 处，折痕与边 交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，矩形纸片 中， ， ．现将其
沿 对折，使得点 在边 上的点 处，折痕与边 交于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，已知点 在第一象限的角平分线 上，且点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则 ．
3．（2023上·陕西汉中·九年级统考阶段练习）问题提出
（1）如图1，在矩形 中， ，点P是矩形 内一动点，且 ，则
的最小值为______；
问题探究
（2）如图2，在菱形 中， ，E，F分别是 边上的两个动点，且 ，连接
，求证： ；
问题解决
（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园 ，其中 米，
， ．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊 ，且绿色
长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边 和边 上，且 ，为了节省成本，要求绿色长廊
之和最短，试求 的最小值．（长廊宽度忽略不计）
【经典例题十 根据正方形的性质与判定求面积】
【例10】（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，点A，B分别是x轴和y轴上的
动点，且 ，取 的中点P，则在坐标平面内所有满足条件的点 围成的封闭图形的面积为
（ ）A．32 B．28 C．16 D．8
【变式训练】
1．（2021上·广东佛山·九年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将
AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是
（ ）
A．100 B．144 C．169 D．225
2．（2023上·广东揭阳·九年级统考期中）如图，在矩形 中， 交 于点O，且 ，
，将 绕点C顺时针旋转 至 ，连接 ，且 、 分别为 、 的中点，则四边形
的面积是 ．
3．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，已知平行四边形 中，对角线 交点O，E是 延
长线上的点，且 是等边三角形．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【经典例题十一 根据正方形的性质与判定证明】
【例11】（2023上·河南焦作·九年级校联考期中）如图，点E在正方形 的对角线 上，且
，直角三角形 的两直角边 、 分别交 、 于点M、N．若正方形 的边长为
a，则重叠部分四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·安徽宿州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰 中， ， ， 是
边上的中点，点 ， 分别在 ， 边上运动，且保持 ．连接 ， ， ．在此运动变
化的过程中，下列结论：① 是等腰直角三角形；②四边形 不可能为正方形，③ 长度的最
小值为 ；④四边形 的面积保持不变；⑤ 面积的最大值为4，其中正确的结论是（ ）A．①②④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤
2．（2023上·湖北恩施·八年级校考期中）如图，在 中， ，点O为 的三条角平分线的
交点， ， ， ，垂足分别是D、E、F，且 ， ， ，则点O
到 的距离为 ．
3．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在图1，图2，图3中， ，
(1)问题探索
如图1，当点 和点 在直线 异侧时，猜想 ， ， 三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，
延长 到点 ，使得 ，连接 ，由于 ，证得 ，从而
，且 ，所以 ，得到等腰直角 ，则小明得到线段 ， ，
之间的数量关系为
(2)问题解决
如图2，当点 和 在直线 同侧时， 与 交于点 ，请你借鉴 中的方法证明：
(3)思维拓展
如图3，当点 和 在直线 异侧时， 于点 ，猜想线段 ， ， 三之间的数量关系，
并写出证明过程．【经典例题十二 中点四边形】
【例12】（2022上·云南楚雄·九年级校考阶段练习）如图，矩形 的面积是4，顺次连接各边中点
得到四边形 ，再顺次连接四边形 的各边中点得到四边形 ……以此类推，则四
边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形 各边中点得到四边形 ，下列说法
正确的是（ ）
A．只有四边形 为平行四边形，四边形 才可能为平行四边形
B．只有四边形 为正方形，四边形 才可能为正方形
C．如果四边形 为矩形，则四边形 一定是菱形
D．如果四边形 为菱形，则四边形 一定是菱形
2．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考开学考试）如图，点 是四边形 内一点，且满足
， ， ， ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点，则四边
形 的形状为 .3．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图1， 是线段 上的一点，在 的同侧作 和 ，
使 ， ， ，连接 ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的
中点，顺次连接 ， ， ， ．
(1)猜想四边形 的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)点 在线段 的上方时，如图2，在 的外部作 和 ，其他条件不变，（1）中的结论
还成立吗？说明理由；
(3)如果（2）中， ，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形 的形状，并说明
理由．
【经典例题十三 （特殊）平行四边形的动点问题】
【例13】（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在长方形 中，已知 ， ，点P
以 的速度由点B向点C运动，同时点Q以 的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P
为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．2或【变式训练】
1．（2023下·四川南充·八年级统考期末）如图，四边形 中， ，
．点 从点A出发，以 的速度向点D运动；点 从点
C同时出发，以 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
设运动时间为 秒，下列结论错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 或 时， D．当 时，四边形 的最大面积为
2．（2022下·河南郑州·八年级统考期末）如图，在 中，对角线 相交于点 ，点 在
上， ， ， ，点 是 的中点，若点 以 的速度从点 出发，
沿 向点 运动，点 同时以 的速度从点 出发，沿 向点 运动，点 运动到点 时停止运
动，点 也同时停止运动，当点 运动 时，以点 为顶点的四边形是平行四边
形．
3．（2023上·山西运城·九年级统考期中）综合与探究
如图，在矩形 中， ，点 分别从点 出发，沿 ， 方向在
矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，
若 ，则 ．(1)当运动停止时， 的值为______．
(2)当 为何值时，点 重合？
(3)当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？
【经典例题十四 四边形中的线段最值问题】
【例14】（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在正方形 中，点E、F、G分别在 、 、
