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跟踪训练 03 平面向量的数量积及应用
一．选择题（共15小题）
1．已知圆 的半径为3， 是圆 的一条直径， ， 为圆上动点，且 ，点
在线段 上，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得， ，
，
，
，
当 时， 取最小值，此时 ．
故 的最小值为 ．
故选： ．
2．在 中， ， ， 是边 的中点， 为 的外心，则
A．8 B． C．16 D．17
【解答】解：因为 为 的外心，
所以 ， ，
因为 是边 的中点，所以 ，
所以 ．
故选： ．
3．已知过点 且斜率为 的直线 与圆 相交于 ， 两点．则
为
A．3 B．5 C．7 D．与 有关
【解答】解：依题意，设过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，
联立 ，消去 ，得： ，
此时△ ，显然有解，
故 ， ，
所以 ．
故选： ．
4．已知向量 ， ， ，则
A．30 B．18 C．12 D．9
【解答】解：由题意得 ，则 ，
则 ．
故选： ．
5．已知向量 ，若 与 垂直，则
A．1 B． C．2 D．4【解答】解： 向量 ，
，
与 垂直，
，
，即 ，
，
故选： ．
6．在 中，点 是边 的中点， ， ， ，则 的
值为
A．5 B．6 C． D．
【 解 答 】 解 ： 如 图 所 示 ， 由 题 意 可 得 ：
，
即 ，
解得 ．
故选： ．
7．已知 、 和 均为非零向量，
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若则 ．
上述命题中，真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当 ， ， 时， ， ，
满足 ，故①错误；
②若 ，则 ，
则 或 ，向量 与 的夹角为 ，故②错误；
③若 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， 或 ，
所以 ，故③正确，
故选： ．
8．已知 ， 为单位向量，若向量 与 的夹角的正弦值为 ，则向量 在 上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由向量 与 的夹角的正弦值为 ，
可得 ，又| |＝6，
故向量 在 上的投影向量为 ．故选：B．
9．在 中， ， ， 为线段 上的点，且 ．若
，则
A． B． C． D．
【解答】解：在 中， ， ， 为线段 上的点，且 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
故选： ．
10．已知平面向量 ， ， 满足： ， ， 且 ，则
为
A．1 B．3 C． D．9
【解答】解： ，，
由 ，
得 ，
故 ，
故选： ．
11．已知向量 ，且函数 的图像是一条直
线，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为向量 ，
由 题 意 ，
，
因为函数 的图像是一条直线，所以 ，即 ，
解得 ， ．
故选： ．
12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，点Q在边BC上，且
满足 （ ＞0）， ，则b+16c的最小值是（ ）
λ
A．32 B．64 C．100 D．120【解答】解：由题意， （ ＞0），由向量数乘运算可知：
λ
， 分别是向量 ， 方向上的单位向量，
所以AQ是△ABC中角A的角平分线，
由S△ABC ＝S△ABQ +S△BCQ ， 可得，
，
化简得bc＝4（b+c），即 ，
故 ，
当且仅当b＝20，c＝5时等号成立．
故选：C．
13．已知向量 满足 ，则
A． B． C．3 D．4
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
14．若向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，可得| |＝ ， ＝2，
则 在 上的投影向量为 ＝ ＝（ ）．故选：A．
15．在△ABC中，AB＝2，AC＝3， ，M是BC中点，则 ＝（ ）
A． B．5 C．6 D．7
【解答】解：由于M是BC中点，则 ，
所以
＝ ．
故选：A．
二．多选题（共5小题）
16．下列选项中正确的是
A．若平面向量 ， 满足 ，则 的最大值是5
B．在 中， ， ， 是 的外心，则 的值为4
C．函数 的图象的对称中心坐标为 ，
D．已知 为 内任意一点，若 ，则点 为 的垂
心
【解答】解：对 选项， ，
，
的最大值是5， 选项正确；
对 选项， 在 中， ， ， 是 的外心，
， 选项正确；对 选项，令 ，可得 ， ，
的图象的对称中心坐标为 ， ， ，
选项错误；
对 选项， ，
， ， ，
同理 ， ， 点 为 的垂心， 选项正确．
故选： ．
17．已知向量 ， ，则
A．
B．
C．向量 与 的夹角为
D．向量 在向量 上的投影向量为
【解答】解：向量 ， ，
