文档内容
第 02 讲 正比例函数
【题型1：正比例函数的定义】
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【题型3：正比例函数的性质】
【题型4：判断正比例函数的比例系数大小】
【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】
【题型6：正比例函数的图像性质综合】
知识点1：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【题型1：正比例函数的定义】
【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2 D．y＝2x﹣1
【答案】A
【解答】解：A、y＝ x是正比例函数，符合题意；
B、y＝ 是反比例函数，不符合题意；
C、y＝x2是二次函数，不符合题意；
D、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝3x2 B． C． D．y2＝3x
【答案】C【解答】解：A、y＝3x2是二次函数，不符合题意；
B、y＝ 是反比例函数，不符合题意；
C、y＝ 是正比例函数，符合题意；
D、y2＝3x不是函数，不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1
【答案】C
【解答】解：A．y＝2x﹣1，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝ +1，y不是x的正比例函数，故B不符合题意；
C．y＝ ，y是x的正比例函数，故C符合题意；
D．y＝2x2+1，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的
正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S随边长x的变化而变化
B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化
C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化
D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t
（单位：min）的变化而变化
【答案】C
【解答】解：A、S＝x2是二次函数，
故此选项不符合题意；
B、h＝ 是反比例函数，
故此选项不符合题意；
C、C＝4x是正比例函数，
故此选项符合题意；D、设水箱有水xL，则V＝x﹣0.5t，不是正比例函数，
故此选项不符合题意．
故选：C．
【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的
值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【答案】A
【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|中y是x的正比例函数，
∴ ，解得m＝1．
故选：A．
【变式 2-1】（2023 春•南皮县月考）若函数 y＝（k+1）x+b﹣2 是正比例函数，则
（ ）
A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2
【答案】D
【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，
∴k+1≠0，b﹣2＝0．
解得k≠﹣1，b＝2．
故选：D．
【变式2-2】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数
【答案】A
【解答】解：∵y＝x+b是正比例函数，
∴b＝0．
故选：A．
【变式2-3】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意得：
m﹣2＝1，n+1＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m+n＝3﹣1＝2，故选：B
知识点2：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数 的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解答】解：∵正比例函数 ，
∴该函数图象经过第一、三象限，
故选：B．
【变式3-1】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（ ）象限．
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
【答案】B
【解答】解：在正比例函数y＝﹣3x中，
∵k＝﹣3＜0，
∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限，
故选：B．【变式3-2】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x的图象经
过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【解答】解：在正比例函数y＝﹣4x中，
∵k＝﹣4＜0，
∴正比例函数y＝﹣4x的图象经过第二、四象限，
故选：D．
【题型3：正比例函数的性质】
【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（ ）
A．它是正比例函数 B．图象经过（1，2）
C．图象经过一、三象限 D．当x＞0，y＜0
【答案】D
【解答】解：关于函数y＝2x，
A、它是正比例函数，说法正确，不合题意；
B、当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意；
C、图象经过一、三象限，说法正确，不合题意；
D、当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式4-1】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点（﹣3，1）
B．是一次函数，但不是正比例函数
C．该函数的图象经过第一、三象限
D．随着x的增大，y反而减小
【答案】D
【解答】解：A、将（﹣3，1）代入解析式，得，1≠﹣9，故本选项错误；
B、是一次函数，也是正比例函数，故本选项错误；
C、由于函数图象过二、四象限，故本选项错误；
D、由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确．
故选：D．【变式4-2】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的
增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（ ）
A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）
【答案】C
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，
∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．
故选：C．
【变式4-3】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，
函数y的值增大3，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：根据题意得y+3＝k（x﹣1），
即y+3＝kx﹣k，
而y＝kx，
所以﹣k＝3，解得k＝﹣3．
故选：D．
【题型4：判断正比例函数的比例系数大小】
【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的
是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】D
【解答】解：由图象可得，a＜0＜c＜b，
故选：D．
【变式5-1】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝
bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（
）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】C
【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的图象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【变式5-2】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【答案】D
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
即a＜c＜b．
故选：D．知识点三3：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的
自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定
表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】
【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．
【答案】（1）y＝2x；
（2）a＝ ．
【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0），
当x＝2，y＝4时，则4＝2k，
即k＝2，
y与x之间的函数关系式为：y＝2x；
（2）∵点（a，3）在这个函数的图象上，
∴3＝2a，
∴a＝ ．
