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2022 学年度学生学习能力诊断练习
初三数学
（满分150分，时间100分钟）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 如果某个斜坡的坡度是 ，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．
【详解】设这个斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα=1: .= ，
∴α=30°；
故选A.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
2. 如图，在 中， ，那么 的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求解 ，再利用余弦的定义直接求解即可．
【详解】解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，
此外还有熟记三角函数的定义．
3. 已知抛物线 有最低点，那么 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向
和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到 ，由此即可得到 的取值范围．
【详解】解：∵二次函数 的图像有最低点，
函数图象开口向上，
则 ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
4. 已知二次函数 的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．
【详解】解：A、图象的开口向下，则 ，此选项不符合题意；
B、对称轴在y轴右边且 ，则 ，此选项符合题意；
C、图象与y轴正半轴相交，则 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是
解答的关键．
5. 如果点 与点 都在抛物线 上，那么 和 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的 值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可
得到答案．
【详解】解： 点 与点 都在抛物线 上，
抛物线对称轴为 ，
到对称轴距离为 ； 到对称轴距离为 ，
抛物线 中二次项系数为正，开口向上，
抛物线上的点离对称轴越近 值越小，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数 值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数 值大小比较的
方法步骤是解决问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司6. 如图，点 分别在Δ 边 上， ，且 ，那么 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 与 ，即可得到 Δ Δ ，即可得到 ，结合
即可得到 的值；
【详解】解：∵ ， ，
∴Δ Δ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到 与 的关系．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，那么 ________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据比例中项的概念，可得 ，可得 ，即可得到 的值，注意线段的长为正数．
【详解】解：∵线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
又∵线段的长度是正数，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例
中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．
8. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】按照向量线性运算法则计算即可．
【详解】解： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．
9. 抛物线 与 轴的交点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令 得出y的值，从而得出与 轴的交点坐标．
【详解】令 ，
得 ，
抛物线 与 轴的交点坐标是 ，
故答案为： ．
的
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴 交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键．
10. 沿着 轴正方向看，抛物线 在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或
“下降”）
【答案】下降
【解析】
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：因为 ，
所以抛物线 在对称轴右侧部分是下降的，
故答案为：下降．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 沿着 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表
达式为__________________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．
【详解】解：将抛物线 沿着y轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．
12. 已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表：
… 0 2 3 4 …
1
… 5 2 2 5 …
0
如果点 在此抛物线上，那么 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点 在此抛物线上，代值求解即
可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
点 在此抛物线上，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解
决问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知 ，顶点 分别与 对应， ， 的平分
线的长为6，那么 的平分线的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，根据 ，由三角形相似的性质得到 ，
再由三角形相似的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
， ，
， ，
是 的角平分线， 是 的角平分线，
，
，
，
的平分线的长为6，
的平分线的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决
问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司14. 如图，在 中，点 在边 上，已知 和 的面积比是 ， ， ，那
么用向量 表示向量 为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题中 和 的面积比是 ，根据三角形“等高”的面积表示即可知道 ，
根据平面向量的加法运算可知 ，从而得到答案．
【详解】解：过 作 ，如图所示：
和 的面积比是 ，
，
，
， ，
用向量 表示向量 为
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表
示是解决问题的关键．
15. 如图，在梯形 中， ，点 分别在边 上且 ，已知
， ，那么 的长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】由题中 ， ，得到 ，从而利用平行线分线段成比例定理
得到 ，连接 ，如图所示，由相似三角形的判定得到 、
，利用相似比即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司在梯形 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟
练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．
16. 如图，在 中， ，点 为 的重心，过点 作 交 于点 ．
已知 ，那么 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接 并延长交 于O，过点O作 于H，先由重心的定义得到 为
的中点，则 ，得到 ，再由平行线的性质推出
，得到 ，则 ，由重心的性质求出 ，解 求出
，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 并延长交 于O，过点O作 于H，
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学科网（北京）股份有限公司∵点 为 的重心，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由重心的性质可知 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角
形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 、四边形
和四边形 都是正方形．如果图中 与 的面积比为 ，那么 的值
为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】先判定 和 相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比
为 ，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出 、 ，即可求解．
【详解】解：在 和 中，
， ，
面积 面积
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学科网（北京）股份有限公司四边形 为正方形
，即
则
在 中，根据勾股定理：
四边形 、 为正方形
，
根据勾股定理：
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似
三角形的判定、勾股定理．
18. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫
做这个三角形的“等底”．如图，已知直线 ， 与 之间的距离是3，“等高底” 的“等底” 在
直线 上（点 在点 的左侧），点 在直线 上， ，将 绕点 顺时针旋转 得到
，点 的对应点分别为点 ，那么 的长为____________．
【答案】 或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．
【详解】解：当如下图所示时，
， ，
点 到直线 的距离为 ，
，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
；
当如下图所示时，
， ，
的
点 到直线 距离为 ，
， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关
键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：cos245° ＋cot230°.
