文档内容
第 09 讲 正方形【10 个必考点】
【人教版】
【知识点1 正方形的定义及性质】..........................................................................................................................1
【必考点1 利用正方形的性质求线段的长度】.....................................................................................................2
【必考点2 利用正方形的性质求角度】.................................................................................................................3
【必考点3 利用正方形的性质求面积】.................................................................................................................5
【必考点4 坐标系中正方形性质的应用】.............................................................................................................6
【知识点2 正方形的判定】......................................................................................................................................7
【必考点5 正方形的判定条件】..............................................................................................................................7
【必考点6 证明一个四边形是正方形】.................................................................................................................8
【必考点7 正方形的判定与性质综合应用】.........................................................................................................9
【必考点8 正方形中的多结论问题】....................................................................................................................11
【必考点9 正方形中的最值问题】.......................................................................................................................12
【必考点10 正方形中的常见的辅助线构造】.....................................................................................................13
【知识点1 正方形的定义及性质】
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺
一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊
的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和 菱形 .
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三
角形和直角三角形的性质.
【必考点1 利用正方形的性质求线段的长度】
【例1】如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，BE平分∠CBD，交CD于点E，交OC于点F，
若AB＝4，则CF的值为（ ）
3❑√2
A． B．❑√2+2 C．2❑√2−2 D．4❑√2−4
2
【例2】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接
EF，则BF的长为（ ）
3
A．2 B． ❑√2 C．3 D．2❑√2
2
【变式1】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且
OE⊥OF，连接EF．若∠AOE＝150°，DF=❑√2，则EF的长为（ ）A．2 B．2+❑√2 C．2❑√2 D．❑√2+1
【变式2】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接
GH，则GH的长为（ ）
3 5
A．❑√2 B． C．2 D．
2 2
【变式3】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分
别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
❑√2
A． B．1 C．❑√2 D．2
2
【必考点2 利用正方形的性质求角度】
【例1】如图，正方形ABCD内的△BEC为正三角形，则∠DEA的度数为（ ）A．130° B．120° C．135° D．150°
【例 2】如图，点 E 在正方形 ABCD 的内部，且△ABE 是等边三角形，连接 BD，DE，则∠BDE＝
（ ）
A．37.5° B．35° C．30° D．25°
【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若
EF∥BC，且∠CEF＝ ，则∠AFD的大小为（ ）
α
A． B．2 C．45°﹣ D．45°+
【变式α2】如图，在正方形ABαCD中，点E，F分别在AD，αAB上，满足DE＝AαF，连接CE，DF，点P，Q
分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝ ．则∠PQE可以用 表示为（ ）
α α
α
A． B．45°﹣ C．45°− D．3 ﹣45°
2
α α α【变式3】如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，连接CE交对角线BD于点F，连接AF．若∠AFC＝
140°，则∠DEC的度数为（ ）
A．80° B．75° C．65° D．70°
【必考点3 利用正方形的性质求面积】
【例1】如图，正方形 ABCD的对角线 AC，BD交于点 O，M是边AD上一点，连接 OM，过点 O作
ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是4，则△COD的面积为（ ）
A．4 B．2 C．4❑√2 D．2❑√2
【变式1】如图，边长为4cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，
则两个正方形重叠部分的面积是（ ）cm2．
A．8 B．4 C．6 D．2
【变式2】如图，已知正方形ABCD边长是5，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接
EC，若CE＝CD，则△CDE的面积是（ ）75
A． B．20 C．5❑√3 D．10
8
【变式3】如图，在菱形ABCD中，以AC为对角线作正方形AECF，若∠DAB＝60°，AB＝4，则正方形
AECF的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【必考点4 坐标系中正方形性质的应用】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（﹣2，0），C（﹣1，3），则点B的坐标是
（ ）
A．（0，2） B．(0，❑√5) C．（0，1） D．(0，❑√2)
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为
（﹣2，4），点D在第一象限，则点C的坐标为 （ ）A．（2，8） B．（3，7） C．（1，8） D．（2，7）
【变式2】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（4，0），
则顶点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2）或（2，2）
C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）或（2，2）
【变式3】如图，在Rt△ABO中，AB＝OB．顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方
形ABCD，点D的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（3，2） C．（4，1） D．（4，2）
【知识点2 正方形的判定】
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是
正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方
形.
