文档内容
技巧 02 填空题的答题技巧
【目录】
考点一：特殊法速解填空题
考点二：转化法巧解填空题
考点三：数形结合巧解填空题
考点四：换元法巧解填空题
考点五：整体代换法巧解填空题
考点六：坐标法巧解填空题
考点七：赋值法巧解填空题
考点八：正难则反法巧解填空题
高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的
小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问
题的能力．
（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略
是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对
选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．
（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的
方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还
有排除法（筛选法）等．1、面对一个抽象或复杂的数学问题时，不妨先考虑其特例，这就是数学中常说的特殊化思维策略“特
殊化思维”是解高考数学填空题的一种常用解题策略，其实质是把一般情形转化为特殊情形，把抽象问题
转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，实现快速、准确求解的目的．
2、等价转化可以把复杂问题简单化，把陌生问题熟悉化，把原问题等价转化为便于解决的问题，从
而得出正确结果．
3、数形结合实际上就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，相互转化，实
现形象思维和抽象思维的优势互补．一方面，借助图形的性质使许多抽象概念和关系直观而形象，以利于
探索解题途径；另一方面，几何问题代数化，通过数理推证、数量刻画，获得一般化结论．
1．（2023·北京·统考高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
在区间 上单调递减；
①当 时， 存在最大值；
②设 ，则 ；
③
设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
④
2．（2023·全国·统考高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角
形， 平面 ，则 ．
3．（2023·全国·统考高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
4．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
5．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取
值范围是 .
7．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围
为 ．
8．（2023·天津·统考高考真题）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中
点，若设 ，则 可用 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．考点一：特殊法速解填空题
【例1】已知数列 满足 为常数， ， ， ，给出下列四个结论：
若数列 是周期数列，则周期必为2： 若 ，则数列 必是常数列： 若 ，则数列
① ② ③
是递增数列： 若 ，则数列 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是__________．
【变式1-1】关于函④数 ，有下述三个结论：
是周期为 的函数；
①
在 单调递增；
②
在 上有三个零点；
其中所有正确结论的编号是__________
③
【 变 式 1-2 】 给 出 下 列 8 个 命 题 ：
① ② ③
，
④ ⑤ ⑥ ⑦
， ，其中正确的命题的序号是__________ 将你
认为的所有正确的命题的序⑧号都填上
考点二：转化法巧解填空题
【例 2】在等比数列 中， ， 是函数 的两个不同极值点，则
__________．
【变式2-1】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 __________．
【变式2-2】已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ， ，
， ，且 ，则 的最小值是__________．
考点三：数形结合巧解填空题【例3】在 中， ， ， ，D在边BC上，延长AD到P，使得 ，
若 为常数 ，则CD的长度是________．
【变式3-1】已知当 时，函数 有且仅有5个零点，则 的取值
范围是__________．
【变式3-2】如图，某正方体的顶点A在平面 内，三条棱AB，AC，AD都在平面 的同侧．若顶点B，
C，D到平面 的距离分别为 ， ，2，则该正方体外接球的表面积为____________．
考点四：换元法巧解填空题
【例 4】已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线上一点，
， 的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍．若该双曲线的离心率为 e，则
__________．
【变式4-1】已知函数 ，若函数 有6个不同的
零点，则实数m的范围是__________．
【 变 式 4-2 】 设 若 互 不 相 等 的 实 数 ， ， 满 足
，则 的取值范围是__________．
考点五：整体代换法巧解填空题
【例5】已知 ，若 ，则 __________；
【变式5-1】设 ， ，且 ，则当 取最小值时， __________．【变式5-2】已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为__________．
【变式5-3】已知正实数x，y满足 ，且关于x，y的不等式 恒成立，则k的最
大值为__________．
考点六：坐标法巧解填空题
【例6】已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为__________．
【变式6-1】近两年，中国移动推动5G和4G技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原
4G线路传输资源，并高效建设5G基站．如图，南北方向的公路l，城市A地 看作一点 在公路正东
处，城市B地 看作一点 在A北偏东 方向2km处，原有移动4 G 线路PQ曲线上任意一点满足
到公路l和到城市A地距离相等．现要在线路PQ上一处M建一座5G基站，则这座5G基站到城市A，B
两地的总距离最短时为__________
【变式6-2】在等边 中， ，点P是 所在平面内一点，且满足 ，则
的取值范围为__________．
考点七：赋值法巧解填空题
【 例 7 】 已 知 的 展 开 式 的 二 项 式 系 数 和 为 128 ， 若
，则 __________．
【变式7-1】已知定义在R上的奇函数 满足 ，若 ，则曲线
在 处的切线方程为__________．
【 变 式 7-2 】 设 为 的 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 ， ， ，
表示不超过实数x的最大整数 ，则 的最小值为__________．考点八：正难则反法巧解填空题
【例8】命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为__________．
【变式8-1】镜湖春游甲吴越，莺花如海城南陌．四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古
镇，千年水利工程它山堰就在此处．时间有限，小明打算游览6个景点，上午4场，下午2场．其中它山
堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻，其中上午第4场和下午第1场不算相邻，则不同的游览方式
有__________种．
【变式8-2】由命题“存在 ，使 ”是假命题，得m的取值范围是 ，则实数a的值
是__________．
【变式8-3】厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形
成春秋交替之势．为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3
人参
赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生
的概率为__________．