【变式6-1】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y与x成正比例，
∴设y＝kx，
∵当x＝﹣2时，y＝4，
∴4＝﹣2k，
k＝﹣2，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x，
（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y＝﹣2x的图象上，
∴﹣2a＝﹣2，
∴a＝1．
【变式6-2】（2022秋•城关区期末）已知点（ ，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，
（1）求m的值，
（2）求这个函数的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵点（ ，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，
∴将点（ ，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，
即：1＝（3m﹣1）× ，
整理得：3m＝3，
解得：m＝1；
∴m的值为1；
（2）解：∵m的值为1；
∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，
y＝（3×1﹣1）x＝2x，
∴这个函数的解析式为：y＝2x．
【变式6-3】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y﹣y ，其中y 与x成正比例，y 与x+2
2 1 1 2
成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x取何值时，y的值为30？
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y＝ax，y＝b（x+2），则y＝b（x+2）﹣ax＝（b﹣a）x+2b，
1 2
根据题意，得 ，
解得 ．
所以y与x的函数关系式为y＝（ + ）x+2× ＝ x+ ，即y＝ x+ ．
（2）把y＝30代入y＝ x+ ，得30＝ x+ ．
解得x＝
所以，当x＝ 时，y的值为30．
【题型6：正比例函数的图像性质综合】
【典例7】（2022春•老城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第
四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在坐标轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为8？若存在，求点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10
∴点A的纵坐标为﹣4，点A的坐标为（5，﹣4），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴5k＝﹣4，解得 ，
∴正比例函数的解析式是 ；（2）∵点A的坐标为（5，﹣4），△AOP的面积为8，
当点P在x轴上，有 ，
解得：x＝±4，
∴点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
当点P在y轴上，有 ，
解得： ，
∴点P的坐标为： 或 ；
综合上述，点P的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或 或 ．
【变式7】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点
A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为
8．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，
∴ •4•AH＝8，
解得AH＝4，
∴A（4，﹣4），
把A（4，﹣4）代入y＝kx得4k＝﹣4，
解得k＝﹣1，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
（2）存在．
设P（t，0），∵△AOP的面积为10，
∴ •|t|•4＝10，
∴t＝5或t＝﹣5，
∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中是正比例函数的是（ ）
A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5
【答案】A
【解答】解：A、y＝﹣7x是正比例函数，故此选项符合题意；
B、y＝ 是反比例函数，故此选项不合题意；
C、y＝2x2+1是二次函数，故此选项不合题意；
D、y＝0.6x﹣5是一次函数，故此选项不合题意；
故选：A．
2．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
【答案】D
【解答】解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选：D．
3．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解答】解：∵正比例函数y＝ax的图象经过一、三象限，
∴a＞0，
∴﹣a﹣1＜0，
∴直线y＝（﹣a﹣1）x经过第二、四象限，
故选：C．
4．点A（1，m）在函数y＝2x的图象上，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】B
【解答】解：把x＝1，y＝m代入y＝2x，
解得：m＝2．
故选：B．
5．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【答案】B
【解答】解：A、当x＝3时，y＝9，故本选项错误；
B、∵直线y＝3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；
C、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、∵直线y＝3x是正比例函数，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错
误．
故选：B．
6．P （﹣2，y ），P （7，y ）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y ，y
1 1 2 2 1 2
的大小关系是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，又∵P （﹣2，y ），P （7，y ）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，且﹣
1 1 2 2
2＜7，
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
二．填空题（共2小题）
7．若y＝（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为 ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|＝1，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），
∴a＝﹣（﹣2）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
9．已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数．
（1）求m的值；
（2）若点（a，y ），（a+1，y ）在该函数的图象上，请直接写出y ，y 的大小关系．
1 2 1 2
【答案】（1）m＝3；
（2）y ＜y ．
1 2
【解答】解：（1）∵函数y＝（2m+6）x+m﹣3是正比例函数，
∴ ，
解得：m＝3，
∴m的值为3；
（2）∵m＝3，
∴k＝2m+6＝2×3+6＝12＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（a，y ），（a+1，y ）在该函数的图象上，且a＜a+1，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
10．已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；
（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y﹣2＝k（3x﹣4），
将x＝2、y＝3代入，得：2k＝1，解得k＝ ，
∴y﹣2＝ （3x﹣4），即y＝ x；
（2）将点P（a，﹣3）代入y＝ x，得： a＝﹣3，
解得：a＝﹣2；
（3）当y＝﹣1时， x＝﹣1，解得：x＝﹣ ，
当y＝1时， x＝1，解得：x＝ ，
故﹣ ≤x≤ ．
11．探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
（1）下表见y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m 1 0 1 2 3 …
直接写出m的值是 2 ．
（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你
先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．
（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质： 图象关于 y 轴对称 ．【答案】（1）2．
（2）见解答过程．
（3）图象关于y轴对称．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2|＝2，
∴m＝2，
故答案为：2．
（2）如图：
（3）由图象可知，图象关于y轴对称．
故答案为：图象关于y轴对称．