【注意】
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定
该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
【必考点5 正方形的判定条件】
【例1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的
是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【变式1】四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，AB＝CD，∠A＝∠B
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【变式2】下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱
形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形．其中一定是正方形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②∠ABC＝90°，
③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使菱形ABCD是正方形的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【必考点6 证明一个四边形是正方形】
【例1】如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次
连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AO．
①直接写出当AO和BC有怎样的位置关系时，四边形DEFG是矩形；
②直接写出当AO和BC有怎样的关系时，四边形DEFG是正方形．
【变式1】如图，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于点O．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）探究：当∠DEF＝ °时，四边形ABCD是正方形，并证明你的结论．【变式2】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分
线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形，并证明．
【变式3】△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，
交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）说明：OE＝OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形．
【必考点7 正方形的判定与性质综合应用】
【例1】如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3❑√2，求正方形DEFG的边长．
【变式1】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=❑√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作
EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：线段CE、CG、BC之间的数量关系？并说明理由．
【变式2】如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线 AB，AC为对称轴，画出△ABD，
△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G．
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形AEGF是正方形．
（2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝ ．【变式3】如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，
CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 2.8 （直接写
出结果不写解答过程）．
【必考点8 正方形中的多结论问题】
【例1】如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD
于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；
1
③FO＝FG；④四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；⑤OF2+OE2＝EF2．其中正确的个数
4
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】如图，在边长为1的正方形ABCD中，连接BD，BE平分∠ABD交AD于点E，F是AD边上一
点，连接CF交BD于点G，CF＝BE，连接AG交BE于点H．在下列结论中：①△ABE≌△DCF；②AG＝CG；③BE⊥AG；④DF=❑√2−1，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③④
【变式2】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2❑√2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形
DEFG是正方形；②CE＝CF；③CG平分∠DCF；④CG＝AE．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【变式3】如图，正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上的一点，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，
连接 AP，EF．给出下列结论：①PD=❑√2EC；② EF 的最小值为❑√2；③ PB2+PD2＝2PA2；
④△APD有可能是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4】如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若
❑√10
AE=AP=❑√2，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②点 B 到直线 AE 的距离是 ；
2
③EB⊥ED；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
S =7+2❑√5
正 方 形ABCDA．4 B．3 C．2 D．1
【必考点9 正方形中的最值问题】
【例1】如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边CD和对角线BD上的动点，且DP＝BQ，当BP+CQ的
最小值为2❑√3时，则正方形的边长为 ．
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点
G，连接CG，则CG的最小值为 ．
【变式2】如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则
AD的最大值是 ．
【变式3】如图，正方形ABCD边长为3，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接
BF、DE，则BF+DE的最小值为 ．【必考点10 正方形中的常见的辅助线构造】
【例1】在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N．
（1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN；
（2）如图2，当点N在CB的延长线上时，MD=2❑√2，BN＝1，求AD的长．
【例2】如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、AD、BC上，DE与MN相交于点O，记∠MOD
＝ ．
（α1）如图1，若∠MOD＝90°，求证：DE＝MN；
（2）如图2，若∠MOD＝45°，边长AB＝4，MN=❑√17，求线段DE的长．
【变式1】已知，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，F在DE上，且BF＝AB．
（1）如图1，若E是BC中点，连接AF．
①补全图形；
②直接的写出AF与DE的数量关系和位置关系．
（2）若F是DE的中点，求∠CDF的度数．【变式2】在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方
作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长．
【变式3】如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
（1）求证：∠ABE＝∠GFD；
（2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
【变式4】问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝
1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．（1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