上， ， ， ， ， 与 交于点P．连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知菱形 的边长为6，点 是对角线 上的一动
点，且 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．（2021上·广东韶关·九年级校考期中）如图，在边长为6的正方形 中，若 ， 分别是 ，
边上的动点， ， 与 交于点 ，连接 ．则 的最小值为 ．
3．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形 中，点 为边 的上一动点，作
交 、 分别于 、 点，连 ．
(1)若点E为 的中点，求证：F点为 的中点；
(2)若点E为 的中点， ， ，求 的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出 的最小值________．
【经典例题十五 四边形的其他综合问题】
【例15】（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）如图，在正方形 中，以 为边作等边三角形
，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ 和 的面积比为 ；④ ．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【变式训练】
1．（2022下·重庆江北·八年级校考期中）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
将 ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②
△ △
BG=CG；③AG CF；④ ，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．（2022·湖北十堰·统考中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ，
， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ，，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少
（结果取整数，参考数据： ）．
3．（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）在菱形 中， ，E为对角线 上的一点（不与
A，C重合），将射线 绕点E顺时针旋转 角之后，所得射线与直线 交于F点，试探究线段 与
的数量关系，小字发现点E的位置， 和 的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．
(1)如图1，当 时，菱形 是正方形．小宇发现，在正方形中， 平分 ，作
于M， 于N．由角平分线的性质可知 ，进而可得 ，并由全等
三角形的性质得到 与 的数量关系为__________．
(2)如图2，当 ， 时，
①依题意补全图形；
②请帮小字继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；【拓展培优】
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、
、 的中点，若中点四边形 是菱形，那么原四边形 满足什么条件（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E，F分别是菱形 边 的中点，
交 的延长线于点G．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山东济南·九年级统考期末）如图，菱形 中， ， ，E，F，P分别是
， ， 上的动点， 的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·海南三亚·统考二模）如图，将边长为4，锐角为 的菱形 沿 折叠，使顶点 恰好落
在边 的中点处，记为 ，则 的长度为（ ）A． B． C．3 D．
5．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，在菱形 中， ，点 分别在 上，且
，连接 交于点 ，延长 到 使 ，连接 ，则以下四个结论：①
；② ；③ 是等边三角形；④ ．其中正确结论的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024上·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在菱形 中，对角线 的交点为O，
， ，若点E在 上，且 ，则 的长为 ．
7．（2023上·贵州贵阳·九年级校考期中）如图，在菱形 中，对角线 ，点 为 的中点，点
在 上，连接 交 于点 ，若 ， ，则线段 的长为 ．
8．（2024上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期末）如图，四边形 为菱形， ，在 内作射线 ，使得过点D作 ，垂足为F，若 ，则对角线 的长为 ．
9．（2023上·江苏南京·八年级期末）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，点E为 的中
点，点F在 上， ，连接 交 于点G，若 ，连接 ， ，则线段 的长
为 ．
10．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在菱形 中， ， ，点 为
边上一点，且 ，在 边上存在一点 ， 边上存在一点 ，线段 平分菱形 的周长．
则 周长的最小值为 .
11．（四川省达州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在 中， ，D是 的
中点，过点A作 ，且 ，连结 ．(1)证明：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
12．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）在 中，点 是 上任意一点，延长 交 的延长
线于点 ．
(1)在图1中，当 时，求证： 是 的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，
①如图2，若 ，点 是 的中点，请求出 的度数；
②如图3，若 ，且 ，连接 、 ，请直接写出 的度数．
13．（2022下·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图1，在矩形纸片 中， ， ，折叠
纸片使B点落在边 上的点E处，折痕为 ．过点E作 交 于F，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点E在 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形 的边长②若限定P、Q分别在边 、 上移动，菱形 的面积的最大值为______；最小值为______．
14．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点P从点D
出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的
速度都是 ，连接 ，设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形？
(2)当t为何值时，四边形 是菱形？求出此时菱形 的面积．
15．（2024上·福建福州·八年级校考期末）【提出问题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边
的平方和．
【探究问题】小红在探究该问题时从特殊的矩形和菱形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
（1）①如图①，在矩形 中， ， ，则 __________；②若边长为5的菱形 中，两条对角线的平方和 __________；
【解决问题】（2）如图②，已知 ，求证： ；
【知识应用】（3）如图③，在 中， 的长分别为7、10、5， 是 边上的中线，利
用（2）的结论求 的长．
