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第二篇 解题技巧篇
技巧01 选择题解法与技巧（讲）
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（一）立德树人，“五育”并举
【典例1】（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨
临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
【典例2】（2022·全国·统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：
h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 ，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，
B选项结论正确.
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ，
C选项结论错误.
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ，
D选项结论正确.
故选：C
【典例3】（2021年全国高考甲卷（理））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】
由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
【典例4】（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”
则海岛的高 （ ）A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
【典例5】（2020年新课标Ⅱ（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第
一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
【详解】
设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【典例6】（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为
p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；该棋
手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者进行比
较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
【典例7】（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游
泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式
可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游
泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【综合分析】
1.突出 “德育为先，立德树人”的思想理念. 以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文
明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康、悠久数学文化等生活内容为题材，复习中可适当关注.
2.突出“五育并举，全面发展”的思想理念.往往以重大体育赛事为背景，选择学生喜欢的足球、游泳、棋类、
田赛、竞赛等项目具体设计试题，突出发挥高考试题的体育教育功能.以我国古建筑、体育运动项目为背景，
设计数学计算问题，考查学生的分析问题能力、数学运算能力，以及数学文化素养，同时，将爱国主义教育、
美育教育融入其中，展示了数学之美，讴歌了中国劳动人民的勤劳与智慧．以美育为背景的考题，多以自然之
美和创作之美等为题材，同时，引导学生增强热爱劳动、热爱工作意识.3.青少年的身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含健康情感的指标，
要求学生具有健康意识，注重增强体质，健全人格，锻炼意志品质.
（二）关注社会经济，增强实践意识
【典例8】（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效
果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲
座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为 ,所以 错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是 个 ,剩下全部大于等于 ,所以讲座后问卷答题的正确率的平
均数大于 ,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C
错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，
讲座前问卷答题的正确率的极差为 ,所以 错.故选:B.
【典例9】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄
入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的
面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到
时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 ．
棱台上底面积 ，下底面积 ，
∴
．
故选：C．
【典例10】（2020年（文）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完
成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能
完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【综合分析】
“脱贫攻坚”、“南水北调”、“一带一路”、疫情防控等，是我国经济生活中的重大工程、重大事项，“垃
圾分类”是我们积极倡导的文明生活，以这些社会活动为背景设计考题，不但考查学生分析问题和处理数据的
能力，更有助于引导学生关注社会现实，关注经济发展，增强社会实践意识，也有助于学生体验数学的应用之
美.
（三）关注科技前沿，激发学习热情
【典例11】（2021年全国新高考II卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航
系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球
表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成
角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表
面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.【典例12】（2020年新课标Ⅱ（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义，逐一检验即可
【详解】
由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C【综合分析】
1.以北斗三号全球卫星导航系统为背景设计试题，展示我国的航天事业的重要成果，突出发挥高考试题的德育
教育，同时引导学生关注社会、关注科技成果，激发学生学习热情.
2.以0-1周期序列在通信技术的应用为背景设计题目，考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对
新定义的理解能力以及数学运算能力，突出引导学生关注最新科技成果，激发学习热情.
方法技巧 典例分析
01 直接法
【核心提示】
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而
得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算
较简单的题目常用直接法.．
【典例分析】
典例1.（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒
张压数据（单位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号
为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20
人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.
【详解】志愿者的总人数为 ＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12．
故选：B.
典例2.（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 ，则 =（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】已知等式利用倍角公式和同角三角函数的关系化简，得 ，再用两角和的正切公式求
的值.
【详解】由 ，解得 .
∴ .
故选：A
02 特例法
【核心提示】
从题干(或选项)出发，通过选取符合条件的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等）代入，将问
题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略.
但要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解．
【典例分析】
典例3.（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；，得 ，故D正确.
[方法二]：特例（值）法
不妨设 则
故D正确.
典例4.（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
03 排除法
【核心提示】
排除法(淘汰法、筛选法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，
排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.
排除法使用要点：1.从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项；
2.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件
在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特例（值）法、验证法等常结合使用.
【典例分析】
典例5.（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
典例6.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）当 时，不等式 成立.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将给定不等式变形，构造函数 ，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当 时，不等式 ，
令 ，则 在 上单调递增，
对A，因 ，则 ，故A错误；
对B， ，则 ，B错误；
对C，由 知， ，有 ，
则 ，由选项A知， ，即 ，故C错误；
对D，由 得， ，
则 ，故D正确.
故选：D.
04 数形结合法
【核心提示】
有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、
形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.
【典例分析】典例7.（2020·北京高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
典例8.（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的
点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用几何法表示出 ，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
05 估算法
【核心提示】
选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特
点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强
了思维的层次.
使用要点：
1.使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特例（值）法结合起来使用.
2.使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.
【典例分析】
典例9.（2019年全国文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头
顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
【答案】B
【解析】
方法一：用几个选项的答案减去105再除以105 答案接近0.618的就对啦！
方法二：分析:估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算
头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人
的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大
于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.
方法三：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则 ，得
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为
42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．
典例10. (2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其
面积为9√3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为（ ）
A. 12√3 B. 18√3 C. 24√3 D. 54√3
【答案】B
【解析】
方法一：思路分析：V 最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算
三棱锥D－ABC
过程：等边三角形ABC的面积为 ，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以