则 ，即 ，故 正确；
，故 正确；
，
，
向量 与 的夹角为 ，故 错误；
向量 在向量 上的投影向量为 ，故 正确．故选： ．
18．已知向量 ， ， 满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，
则
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，
所以 ， ，所以 ，选项 错误；
因为 ， ，所以 ，选项 正确；
，选项 正确；
计算 ，所以选项 正确．
故选： ．
19．设向量 、 是不共线的两个平面向量，已知 ，其中 ，
，若 、 、 三点共线，则角 的值可以是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ， 三点共线，
即 共线，
则存在实数 使得 ，
因此 ，
又 不共线，于是 ，
解得 ，
又 ，
所以 或 ．
故选： ．
20．已知平面四边形 ， 是 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是
A．若 ，则四边形 是正方形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则 为直角三角形
D．若动点 满足 ，则动点
的轨迹一定通过 的重心
【解答】解：对于 ，由 得 ，但四边形 不一定是矩形，故
错误；
对于 ，由 ，平方可得 ，即 ，但四边形
不一定是矩形，故 错误；
对 于 ， 由 ， 可 得 ， 即
，即 ，
两边平方可得： ， ，所以 为直角三角形，故 正确；对于 ，作 于点 ，由于 ，
所以 ，即 ，
即 ，故动点 的轨迹一定通过 的重心，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知向量 ， ，则 与 的夹角 为钝角时， 的取值范围为
．
【解答】解：因为 与 的夹角 为钝角，
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
当 时，解得 ，
又 与 的夹角 为钝角，
则向量 ， 不能成 的角，
所以 ，所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
22．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 2 ．
【解答】解： ，
，
又 ，向量 ， 的夹角为 ，
则 ，
则 ，
即 ，
故答案为：2．
23．在△ABC中， ，点D在边BC上， ，若△ABC的面积为 ，则
AD的最大值为 ．
【解答】解：设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则在△ABC中， ，△ABC的面积为 ，
∴ ，解得bc＝8，
∵ ，
∴AD⊥AC，
∴ ，
∵△ABD和△ADC的面积和为 ，∴ ，解得 ，
∵ ，当且仅当c＝2b，即b＝2，c＝4时等号成立，
∴ ．
故答案为： ．
24．已知 ， ， ， ，则 的值为 ．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故答案为： ．
25．在 中， ， ， ，点 为 外接圆的圆心，则
1 4 ．
【解答】解： 在 中， ， ， ，点 为 外接圆的圆心，
点 为边 的中点，
由平面向量的线性运算得 ， ，
．
故答案为：14．
四．解答题（共3小题）
26．已知梯形 中， ， ， ， 为 的中点，连接 ．
（1）若 ，求证： ， ， 三点共线；
（2）求 与 所成角的余弦值；
（3）若 为以 为圆心、 为半径的圆弧 （包含 ， 上的任意一点，当点 在
圆弧 （包含 ， 上运动时，求 的最小值．
【解答】证明：（1）如图1， ，
，
， ， ， 三点共线．
解 ： （ 2 ） 如 图 1 ，
，
，
，
，
，．
（3）如图2， ，
，
设 ，则 ，
， ，
当 ，即 时， 取最小值 ．
27．已知平面向量 ， ，
（1）若向量 与向量 共线，求实数 的值，此时向量 与向量 是同向，
还是反向？
（2）若 ，且 ，求向量 在向量 上的投影向量（用坐标表示）．
【解答】解：（1）已知平面向量 ， ，则 ， ，
又向量 与向量 共线，
则 ，
即 ，
即 ，
则向量 与向量 反向；
（2）设 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
解得 ， ，
所以 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 ．
28．在直角坐标系中， 是坐标原点，向量 ，其中 ，
．
（1）若 与 的夹角为 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值．
【解答】解：（1）由题意知向量 ，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，
即 ，
解得 （负值舍去）；
（2）因为 ，
又 ，
则 ，即 ，
即得 ，
又 ， ，
故 ，
当且仅当 且 ，即 时取得等号，
所以 ．