【答案】 .
【解析】
【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】原式＝ 2 ＋( )2
＝ ＋3
＝ .
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交
于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求此抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）将此抛物线沿 轴向左平移 个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点 ，求 的值．
【答案】（1） ，点 的坐标是
（2）6
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．
【小问1详解】
解：把 和 代入
，解得
∴抛物线的表达式为
∴当 时，
∴点 的坐标是
【小问2详解】
设平移后的抛物线表达式为
把 代入得
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学科网（北京）股份有限公司解得
∵ ，
∴
【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
21. 如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，过点
作 交边 于点 ， 的平分线 交线段 于点 ，求 的长．
【答案】4
【解析】
【分析】在 中，得出 ，由 得出 ，根据相似三角形的性质得出
，得出 ，由 平分 ，得出 ，继而得出 ，
即可求解．
【详解】解：∵
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明
是解题的关键．
22. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图． 是缓降器的底板，压柄 可
以绕着点 旋转，液压伸缩连接杆 的端点 分别固定在压柄 与底板 上，已知 ．
（1）如图2，当压柄 与底座 垂直时， 约为 ，求 的长；
（2）现将压柄 从图2的位置旋转到与 成 角（即 ），如图3的所示，求此时液压
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学科网（北京）股份有限公司伸缩连接杆 的长．（结果保留根号）
（参考数据： ； ）
【答案】（1） cm
（2） cm
【解析】
【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；
（2）过点 作 ，垂足为 ，在 中，根据三角函数解直角三角形求出 的值，
根据 求出 的长度，然后根据勾股定理可得 的长度．
【小问1详解】
解：在 中， ，
答：此时 的长约为5cm；
【小问2详解】
过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，
，
∴ ，
在 中， ，
答：此时液压伸缩连接杆 的长约为 cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．
23. 如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）过点 作 交 于点 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明 ，再证明 ，即可求证；
（2）先证明 ，再证明 ，即可求证．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴
∴
即 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为P，抛物线与y轴
交于点A．
（1）如果点A的坐标为 ，点 在抛物线上，连接 ．
①求顶点P和点B的坐标；
②过抛物线上点D作 轴，垂足为M， 交线段 于点E，如果 ，求点D的坐标；
（2）连接 ，如果 与x轴负半轴的夹角等于 与 的和，求k的值．
【答案】（1）①顶点 ；点 ；②点 ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）①把 代入 求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B
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学科网（北京）股份有限公司（3，m）代入求出m 的值即可得点B坐标；②先求出 的解析式，根据 ，列出等式即可求点
D的坐标．
（2）过点P分别作 轴， 轴，垂足为Q、N，构建直角三角形，从而得到 ，
，即可建立等式求出k的值．
【小问1详解】
解：如图1，① 把 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为
∴顶点
把 代入 ，得 ，
∴点 ，
②∵ ，
可得直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得
∴点 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
为
解：如图2，过点P分别作 轴， 轴，垂足 Q、N，
由题意可得，点 ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数、角的和差等综合内容，准确理解题干信息并正确作图是解题
的关键．
25. 如图，在 中， ，点 分别在边 上，满足 ．
点 是 延长线上一点，且 ．
（1）当点 是 的中点时，求 的值；
（2）如果 ，求 的值；
（3）如果 是等腰三角形，求 的长．
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 过 点 A 作 ， 过 点 作 ， 垂 足 分 别 为 ， 利 用
求出 、 、 的长，即可得出结论；
（2）证明 和 ，得出 ，代入数值即可得出结论；
（3）分三种情况讨论， ， ， ，进而得出结论．
【小问1详解】
过点A作 ，过点 作 ，垂足分别为 ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中， ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
∵ 是等腰三角形，
① ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，∴舍去；
② ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴舍去；
③ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为 ，
可得 ，
，
由 得 ，
即 ，
∴ ，
由（2）可得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
可得 ，
综合①②③， ．
【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握
相似三角形的判定与性质．
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学科网（北京）股份有限公司第31页/共31页
学科网（北京）股份有限公司
