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2022 学年度学生学习能力诊断练习
初三数学
（满分150分，时间100分钟）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 如果某个斜坡的坡度是 ，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2. 如图，在 中， ，那么 的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知抛物线 有最低点，那么 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知二次函数 的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 如果点 与点 都在抛物线 上，那么 和 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
6. 如图，点 分别在Δ 边 上， ，且 ，那么 的值为（
）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，那么 ________．
8. 计算： __________．
9. 抛物线 与 轴的交点坐标是___________．
10. 沿着 轴正方向看，抛物线 在其对称轴右侧 的部分是___________的．（填“上升”或
“下降”）
的
11. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 沿着 轴向下平移2个单位，所得到 新抛物线的表
达式为__________________．
12. 已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表：
… 0 2 3 4 …
1
… 5 2 2 5 …
0
在
如果点 此抛物线上，那么 ___________．
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知 ，顶点 分别与 对应， ， 的平分
线的长为6，那么 的平分线的长为________．
14. 如图，在 中，点 在边 上，已知 和 的面积比是 ， ， ，那
么用向量 表示向量 为________．
15. 如图，在梯形 中， ，点 分别在边 上且 ，已知
， ，那么 的长是________．
16. 如图，在 中， ，点 为 的重心，过点 作 交 于点 ．
已知 ，那么 的长为________．
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学科网（北京）股份有限公司17. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 、四边形
和四边形 都是正方形．如果图中 与 的面积比为 ，那么 的值
为_________________．
的
18. 我们规定：如果一个三角形一边上 高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫
做这个三角形的“等底”．如图，已知直线 ， 与 之间的距离是3，“等高底” 的“等底” 在
直线 上（点 在点 的左侧），点 在直线 上， ，将 绕点 顺时针旋转 得到
，点 的对应点分别为点 ，那么 的长为____________．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：cos245° ＋cot230°.
20. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交
于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求此抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）将此抛物线沿 轴向左平移 个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点 ，求 的值．
21. 如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，过点
作 交边 于点 ， 的平分线 交线段 于点 ，求 的长．
22. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图． 是缓降器的底板，压柄 可
以绕着点 旋转，液压伸缩连接杆 的端点 分别固定在压柄 与底板 上，已知 ．
（1）如图2，当压柄 与底座 垂直时， 约为 ，求 的长；
（2）现将压柄 从图2的位置旋转到与 成 角（即 ），如图3的所示，求此时液压
伸缩连接杆 的长．（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ； ）
23. 如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 交 于点 ，求证： ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为P，抛物线与y轴
交于点A．
（1）如果点A的坐标为 ，点 在抛物线上，连接 ．
①求顶点P和点B的坐标；
②过抛物线上点D作 轴，垂足为M， 交线段 于点E，如果 ，求点D的坐标；
（2）连接 ，如果 与x轴负半轴的夹角等于 与 的和，求k的值．
25. 如图，在 中， ，点 分别在边 上，满足 ．
点 是 延长线上一点，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当点 是 的中点时，求 的值；
（2）如果 ，求 的值；
（3）如果 是等腰三角形，求 的长．
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